對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1、二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念；三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算；一、問題的提出；第三節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分oxyABL一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn 1()() .iiiiMMx iyj .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii

2、取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念11122211110111,( , ),( , ).( ,),(,),(,)(1,2, ;,).,( ,).nnniiniiiiiiiiiiLxoyABP x yQ x yLLMx yMxyMxyLnMMinMA MBxxxyyyMM 設(shè) 為面內(nèi)從點(diǎn) 到點(diǎn) 的一條有向光滑曲線弧 函數(shù)在上有界 用 上的點(diǎn)把 分成 個(gè)有向小弧段設(shè)點(diǎn)為上任意取定的點(diǎn) 如果當(dāng)各小弧段0,長度的最大值時(shí)1.定義定義.),(lim),(,

3、(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),

4、(),(),(.LF dr,.FPiQjdrdxidyj其中4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分分成成如如果果把把則則有有向向曲曲線線弧弧方方向向相相反反的的是是與與是是有有向向曲曲線線弧弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyy

5、xQdxyxP),(),(),(),(三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算22( , ),( , )( ),( ), ,( , ),( ),( ),( )( )0,( , )( , ),LP x y Q x yLxtLtytM x yLALBttttP x y dxQ x y dy設(shè)在曲線弧 上有定義且連續(xù)的參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù) 單調(diào)地由 變到時(shí) 點(diǎn)從 的起點(diǎn) 沿 運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)在以 及 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且則曲線積分存在定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()

6、(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線線弧弧為為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其中其中

7、,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；.上上的的投投影影在在向向量量為為向向量量tAAt處的單位切向量處的單位切向量上點(diǎn)上點(diǎn)),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyL

8、xydxL 解解的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直線線段段軸軸到到點(diǎn)點(diǎn)沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)的的上上半半圓圓周周針針方方向向繞繞行行、圓圓心心為為原原點(diǎn)點(diǎn)、按按逆逆時(shí)時(shí)半半徑徑為為為為其其中中計(jì)計(jì)算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,si

9、ncos:)1( ayaxL，變變到到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問題問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點(diǎn)點(diǎn)，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從

10、從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線為為其其中中計(jì)計(jì)算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對(duì)對(duì) x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0變變到到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B問題問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.