博弈論第一章2

1、納什均衡納什均衡的思想的思想 設(shè)想在博弈論預(yù)測(cè)的設(shè)想在博弈論預(yù)測(cè)的博弈結(jié)果中博弈結(jié)果中, , 給每個(gè)參給每個(gè)參與者選定各自的戰(zhàn)略與者選定各自的戰(zhàn)略, 為使該預(yù)測(cè)是正確的為使該預(yù)測(cè)是正確的,必須必須使參與者使參與者自愿選擇自愿選擇理論給它推導(dǎo)出理論給它推導(dǎo)出的戰(zhàn)略的戰(zhàn)略. .這樣這樣, ,每一個(gè)參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對(duì)每一個(gè)參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對(duì)其他參與其他參與者選擇戰(zhàn)略的者選擇戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)最優(yōu)反應(yīng), 這種理論推測(cè)的結(jié)果可以這種理論推測(cè)的結(jié)果可以叫做叫做“戰(zhàn)略穩(wěn)定戰(zhàn)略穩(wěn)定”或或“自動(dòng)實(shí)施自動(dòng)實(shí)施”的的,因?yàn)闆](méi)有參與者因?yàn)闆](méi)有參與者愿意獨(dú)自離棄他所選定的戰(zhàn)略愿意獨(dú)自離棄他所選定的戰(zhàn)略,

2、 ,這一狀態(tài)這一狀態(tài)稱做稱做納納 什均衡（什均衡（Nash Equilibrium）. nnuuuSSSG,;,2121定義定義: :在在n 個(gè)參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈個(gè)參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，如果戰(zhàn)略組合中，如果戰(zhàn)略組合 ),(21nsss滿足對(duì)每一個(gè)滿足對(duì)每一個(gè) 參與參與者者i , , is是是(至少不劣于至少不劣于)他針對(duì)其他他針對(duì)其他(n-1)個(gè)個(gè) 參與者所參與者所選戰(zhàn)略選戰(zhàn)略 ),(111niissss的的最優(yōu)最優(yōu) 反應(yīng)戰(zhàn)略反應(yīng)戰(zhàn)略，則稱戰(zhàn)，則稱戰(zhàn)略組合略組合 ),(21nsss是該博弈是該博弈 的一個(gè)納什均衡的一個(gè)納什均衡(純戰(zhàn)純戰(zhàn)略略).).即：即：),(111niiiisssssu),

3、(111niiiisssssu對(duì)所有對(duì)所有 中的中的 都成立，都成立，isiSis亦即亦即 是以下最優(yōu)化是以下最優(yōu)化 問(wèn)問(wèn)題的解：題的解：niiiiSssssssuii,max111),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu 在在一些參與人一些參與人 不是針對(duì)不是針對(duì) isi,如果如果 不是不是G 的納什均衡的納什均衡, ,就意味著存就意味著存 ),(21nsss的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略, , 即在即在Si中中 ),(111niissssis 存在存在 使得使得 如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解 ),(21nsss不是納什均衡的解，則至少有一個(gè)

4、參與者有動(dòng)因不是納什均衡的解，則至少有一個(gè)參與者有動(dòng)因 偏離理論偏離理論的預(yù)測(cè)，使得博弈進(jìn)行和理論預(yù)測(cè)不一的預(yù)測(cè)，使得博弈進(jìn)行和理論預(yù)測(cè)不一致致. 和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念：和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念：如果如果參與者之間要商定一個(gè)協(xié)議決定博弈如參與者之間要商定一個(gè)協(xié)議決定博弈如 遵守協(xié)議遵守協(xié)議. .是納什均衡的略組合，否則至少有一個(gè)參與者不是納什均衡的略組合，否則至少有一個(gè)參與者不 何進(jìn)行，何進(jìn)行， 那么一那么一個(gè)有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須個(gè)有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須 例一例一 “ “囚徒困境囚徒困境”為了更準(zhǔn)確的理解這一概念為了更準(zhǔn)確的理解這一概念, , 看下面看下面

