常微分方程Ch圖文

1、1/12常微分方程微分方程微分方程: :凡含有未知函數(shù)的導數(shù)（偏導數(shù)）或微凡含有未知函數(shù)的導數(shù)（偏導數(shù)）或微分的方程叫分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實質實質: : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)某些導數(shù)( (或微分或微分) )之間的關系式之間的關系式. .1.3 3 基本概基本概念念基本概念基本概念2/12常微分方程微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱之高階導數(shù)的階數(shù)稱之. .分類分類1 1: : 常微分

2、方程常微分方程(ODE)(ODE), , 偏常微分方程偏常微分方程(PDE)(PDE). ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:2:基本概念基本概念3/12常微分方程分類分類3 3: : 線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分類分類4 4: : 單個微分方程與微分方程組單個微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy基本概念基本概念4/12常微分方程21. yx 22222.

3、 (1)0d udurrrudrdr3. ( )( )dyp x yxdx( )4. ( , ,)0nF x y yy ( )(1)5. ( , ,)nnyf x y yy22222 6. 4uuux yy n n階隱式方程階隱式方程一階方程一階方程偏微分方程偏微分方程n n階顯式方程階顯式方程二階方程二階方程一階方程一階方程線性線性線性線性線性線性基本概念基本概念5/12常微分方程微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . ,)(階階導導數(shù)數(shù)上上有有在在區(qū)區(qū)間間設設nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxF

4、n微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：本課程的主要學習內(nèi)容本課程的主要學習內(nèi)容-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且獨且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .基本概念基本概念6/12常微分方程(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(1) (1) 積分曲線積分曲線: :一階微分方程一階微分方程代表代表微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .

5、(3)(3)隱式解隱式解: : 由隱函數(shù)表示的微分方程的解由隱函數(shù)表示的微分方程的解. .積分曲線與方向場積分曲線與方向場: :),(yxfdxdy的解的解)(xy平面上的一條曲線平面上的一條曲線, ,我們稱它我們稱它xoy基本概念基本概念7/12常微分方程(2) (2) 方向場方向場: :設函數(shù)設函數(shù)),(yxf的定義域為的定義域為D在每一點在每一點Dyx),(處畫上一個小線段處畫上一個小線段. .其斜率等于其斜率等于),(yxf我們把帶有這種直線段的區(qū)域我們把帶有這種直線段的區(qū)域D稱為由方程稱為由方程),(yxfdxdy規(guī)定的方向場規(guī)定的方向場. .(3) (3) 等斜線等斜線: :在方向

6、場中在方向場中, ,方向相同的點的幾何軌跡方向相同的點的幾何軌跡 稱為等斜線稱為等斜線. .基本概念基本概念8/12常微分方程(4) (4) 駐定與非駐定駐定與非駐定: :方程右端不含自變量，則稱為駐方程右端不含自變量，則稱為駐定或自治的，若含自變量則稱為是非駐定的或非自定或自治的，若含自變量則稱為是非駐定的或非自治的治的. .如如( )dyf ydx),(yxfdxdy駐定或自治駐定或自治非駐定或非自治非駐定或非自治(5) (5) 奇點奇點( (平衡點平衡點) ): :對上述自治方程，使得其右端函對上述自治方程，使得其右端函數(shù)數(shù)f(y)=0(y)=0的解的解y=y*稱為平衡解稱為平衡解( (

7、駐定解、常數(shù)解駐定解、常數(shù)解) )，又，又稱為奇點或平衡點稱為奇點或平衡點. .基本概念基本概念9/12常微分方程過定點的積分曲線過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .基本概念基本概念10/12常微分方程例例 3 3 驗驗證證:函函數(shù)數(shù)ktCktCxsincos21 是是微微分分方方程程0222 xkdtxd的的解解. 并并求求滿滿足足初初始始條條件件0,00 ttdtdxAx的的特特解解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達式代入原方程的表達式代入原方程和和將將xdtxd基本概念基本概念11/12常微分方程. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為所求特解為.cosktAx 補充補充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等積分法初