一元二次方程與幾何綜合(教師版)

1、一元二次方程與幾何綜合一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：運(yùn)用根的判別式及韋達(dá)定理解決與一元二次方程的根有關(guān)的幾何問(wèn)題，強(qiáng)化旋轉(zhuǎn)中的基本圖 形和有關(guān)圓的綜合題的處理方法.能力目標(biāo)：能熟練地將方程的根與幾何圖形中的條件聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)方程的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)實(shí)行 轉(zhuǎn)化.情感目標(biāo)：增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，培養(yǎng)科學(xué)探究的意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)建立一元二次方程的兩根的與幾何圖形之間的聯(lián)系.三、教學(xué)難點(diǎn)含參一元二次方程的處理.四、課時(shí)安排23課時(shí)（2小時(shí)左右）.五、教學(xué)過(guò)程1 .先簡(jiǎn)單回顧上節(jié)課一元二次方程綜合題的基本方法，并回顧韋達(dá)定理的基本內(nèi)容和含參數(shù)的一元二次方 程的處理方法.2 .例題講解：【例1】（20132014江岸

2、九上起點(diǎn)25）（試題難度：A）a 2 參考答案：(1)一 一；m=1 (2) 5000.b 3 .5分析：（1） ABD的三邊分別為 J2a、b、a ,且/ BAD=45° ,故過(guò) B點(diǎn)做BF LAD于F,在4 2BFD中使用勾股定理可以得到 a、b之間的關(guān)系式，因式分解之后得到兩個(gè)結(jié)果，根據(jù)條件a<b可以排除一個(gè)結(jié)果；由韋達(dá)定理可以得到a、b與m之間的兩個(gè)關(guān)系式，再加上求出的結(jié)果，一共三個(gè)方程，可以把m的值求出來(lái)，得到兩個(gè)解 m=1和m=-3,分別算出a、b之后發(fā)現(xiàn)當(dāng) m=-3時(shí)a、b為負(fù)值，又 a、b是線段長(zhǎng)不可能為負(fù)，故排除此解，所以 m=1.（2） a、b、c長(zhǎng)度都未知

3、，只知道 BE的長(zhǎng)，直接去求五邊形各部分面積肯定行不通.考慮到 ABC和 ADE是兩個(gè)共底角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，嘗試使用全等將五邊形ABCDE拼接成為一個(gè)與 BE相關(guān)的三角形.故取 CD中點(diǎn) F,延長(zhǎng) EF至 G,使 FG = EF,連接 BG、CG,則4 EDFA GCF , BAE0 BFG,所以五邊形 ABCDE的面積就等于 EBG的面積，而 EBG又是一個(gè)腰長(zhǎng)為 100的等腰直角三角 形，問(wèn)題解決.另法：過(guò) E點(diǎn)做AB的垂線，交 BA延長(zhǎng)線于F,過(guò)D做DGLAC于G,設(shè)EF=x, AF=y,證明 AEFs DAG,且相似比為 V2 ,在 BEF中使用勾股定理用 a、b、x、y把BE表

4、示出來(lái)，再把五邊形 ABCDE 的面積表示出來(lái)，然后做整體代換，也可以求出結(jié)果，此法較復(fù)雜.點(diǎn)評(píng)：本題（1）的兩問(wèn)都有兩個(gè)結(jié)果，算出答案之后注意結(jié)合題目條件驗(yàn)證，排除掉與幾何條件不符的結(jié)果；第（2）問(wèn)考查了兩個(gè)等腰直角三角形共底角頂點(diǎn)的基本圖形.【例2】（20132014黃陂區(qū)九上期中 24改編）（試題難度：A）參考答案：（1） PA=9; （2） 10.分析：（1）這是一個(gè)八年級(jí)?？嫉膱D形，結(jié)論是 PA=PB+PC,又由韋達(dá)定理得到PB+PC=9,問(wèn)題解決.給出兩種證明：延長(zhǎng) PC至D,使CD = BP,證明 ABPA ACD;延長(zhǎng) BP至E,使PE=PC,證 明 BCEA ACP .（2）