5、幾個(gè)例幾個(gè)例子：子： -1， -1 -9， 0 0， -9 -6， -6 囚徒囚徒2 沉默沉默 招認(rèn)招認(rèn) 囚徒囚徒1 1沉默沉默招認(rèn)招認(rèn)對(duì)于囚徒對(duì)于囚徒1 1來(lái)講，如果囚徒來(lái)講，如果囚徒2 2選擇戰(zhàn)略選擇戰(zhàn)略“沉默沉默”, ,那么，囚徒那么，囚徒1選擇選擇“沉默沉默”的收益為的收益為-1,-1,選擇選擇“招認(rèn)招認(rèn)” ” 的收益為的收益為0, 當(dāng)然當(dāng)然選擇選擇“招認(rèn)招認(rèn)”. .同理可得囚徒同理可得囚徒2的的戰(zhàn)戰(zhàn)略選擇也是略選擇也是“招認(rèn)招認(rèn)”. 因此此博弈的納什均衡解因此此博弈的納什均衡解為為 (招認(rèn)，招認(rèn)招認(rèn)，招認(rèn)). 此時(shí)雙方的收益為此時(shí)雙方的收益為 (-6, -6), 很明顯很明顯(-1,

6、 -1) 的收益好于的收益好于(-6, -6).但納什均衡但納什均衡 的結(jié)果是達(dá)不到的的結(jié)果是達(dá)不到的, ,此所謂的此所謂的“囚徒困境囚徒困境”. .這也正是博弈論的有趣之處這也正是博弈論的有趣之處, , 均衡均衡的結(jié)果的結(jié)果告訴我們一個(gè)很重要的結(jié)論告訴我們一個(gè)很重要的結(jié)論: : “囚徒困境囚徒困境”納什納什 個(gè)體理性和集體理性的矛盾個(gè)體理性和集體理性的矛盾,每個(gè)個(gè)體都追求個(gè)體收益最優(yōu)每個(gè)個(gè)體都追求個(gè)體收益最優(yōu), 其結(jié)果可能其結(jié)果可能 都達(dá)不到最優(yōu)都達(dá)不到最優(yōu), , 相反相反, 集體利益可能也受到損害集體利益可能也受到損害.6 6 ，6 63 3 ，5 53 3 ，5 55 5 ，3 30 0

7、 ，4 44 4 ，0 05 5 ，3 34 4 ，0 00 0 ，4 4 左左 中中 右右 上上 中中 下下例例2 2對(duì)于參與者對(duì)于參與者1,1,如果參與者如果參與者2 2選擇左選擇左, ,則參與者則參與者1 1選擇選擇中中(4(43 30),0),此時(shí)參與者此時(shí)參與者1 1的收益為的收益為4,4,在在4下面劃下面劃 一橫線一橫線, 同理可以求出參與者同理可以求出參與者2 2選擇中選擇中、右時(shí)、右時(shí), 1的的 選擇和收益選擇和收益. 對(duì)于參與者對(duì)于參與者2 2可用同樣的可用同樣的方法求解方法求解. 格格 子內(nèi)數(shù)字都劃線的對(duì)應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合子內(nèi)數(shù)字都劃線的對(duì)應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合(下，中下，中)

8、 即為博弈的即為博弈的納什均衡解納什均衡解. 1 1， 2 2 0 , 0 0 ,02 2 , , 1 1 帕特帕特歌劇歌劇 拳擊拳擊克里斯克里斯歌劇歌劇 拳擊拳擊例例3性別戰(zhàn)博弈性別戰(zhàn)博弈易知此博弈有易知此博弈有兩個(gè)兩個(gè)納什均衡納什均衡, ,( (歌劇歌劇, , 歌劇歌劇); ); （拳擊（拳擊, 拳擊拳擊)結(jié)果到底是那一個(gè)呢結(jié)果到底是那一個(gè)呢? ? 不得而知不得而知. .此此 為為納什均衡解的納什均衡解的多重性，是納什多重性，是納什均衡的缺陷之一均衡的缺陷之一, , 也是博弈論的一大難題也是博弈論的一大難題.此博弈無(wú)納什均衡此博弈無(wú)納什均衡（純戰(zhàn)略）（純戰(zhàn)略）. .例例4猜硬幣博弈猜硬幣博

9、弈 -1 -1 ， 1 1 1 1 ，-1-11 1 ， -1-1 -1 -1 ，- -1 1 參與人參與人2 2正面正面 反面反面參與人參與人1 1正面正面 反面反面例例5 博弈雙方博弈雙方1和和2就如何分就如何分100元錢進(jìn)行討價(jià)元錢進(jìn)行討價(jià) 還價(jià)還價(jià). . 假設(shè)確定了以下規(guī)則：假設(shè)確定了以下規(guī)則： 雙方同時(shí)提出自己的要求的數(shù)額雙方同時(shí)提出自己的要求的數(shù)額 和和 1s,2s,100,021ss如果如果 , 則博弈雙方的則博弈雙方的 10021 ss要求都能得到滿要求都能得到滿足足, 即分別得到即分別得到 和和 但如果但如果 1s,2s則該則該筆錢就被沒(méi)收筆錢就被沒(méi)收. 求該博弈的求該博弈的

