8 平面分析-等參單元-2

1、2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元18 平面問題有限元分析平面問題有限元分析等參單元等參單元曹國華曹國華8.1等參單元剛度（等參單元剛度（4節(jié)點）節(jié)點）8.2等參單元等效節(jié)點力（等參單元等效節(jié)點力（4節(jié)點）節(jié)點）8.3矩形單元（矩形單元（8節(jié)點）節(jié)點）8.4等參單元（等參單元（8節(jié)點）節(jié)點）8.5高斯積分法高斯積分法坐標變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)坐標變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)4411,iiiiiiuNu vNv 4411,iiiiiixNx yNy 對比對比2022-3-202平面問題有限元分析-等參單元12341(1)(1)41(1)(1)4()1(1)(1)

2、41(1)(1)4NNNN等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）eiB （i=1，2，4） 等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）根據(jù)形函數(shù)，幾何矩陣為2022-3-203平面問題有限元分析-等參單元12341(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)4NNNN00iiiiNxNyNNyx2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元4已有已有 ),(),(yyxx若若 ),(yxzz 求求z對對( , )偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) yzyxzxzyzyxzxz應(yīng)力等分析需要整體坐標下的形函數(shù)，怎樣求解？應(yīng)力等分析需要整體坐標下的形函數(shù)，怎樣求解？ 等參單元剛度（等參單元剛

3、度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元5NNNxxxNNNyyy 等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）,xy,xy 求不出來求不出來 在上式中， 是、的函數(shù)，因此必須用坐標變換式來轉(zhuǎn)換導(dǎo)數(shù)關(guān)系，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有iNiiNN （i=1，2，4）等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）iixyNxNxyyiiNxNyJ2022-3-206平面問題有限元分析-等參單元12341(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)4NNNN4141,iiiiiixNxyNy iNxiNy 式中的J稱為雅可比（雅可比（Jacobi）矩陣）矩

4、陣xyxyJ =1iiiiNNxNNyJiiiiiiNxyNNxxNNxyNyyJ等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-207平面問題有限元分析-等參單元1J求出求出關(guān)鍵關(guān)鍵iNxiNy雅可比（Jacobi）矩陣的逆矩陣為11yyxxJJ等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）44114411,iiiiiiiiiiiiNNxyNNxy J8181,iiiiiixNxyNy 2022-3-208平面問題有限元分析-等參單元yyxx可求可求xyxyJ = 將單元應(yīng)變代入平面問題的物理方程式，就得到平面4節(jié)點等參單元的應(yīng)力列陣，為eeiiSDB （i=1，2，4）等參元剛

5、度矩陣仍可用下式表示dd deeTeeTeVtx yKB DBB DB等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-209平面問題有限元分析-等參單元面積微元的變換面積微元的變換 計算單元剛度矩陣時，需將對整體坐標的積分變成對局部坐標（自然坐標）的積分，其面積微元也由直角坐標中的矩陣dxdy變成自然坐標中的曲邊四邊形 以下求直角坐標中的曲邊面積元dA，用局部坐標中的面積微元 表示的表達式。dddd0 xyo1111dAdjid由圖 (a)得dddA圖 (a)等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-2010平面問題有限元分析-等參單元由圖(b)，在oxy坐標系內(nèi)

6、任一微矢量 dr xyordi xdjj ydi圖(b)由于x,y是 的函數(shù)，所以,ddd,dddyyyxxxjyyixxr)dd()dd(d故等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-2011平面問題有限元分析-等參單元ddxiyj等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）dddA2022-3-2012平面問題有限元分析-等參單元dddxiyjdddxiyjdr xyordi xdjj ydi圖(b)ddxiyj(dd )(dd )xxyyij(dd )(dd )xxyyij 由于 是沿 坐標變化的，所以它只是 的函數(shù)，與 無關(guān)?？傻茫篸d同理d得dddddddddyx

7、yxyxyxA等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）dddA2022-3-2013平面問題有限元分析-等參單元ddxyijddxyijyxyxJ雅可比行列式 JacobidddJA 因為曲邊面積元dA:則等參元剛度矩陣為1111eeTetd d KB DB J等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-2014平面問題有限元分析-等參單元deeTetAKB DB1111eeTetd d KB DB J 由以上分析可知，在劃分單元時，只需確定單元節(jié)點的整體坐標值，而不必畫出等參元的具體形狀，因為在計算中實際使用的只有單元四個節(jié)點在整體坐標系下的位移值。 等參元變換的條件為