10、納什納什 ,10021ss為什么？為什么？ 均衡均衡, , 若你是其中一個(gè)博弈方若你是其中一個(gè)博弈方, 你會(huì)選擇什么數(shù)額你會(huì)選擇什么數(shù)額, 解解 參與者參與者1 1的效用函數(shù)為的效用函數(shù)為 2121111000100sssssu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)因此因此, ,參與者參與者1 1的最優(yōu)選擇是的最優(yōu)選擇是 ,10021ss最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù). . 由對(duì)稱性由對(duì)稱性2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為 由于雙方的反應(yīng)函數(shù)完全相同，方程由于雙方的反應(yīng)函數(shù)完全相同，方程 .10012ss此為此為1的的 有無(wú)數(shù)解，所以該博弈有有無(wú)數(shù)解，所以該博弈有無(wú)數(shù)個(gè)納什無(wú)數(shù)個(gè)納什 10021 ss均衡解均衡解 ).,(21

11、ss10021 ss其中其中 為為 的解的解. . 21,ss如果我是其中的一個(gè)參與者如果我是其中的一個(gè)參與者, ,我會(huì)選擇得到我會(huì)選擇得到50 . . 因?yàn)橐驗(yàn)樵谠摬┺牡臒o(wú)窮個(gè)納什均衡中在該博弈的無(wú)窮個(gè)納什均衡中, ,(50, 50)是比較是比較 (50, 50) 這個(gè)這個(gè)均衡稱為均衡稱為“聚點(diǎn)聚點(diǎn)”均衡均衡. .公平容易被雙方接受的公平容易被雙方接受的.例例6 考慮一個(gè)有考慮一個(gè)有 N 個(gè)人參加的游戲個(gè)人參加的游戲: :每個(gè)人可每個(gè)人可以放最多以放最多100元錢到一部可以生錢的機(jī)器里元錢到一部可以生錢的機(jī)器里, 機(jī)器機(jī)器 把所有把所有人放進(jìn)去的錢的總和增加到原來(lái)的人放進(jìn)去的錢的總和增加到原

12、來(lái)的3倍，然倍，然 后再平均分后再平均分給這給這N 個(gè)人個(gè)人.求此博弈的納什求此博弈的納什均衡均衡. 解解: :容易得出當(dāng)容易得出當(dāng)N =1, 2 時(shí)時(shí), ,此博弈有唯一的此博弈有唯一的納納 什均衡什均衡. 雙方都放進(jìn)雙方都放進(jìn)100元錢元錢, 即即(100, 100)為納什為納什 當(dāng)當(dāng)N =3時(shí)的情況如何時(shí)的情況如何? ? 參與者參與者i 的收益函數(shù)為的收益函數(shù)為均衡均衡.3, 2, 1.)(33ipnmpnmui其中其中m, n, p分別為三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，分別為三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)， m為參與者為參與者i 放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n, p分別為其他分別為其他

13、由由 可以看出可以看出, , i 的最優(yōu)選擇是的最優(yōu)選擇是: :iu.1000 m中的任意中的任意一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù). .同理可分析另外兩個(gè)參與者的同理可分析另外兩個(gè)參與者的 選擇選擇. 當(dāng)當(dāng)N=4時(shí)情況如何時(shí)情況如何? ? 兩個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，兩個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)， 因此因此博弈有無(wú)數(shù)個(gè)納什均衡博弈有無(wú)數(shù)個(gè)納什均衡.mQpnmui)(43i參與者參與者 的收益函數(shù)為的收益函數(shù)為:.41)(43mQpn其中其中m, n, p, Q 分別為四個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢分別為四個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢 數(shù)，數(shù)，m為參與者為參與者i 放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n, p, Q 分別分別 由

14、于由于,041m所以參與者所以參與者i 的最優(yōu)選擇是的最優(yōu)選擇是: 其他三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，其他三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)， 所以任何一個(gè)參與者都不放錢到機(jī)器里所以任何一個(gè)參與者都不放錢到機(jī)器里. .此時(shí)此時(shí)博弈博弈).0, 0, 0, 0(m =0.有有唯一的納什均衡唯一的納什均衡: : 例例7 “智豬博弈智豬博弈” 豬圈里有兩頭豬豬圈里有兩頭豬. 一頭大豬，一頭小豬，豬一頭大豬，一頭小豬，豬圈一頭有一個(gè)豬食槽，另一頭安裝一個(gè)按鈕控制圈一頭有一個(gè)豬食槽，另一頭安裝一個(gè)按鈕控制著豬食的供應(yīng)著豬食的供應(yīng). 按一下按鈕會(huì)有按一下按鈕會(huì)有10個(gè)單位的豬食個(gè)單位的豬食進(jìn)槽，但誰(shuí)按按鈕誰(shuí)需要付出

15、進(jìn)槽，但誰(shuí)按按鈕誰(shuí)需要付出2個(gè)單位的的成本個(gè)單位的的成本. 若大豬先到，大豬吃到若大豬先到，大豬吃到9個(gè)單位，小豬只能吃到個(gè)單位，小豬只能吃到1 個(gè)單位；若同時(shí)到，大豬吃個(gè)單位；若同時(shí)到，大豬吃7個(gè)單位，小豬吃個(gè)單位，小豬吃3個(gè)個(gè)單位；若小豬先到，大豬吃單位；若小豬先到，大豬吃6個(gè)單位，小豬吃個(gè)單位，小豬吃4個(gè)個(gè)單位單位. 求此博弈的納什均衡求此博弈的納什均衡. 解解 此博弈的收益矩陣：此博弈的收益矩陣：容易求出此博弈的納什均衡為容易求出此博弈的納什均衡為:（按，等待按，等待）. 但此但此納什均衡納什均衡顯然是不合理的顯然是不合理的. 5，14，49，-10，0 小豬小豬 按按 等待等待大豬大

16、豬按按等待等待 例如：股份公司中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的例如：股份公司中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從監(jiān)督中得到的收益并不一樣監(jiān)督中得到的收益并不一樣. 而監(jiān)督經(jīng)理是要付而監(jiān)督經(jīng)理是要付出成本的出成本的. 在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督中得到的收益顯然小于小股東監(jiān)督中得到的收益顯然小于小股東. 大股東類似大股東類似于于“大豬大豬”，小股東類似于，小股東類似于“小豬小豬”. 現(xiàn)實(shí)中類似的現(xiàn)象現(xiàn)實(shí)中類似的現(xiàn)象. 納什均衡是納什均衡是，大股東擔(dān)當(dāng)起監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任，大股東擔(dān)當(dāng)起監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任

17、， 小股東則小股東則搭大股東的便車搭大股東的便車. 股票市場(chǎng)上炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場(chǎng)股票市場(chǎng)上炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場(chǎng) 上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此. 奧古斯汀奧古斯汀古諾古諾(Augustin Cournot)是是19世紀(jì)世紀(jì)著名的法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)著名的法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué). .法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)以數(shù)理方法法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)以數(shù)理方法對(duì)經(jīng)濟(jì)事實(shí)進(jìn)行抽象，這與傳統(tǒng)的英國(guó)學(xué)派重對(duì)經(jīng)濟(jì)事實(shí)進(jìn)行抽象，這與傳統(tǒng)的英國(guó)學(xué)派重視經(jīng)驗(yàn)事實(shí)視經(jīng)驗(yàn)事實(shí), ,主張從事實(shí)中進(jìn)行歸納的經(jīng)驗(yàn)論風(fēng)主張從事實(shí)中進(jìn)行歸納的經(jīng)驗(yàn)論風(fēng)格迥然不同的格迥然不同的. .古諾可以說(shuō)是法果經(jīng)濟(jì)學(xué)派的開古諾可以說(shuō)是法果

18、經(jīng)濟(jì)學(xué)派的開山鼻祖山鼻祖. .他在他在1838年發(fā)表的年發(fā)表的對(duì)財(cái)富理論的數(shù)學(xué)對(duì)財(cái)富理論的數(shù)學(xué)原理的研究原理的研究 (Researches into theMatheMatical Principles of the Theory of wealth),給出了兩個(gè)給出了兩個(gè)企業(yè)的博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具企業(yè)的博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具生命力生命力.（平新橋（平新橋微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)18講講167頁(yè)）頁(yè)）古諾均衡古諾均衡12 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 古諾古諾(1838)提出了納什所定義的均衡提出了納什所定義的均衡( (但只但只是是在特定的雙頭壟斷模型中在特定的雙頭壟斷模型中)，但是