8、 ，因此在有限元網(wǎng)格劃分時，要特別注意這一點。0J 由此式可計算出單元的剛度矩陣，此處的積分一般得不到顯式形式顯式形式，因此要采用數(shù)值積分數(shù)值積分法（如Gauss積分法），該積該積分對任何形狀的四邊形單元具有相同的積分表達式和相同的積分對任何形狀的四邊形單元具有相同的積分表達式和相同的積分限分限。上式積分運算是在母單元母單元（自然坐標）內(nèi)進行的，但節(jié)點力與節(jié)點位移的方向均沿整體坐標x，y方向。所以ke是整是整體坐標內(nèi)的剛度矩陣體坐標內(nèi)的剛度矩陣。等參單元剛度（等參單元剛度（4 4節(jié)點）節(jié)點）2022-3-2015平面問題有限元分析-等參單元 單元內(nèi)某點受到集中載荷P=Px PyT，移置到單元節(jié)

9、點上的等效節(jié)點力為：等參單元等效節(jié)點力（等參單元等效節(jié)點力（4 4節(jié)點）節(jié)點） 00014332211YXYXYXYXPPNNNNNNNNPNFePyx4321432100000T TT T（1）集中力引起的單元節(jié)點載荷集中力引起的單元節(jié)點載荷yppiixppiipNYpNX),(),(其分量形式：)8 , 2 , 1(i2022-3-2016平面問題有限元分析-等參單元（2）體積力引起的單元節(jié)點載荷體積力引起的單元節(jié)點載荷 dePAFN Pt AT T 單元的單位體積力為P=X YT，移置到單元節(jié)點上的等效節(jié)點力為：2022-3-2017平面問題有限元分析-等參單元 d dAN Pt J T

10、 T11110 00TXJ td dY 12341234N0N0N0NNN0N0N12,11 ()nniji jijww N P JtT T高斯積分（3）表面力引起的單元節(jié)點載荷表面力引起的單元節(jié)點載荷 dePsFtN P ST T0 xyo1111dAdjidddS2022-3-2018平面問題有限元分析-等參單元1ddxyij221 ()()dxy 單元的某邊界上承受力為P=X YT，移置到單元節(jié)點上的等效節(jié)點力為(設(shè)=1的面上受有表面力，沿=1邊的切向取微分矢量d)： （3）表面力引起的單元節(jié)點載荷）表面力引起的單元節(jié)點載荷 12211d ()()dePsFtN P SxyN PT TT

11、 T 單元的某邊界上承受力為P=X YT，移置到單元節(jié)點上的等效節(jié)點力為(設(shè)=1的面上受有表面力，沿=1邊的切向取微分矢量d)： 0 xyo1111dAdjid2022-3-2019平面問題有限元分析-等參單元2211()() )nijixywN PtT T高斯積分（3）表面力引起的單元節(jié)點載荷表面力引起的單元節(jié)點載荷 XPY 單元的某邊界上承受力為P=X YT，移置到單元節(jié)點上的等效節(jié)點力為：1()dePsFtN P ST T2022-3-2020平面問題有限元分析-等參單元ddddxySSddddyxSS（3）表面力引起的單元節(jié)點載荷表面力引起的單元節(jié)點載荷 單元的某邊界上承受力為P=X

12、YT，移置到單元節(jié)點上的等效節(jié)點力為： 1()ddddd ddddddd ddePsssFtN P SxySStNSyxSSxytNyxT TT TT T111dxytNxyT T2022-3-2021平面問題有限元分析-等參單元 八個節(jié)點分別為正方形的四個角點和四個邊中點，母單元（邊長為2的正方形）采用直角坐標系,。由于母單元為16個自由度，因此單元的位移模式為222212345678222212345678uaaaaaaaavbbbbbbbb 八節(jié)點矩形單元八節(jié)點矩形單元2022-3-2022平面問題有限元分析-等參單元8811,iiiiiiuNu vNv 式中：123425262728(

13、1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1) / 2(1)(1) / 2(1)(1) / 2(1)(1) / 2NNNNNNNN 八節(jié)點矩形單元八節(jié)點矩形單元 式中的16個常數(shù)用8個節(jié)點的位移（ ， ）表示后，則上式為iuiv2022-3-2023平面問題有限元分析-等參單元8811,iiiiiiuNu vNv 123425262728(1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1)(1) / 4(1)(1) / 2(1)(1) / 2(1)(1) / 2(1)(1) / 2NNNN

14、NNNN 式中的16個常數(shù)用8個節(jié)點的位移（ ， ）表示后，則上式為iuiv八節(jié)點矩形單元八節(jié)點矩形單元)8 , 6()1)(1 (21)7 , 5()1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1() 1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii2022-3-2024平面問題有限元分析-等參單元等參單元等參單元- -任意直邊四邊形單元（任意直邊四邊形單元（8 8節(jié)點）節(jié)點）62518473yxo3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o7856 采用坐標變換可使母單元的八個節(jié)點坐標與等參元的八個節(jié)點坐標建立一一對應(yīng)的關(guān)系，整體坐標和局部坐標的變換式為8811,iii

15、iiixNx yNy 2022-3-2025平面問題有限元分析-等參單元等參單元等參單元- -任意直邊四邊形單元（任意直邊四邊形單元（8 8節(jié)點）節(jié)點）62518473yxo3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o78568811,iiiiiixNx yNy )8 , 6()1)(1 (21)7 , 5()1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1() 1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii2022-3-2026平面問題有限元分析-等參單元等參單元等參單元- -任意直邊四邊形單元（任意直邊四邊形單元（8 8節(jié)點）節(jié)點）62518473yxo3(1,1)2(

16、1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o7856 可知，母單元上任意直邊，例如23邊，有1，則有關(guān)的形函數(shù)N2、N3和N6均是的二次函數(shù)，其余的形函數(shù)均為零。這樣變換就成為二次非線性變換，它可將母單元的直邊23映射成子單元的曲邊23。2022-3-2027平面問題有限元分析-等參單元)8 , 6()1)(1 (21)7 , 5()1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1() 1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii 局部坐標僅適用于單個單元，整體坐標適用于整個局部坐標僅適用于單個單元，整體坐標適用于整個結(jié)構(gòu)的各個單元結(jié)構(gòu)的各個單元 在推導(dǎo)有限元公式時，一切過程都首先在局部

17、坐標在推導(dǎo)有限元公式時，一切過程都首先在局部坐標下進行，然后再進行坐標變換下進行，然后再進行坐標變換 等參數(shù)單元的剛度矩陣和等效節(jié)點載荷的計算公式等參數(shù)單元的剛度矩陣和等效節(jié)點載荷的計算公式都需做積分運算都需做積分運算 df11)( 1111),(ddfdddf 111111),(高斯積分法高斯積分法 被積函數(shù)被積函數(shù)f一般很復(fù)雜，往往不能得出它的顯式，一般很復(fù)雜，往往不能得出它的顯式，在有限元計算中常采用在有限元計算中常采用數(shù)值積分數(shù)值積分。在單元內(nèi)選出某些。在單元內(nèi)選出某些積分點積分點(210)，算出被積函數(shù)，算出被積函數(shù)f在這些在這些積分點的值積分點的值，然后用然后用加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù)乘上

18、這些積分值，再求出乘上這些積分值，再求出總和總和作為近作為近似的積分值似的積分值 高斯積分法高斯積分法用同樣數(shù)目的積分點具有較高精度用同樣數(shù)目的積分點具有較高精度一維高斯積分公式一維高斯積分公式 df11)()(1iniifW 式中式中,n為積分的為積分的點數(shù)點數(shù)， i為積分點為積分點i的局部坐標的局部坐標 ，Wi為加權(quán)系數(shù)為加權(quán)系數(shù) ，f( i)為被積函數(shù)在積分點處的函數(shù)值為被積函數(shù)在積分點處的函數(shù)值高斯積分法高斯積分法2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元31111( )2Ifdfdf11)()(1iniifW2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元32230123( )fcccc1201( )2()3cIfdcdf11)(21( )iiiW f2201( )2()3iiicW fc2022-3-20平面問題有限元分析-等參單元33230123( )fcccc2201( )2()3iiicW fc121 122221 122331 12220230WWWWWWWW23232101 12 13 1201 222320()()2()3cW ccccW ccccc1212110.577353WW 1111),(ddf),(11jijniimjfWWdddf 111111),(),(111kjikjni