19、他并沒(méi)有從理，但是他并沒(méi)有從理論上系統(tǒng)的定義均衡的意義論上系統(tǒng)的定義均衡的意義. 古諾的研究被為是古諾的研究被為是最早的博弈論的經(jīng)典文獻(xiàn)之一最早的博弈論的經(jīng)典文獻(xiàn)之一.此模型告訴我們；此模型告訴我們； （1）如何對(duì)如何對(duì)一個(gè)問(wèn)題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一個(gè)問(wèn)題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一一 個(gè)個(gè)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述；博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述；（2）如何通過(guò)計(jì)算解出博弈的納什均衡；如何通過(guò)計(jì)算解出博弈的納什均衡； （3）重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的步驟重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的步驟. . 下面介紹古諾的雙頭壟斷模型下面介紹古諾的雙頭壟斷模型. 令令 和和 分別表示企業(yè)分別表示企業(yè)1, 2 生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn)生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn) 1q2q品的產(chǎn)品

20、的產(chǎn)量，市場(chǎng)中該產(chǎn)品的總供給為量，市場(chǎng)中該產(chǎn)品的總供給為21qqQQaQP)(令令 表示市場(chǎng)的出清時(shí)的價(jià)格表示市場(chǎng)的出清時(shí)的價(jià)格. . 更為精確更為精確一點(diǎn)的表述為當(dāng)一點(diǎn)的表述為當(dāng) 時(shí)時(shí), ,aQ QaQP)(當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，aQ , 0)(QP為為 , , iiicqqC)(產(chǎn)每單位品的邊際成本為常數(shù)產(chǎn)每單位品的邊際成本為常數(shù)c，這里假設(shè)，這里假設(shè) . ac 設(shè)企業(yè)設(shè)企業(yè)i 生產(chǎn)生產(chǎn)qi 的總成本的總成本即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)根據(jù)古諾的假定，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)進(jìn)行產(chǎn)量決根據(jù)古諾的假定，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)進(jìn)行產(chǎn)量決 策策. 下面將此問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)式博弈：下面將此問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)式

21、博弈：三個(gè)要素三個(gè)要素 （1）參與人（企業(yè)參與人（企業(yè)1 1和企業(yè)和企業(yè)2）；）；（2）參與人可以選擇的戰(zhàn)略參與人可以選擇的戰(zhàn)略,0iiqS（3）針對(duì)每一個(gè)可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組針對(duì)每一個(gè)可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組 合，合，每一個(gè)參與人的收益每一個(gè)參與人的收益. 企業(yè)企業(yè) 的收益是自己所選戰(zhàn)略與其它企業(yè)所的收益是自己所選戰(zhàn)略與其它企業(yè)所 i選戰(zhàn)略選戰(zhàn)略的函數(shù)的函數(shù), ,假定企業(yè)假定企業(yè) 的收益就是其利潤(rùn)為的收益就是其利潤(rùn)為 i,)(),(),(cqqaaqqqssujiijiijii).1, 2(2, 1jiji一對(duì)戰(zhàn)略一對(duì)戰(zhàn)略 如是納什均衡如是納什均衡, ,則對(duì)每個(gè)參則對(duì)每個(gè)參與與 ),(2

22、1ss者者 ， 應(yīng)滿足應(yīng)滿足: :iis),(),(jiijiissussu（NE）上式對(duì)上式對(duì) 中每一個(gè)可選戰(zhàn)略中每一個(gè)可選戰(zhàn)略 都成立，這一條件都成立，這一條件 iSis等價(jià)于等價(jià)于: : 對(duì)每個(gè)參與者對(duì)每個(gè)參與者 , , 必須是下面最優(yōu)化問(wèn)必須是下面最優(yōu)化問(wèn) iis題的解題的解),(maxjiiSsssuii),(max0jiqqqi,)(max0cqqaaqjiiqi最優(yōu)化問(wèn)題的一階條件是對(duì)收益函數(shù)關(guān)于最優(yōu)化問(wèn)題的一階條件是對(duì)收益函數(shù)關(guān)于 求求iiq偏導(dǎo)，并令其等于零，其解為偏導(dǎo)，并令其等于零，其解為 )(21cqaqji（121）那么那么, ,如果產(chǎn)量組合如果產(chǎn)量組合 要成為納什均衡

23、，要成為納什均衡， ),(21qq企業(yè)企業(yè)產(chǎn)量選擇必須滿足：產(chǎn)量選擇必須滿足：),(2121cqaq)(2112cqaq解這一對(duì)方程組得解這一對(duì)方程組得 321caqq均衡解小于均衡解小于 , , 滿足上面的假設(shè)滿足上面的假設(shè). . 且兩個(gè)企業(yè)且兩個(gè)企業(yè) ca 的利潤(rùn)為的利潤(rùn)為 9221)(ca 另外，每家企業(yè)當(dāng)然另外，每家企業(yè)當(dāng)然都希望成為市場(chǎng)的壟斷者都希望成為市場(chǎng)的壟斷者. .于是雙方于是雙方有可能有可能結(jié)成聯(lián)盟！結(jié)成聯(lián)盟！事實(shí)上，該博弈的納什均衡未必立刻形成！事實(shí)上，該博弈的納什均衡未必立刻形成！那么，雙方的聯(lián)盟那么，雙方的聯(lián)盟(雙頭壟斷雙頭壟斷)能否結(jié)成呢？能否結(jié)成呢？ 設(shè)想設(shè)想兩者達(dá)

24、成共同利潤(rùn)最大化和平分市場(chǎng)的兩者達(dá)成共同利潤(rùn)最大化和平分市場(chǎng)的)(QcaQ協(xié)協(xié)議議. . 容易求出利潤(rùn)最大化時(shí)的產(chǎn)量為：容易求出利潤(rùn)最大化時(shí)的產(chǎn)量為：設(shè)設(shè)Q 為兩者的產(chǎn)量和為兩者的產(chǎn)量和. 總利潤(rùn)為總利潤(rùn)為 2)(caQ兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量都為：兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量都為：4)(21caqq此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)都為：此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)都為：8)(221ca已經(jīng)求出古諾模型時(shí)利潤(rùn)為已經(jīng)求出古諾模型時(shí)利潤(rùn)為: : 9)(221ca顯然，壟斷狀態(tài)時(shí)的顯然，壟斷狀態(tài)時(shí)的產(chǎn)量產(chǎn)量低于低于古諾模型時(shí)的古諾模型時(shí)的產(chǎn)量，產(chǎn)量，而而利潤(rùn)利潤(rùn)高于高于古諾模型時(shí)的利潤(rùn)古諾模型時(shí)的利潤(rùn).但這種安排存在一個(gè)問(wèn)題，但這種安排存在一個(gè)問(wèn)

25、題，有動(dòng)機(jī)偏離它有動(dòng)機(jī)偏離它, ,就是每家企業(yè)都就是每家企業(yè)都 因?yàn)閴艛喈a(chǎn)量較低因?yàn)閴艛喈a(chǎn)量較低, 相應(yīng)的產(chǎn)品相應(yīng)的產(chǎn)品 的市場(chǎng)出清價(jià)格的市場(chǎng)出清價(jià)格)(mqp就比較高就比較高. 在這一價(jià)格下在這一價(jià)格下, 的增加會(huì)降低市場(chǎng)出清價(jià)格的增加會(huì)降低市場(chǎng)出清價(jià)格. .每家企業(yè)都會(huì)傾向于提高產(chǎn)量，每家企業(yè)都會(huì)傾向于提高產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量而不顧這種產(chǎn)量也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，這種結(jié)這種結(jié) 盟不能形成！盟不能形成！因?yàn)殡p方聯(lián)盟因?yàn)殡p方聯(lián)盟(雙頭壟斷雙頭壟斷)能結(jié)成的能結(jié)成的前提是：前提是：雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品.雙方是否都會(huì)按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品呢？或雙方是否都會(huì)按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)

26、產(chǎn)品呢？或者說(shuō)雙方是否都會(huì)遵守協(xié)議呢？者說(shuō)雙方是否都會(huì)遵守協(xié)議呢？下面分析兩者是否會(huì)遵守協(xié)議決策下面分析兩者是否會(huì)遵守協(xié)議決策, , 兩者有兩種兩者有兩種戰(zhàn)略選擇：戰(zhàn)略選擇：遵守協(xié)議遵守協(xié)議和和不遵守協(xié)議不遵守協(xié)議. .此時(shí)，此時(shí)，雙方又要進(jìn)雙方又要進(jìn)行博弈行博弈. . 若企業(yè)若企業(yè)1遵守協(xié)議遵守協(xié)議,選擇產(chǎn)量選擇產(chǎn)量 ,4)(ca2不遵守協(xié)議不遵守協(xié)議.而企業(yè)而企業(yè)根據(jù)利潤(rùn)最大化的一階條件：根據(jù)利潤(rùn)最大化的一階條件：02)4)(222qcacaq企業(yè)企業(yè)2的產(chǎn)量選擇為的產(chǎn)量選擇為 ,8)(3ca則企業(yè)則企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2的的 利潤(rùn)分別為利潤(rùn)分別為 32)(32ca ;64)(92ca同理同

27、理 和和 可得企可得企業(yè)業(yè)2遵守協(xié)議而企業(yè)遵守協(xié)議而企業(yè)1不遵守協(xié)議時(shí)的利潤(rùn)不遵守協(xié)議時(shí)的利潤(rùn). .于是可建立下列博弈模型：于是可建立下列博弈模型：博弈模型：博弈模型：遵守遵守 不遵守不遵守遵守遵守不遵守不遵守8)(,8)(22caca32)(3,64)(922caca9)(,9)(22caca64)(9,32)(322caca容易求出此博弈的納什均衡為：容易求出此博弈的納什均衡為： (不遵守不遵守,不遵守不遵守).協(xié)議無(wú)效協(xié)議無(wú)效.12B 貝特蘭德的雙頭壟斷模型貝特蘭德的雙頭壟斷模型 貝特蘭德貝特蘭德(1883)提出企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)選擇提出企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)選擇的是的是產(chǎn)品價(jià)格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量產(chǎn)

28、品價(jià)格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量. 貝特蘭德的貝特蘭德的雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個(gè)不同的模雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個(gè)不同的模型型. 體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間同，收益函數(shù)不體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間同，收益函數(shù)不同，并且兩個(gè)模型中企業(yè)的行為不同同，并且兩個(gè)模型中企業(yè)的行為不同.考慮兩種考慮兩種同類但不同質(zhì)同類但不同質(zhì)的產(chǎn)品（古諾模型中的產(chǎn)品（古諾模型中兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）. .如果企業(yè)如果企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2 分別選擇價(jià)格分別選擇價(jià)格p1和和p2, 消費(fèi)者對(duì)企業(yè)消費(fèi)者對(duì)企業(yè)i 的產(chǎn)品的需的產(chǎn)品的需 求為求為 ,),(jijijbppappq其中其中 , 0b

29、即只限于即只限于 求函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中并不存在，因?yàn)橹灰髽I(yè)求函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中并不存在，因?yàn)橹灰髽I(yè)j的產(chǎn)品的產(chǎn)品企業(yè)企業(yè)i的產(chǎn)品為企業(yè)的產(chǎn)品為企業(yè)j產(chǎn)品的替代品的情況產(chǎn)品的替代品的情況(這個(gè)需這個(gè)需 12B 貝特蘭德的雙頭壟斷模型貝特蘭德的雙頭壟斷模型 貝特蘭德貝特蘭德(1883)提出企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)選擇提出企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)選擇的是的是產(chǎn)品價(jià)格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量產(chǎn)品價(jià)格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量. 貝特蘭德的貝特蘭德的雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個(gè)不同的模雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個(gè)不同的模型型. 體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)不同，并且兩個(gè)模型中企業(yè)的

30、行為不同不同，并且兩個(gè)模型中企業(yè)的行為不同.考慮兩種考慮兩種同類但不同質(zhì)同類但不同質(zhì)的產(chǎn)品（古諾模型中的產(chǎn)品（古諾模型中兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）. . 如果企業(yè)如果企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2 分別選擇價(jià)格分別選擇價(jià)格p1和和p2, 消費(fèi)者對(duì)企業(yè)消費(fèi)者對(duì)企業(yè)i 的產(chǎn)品的需的產(chǎn)品的需 求為求為 ,),(jijiibppappq其中其中 , 0b即只限于即只限于 求函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中并不存在，因?yàn)橹灰髽I(yè)求函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中并不存在，因?yàn)橹灰髽I(yè)j的產(chǎn)品的產(chǎn)品企業(yè)企業(yè)i的產(chǎn)品為企業(yè)的產(chǎn)品為企業(yè)j產(chǎn)品的替代品的情況產(chǎn)品的替代品的情況(這個(gè)需這個(gè)需 品的需求都是正的品的需求都是正的). 下面將會(huì)看

31、到只有在下面將會(huì)看到只有在 價(jià)格足夠高，無(wú)論企業(yè)價(jià)格足夠高，無(wú)論企業(yè)i 要多高的價(jià)格，對(duì)其產(chǎn)要多高的價(jià)格，對(duì)其產(chǎn) 時(shí)問(wèn)題才有意義時(shí)問(wèn)題才有意義). 2b假定企業(yè)生產(chǎn)沒(méi)假定企業(yè)生產(chǎn)沒(méi)有固定成本，有固定成本， 行動(dòng)（選擇各自行動(dòng)（選擇各自的價(jià)格）的價(jià)格）. ac 并且邊際成本為常數(shù)并且邊際成本為常數(shù)c，兩個(gè)企業(yè)是同時(shí)兩個(gè)企業(yè)是同時(shí) 每個(gè)企業(yè)的戰(zhàn)略空間每個(gè)企業(yè)的戰(zhàn)略空間 , 0 iS為為其中企業(yè)其中企業(yè)i 的一個(gè)典型的一個(gè)典型戰(zhàn)略戰(zhàn)略si 是所選是所選 擇的價(jià)格擇的價(jià)格pi . 每個(gè)企業(yè)每個(gè)企業(yè)的收益函數(shù)等于其利潤(rùn)額，的收益函數(shù)等于其利潤(rùn)額，當(dāng)企業(yè)當(dāng)企業(yè) i 選擇價(jià)格選擇價(jià)格pi 時(shí)，其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手選擇

32、價(jià)格時(shí)，其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手選擇價(jià)格pj 時(shí)，企業(yè)時(shí)，企業(yè)i 的利潤(rùn)為：的利潤(rùn)為：)(,(),(cpppqppijiijii那么，價(jià)格組合那么，價(jià)格組合 ),(jipp業(yè)業(yè)i ， ip)(cpbppaiji若是納什均衡，對(duì)每個(gè)企若是納什均衡，對(duì)每個(gè)企 應(yīng)是以下最優(yōu)化問(wèn)題的解：應(yīng)是以下最優(yōu)化問(wèn)題的解：),(max0jiipppi)()(max0cpbppaijipi對(duì)企業(yè)對(duì)企業(yè)i 求此最優(yōu)化問(wèn)題的解是：求此最優(yōu)化問(wèn)題的解是： )(21cbpapji),(jipp由上可知，如果價(jià)格組合由上可知，如果價(jià)格組合 為納什均衡，為納什均衡， 企業(yè)選擇的價(jià)格應(yīng)滿足：企業(yè)選擇的價(jià)格應(yīng)滿足： )(2121cbpap)(2

33、111cbpap解這一對(duì)方程式得：解這一對(duì)方程式得：bcapp221和和 12D 公共地的悲哀公共地的悲哀 考慮一個(gè)有考慮一個(gè)有n個(gè)村民的村莊，每年夏天所個(gè)村民的村莊，每年夏天所有民有民都在村莊的公共草地上放牧都在村莊的公共草地上放牧. 用用gi 表示表示村民表示表示村民i 放養(yǎng)羊的頭數(shù)，則村里羊的總頭數(shù)放養(yǎng)羊的頭數(shù)，則村里羊的總頭數(shù) ,1nggG購(gòu)買和照看一只羊的購(gòu)買和照看一只羊的的本為的本為c，且一只羊的成本不，且一只羊的成本不隨村民擁有羊的的數(shù)量而變化隨村民擁有羊的的數(shù)量而變化. 當(dāng)草地上羊的總頭當(dāng)草地上羊的總頭數(shù)為數(shù)為G 時(shí)，一個(gè)村民養(yǎng)一只羊的價(jià)值為時(shí)，一個(gè)村民養(yǎng)一只羊的價(jià)值為v(G

34、). 由于由于一只羊至少需要一定量的青草，草地可以放牧羊一只羊至少需要一定量的青草，草地可以放牧羊的總數(shù)有一個(gè)上限的總數(shù)有一個(gè)上限Gmax，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， maxGG , 0)(Gv時(shí)，時(shí)，但但maxGG v(G )=0 . .由于最初的一些羊有足夠由于最初的一些羊有足夠的放養(yǎng)空間，再加上一只羊不會(huì)對(duì)已放牧的羊產(chǎn)的放養(yǎng)空間，再加上一只羊不會(huì)對(duì)已放牧的羊產(chǎn)生太大的影響，但當(dāng)草地上放養(yǎng)的羊的總數(shù)已多生太大的影響，但當(dāng)草地上放養(yǎng)的羊的總數(shù)已多到恰好只能維生的時(shí)候（即到恰好只能維生的時(shí)候（即G 恰好等于恰好等于Gmax時(shí)），時(shí)），再增加一只羊就會(huì)對(duì)其它已經(jīng)放養(yǎng)的羊帶帶來(lái)極再增加一只羊就會(huì)對(duì)其它已經(jīng)放養(yǎng)的羊帶帶來(lái)極大危害大危害. 用公式表示為：對(duì)用公式表示為：對(duì) ,maxGG ，且且0)( Gv. 0)( Gv 此模型為哈?。ù四Ｐ蜑楣。℉ardin,1968）在一篇論文中）在一篇論文中提