5、根據(jù)韋達(dá)定理不能求出p、q,所以先處理第二個(gè)式子，去掉絕對(duì)值之后可以將其因式分解，得到p=6或q=3 ,將兩種情況都代入到韋達(dá)定理中驗(yàn)算，可以排除掉q=3的結(jié)果，故 p=6 , q=8 .要使PA+PB+PC最小，可以將 BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° BED,貝U PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為 PA+PE+ED ,貝U 當(dāng)PA、PE、ED共線時(shí)有最小值，即最小值為 AD,因?yàn)?AB=6, BD=BC=8, /ABD=90° ,故 AD=10.點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問(wèn)考查八年級(jí)常考的圖形以及韋達(dá)定理；第（2）問(wèn)是一元二次方程與幾何最值問(wèn)題的結(jié)合.階段性小結(jié)：例1例2告訴我們，在做此類(lèi)

6、題目的時(shí)候，常常會(huì)得到多解，得到的結(jié)果一定要結(jié)合題目 條件一一驗(yàn)證.【例3】（2013武漢元調(diào)25）（試題難度：B）參考答案：（1）略；（2） 也；（3） 0vmv1 或-2Wmv-l分析：（1）因?yàn)锳C+CE=AE,所以只需證明 CE=，3BC即可，因?yàn)?BCXCE,所以連接 BE,只需證明 ZE=30° ,因?yàn)? E是。的圓周角，所以/ E是/O的一半，問(wèn)題得證；（2） WAB中點(diǎn)F,連接AF、BF,則出現(xiàn)了一個(gè)八年級(jí)?？嫉膱D形，過(guò) F分別向AC、BC做垂線，垂足分別為 G、H,則 AFGBFH,故 AC+BC=2AG,又因?yàn)?AG< AF,故 AC+BCW2AF = J2

7、 .（3）這個(gè)關(guān)于x的方程可以因式分解，可以得到X1 =b和X2 = J3a b ,所以需要考慮兩種情況：b的范圍即AC的范圍，即0到1之間；V3a b的范圍可以考慮 AE,當(dāng)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AE最短為AB,最長(zhǎng)為。O直徑，這一點(diǎn)很容易出錯(cuò)，故m的取值范圍有兩個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問(wèn)將八年級(jí)的基本圖形隱藏在圓中，同時(shí)加入了最值問(wèn)題；第（3）問(wèn)是韋達(dá)定理與幾何最值的結(jié)合，【例4】（20132014 六中周練25）（試題難度：A）6 / 6參考答案：（1）a+3b=10;m=J3 （2）a=2, b= 2<3 ；MN最大值6 2屈,最小值6 2代分析：（1）過(guò)D點(diǎn)分別向x軸、y軸做垂線，垂足

8、分別為 E、F,則4 DEBsDFA,然后可以得到a、b間的關(guān)系；由韋達(dá)定理可以得到關(guān)于a、b、m的兩個(gè)關(guān)系式，加上中的關(guān)系式，可以把 m求出來(lái)，得到兩個(gè)結(jié)果，注意其中一個(gè)結(jié)果不符合題意要舍掉； .3n2 n（2）用因式分解法可以得到這個(gè)方程的兩根，由于 A在y軸負(fù)半軸上，所以 a=-2, b=-一，將八、1a、b代入一a 43b 5中，可以求出n、b,注意舍掉不符合題意的一根；在。Q中，MN所對(duì)的圓周2角為一定值60° ,所以。Q半徑越大，MN越大，O Q半徑越小，MN越小.Q點(diǎn)為CO1與OO1的交點(diǎn)時(shí)，QC最小，Q點(diǎn)為CO1延長(zhǎng)線與。O1的交點(diǎn)時(shí)，QC最大，然后可以求出 MN的長(zhǎng)

9、.點(diǎn)評(píng)：本題是韋達(dá)定理與幾何最值問(wèn)題的結(jié)合.階段性小結(jié)：熟練掌握含參一元二次方程的做法是這一類(lèi)題的基礎(chǔ)，例 2例3例4都涉及到了因式分 解，對(duì)代數(shù)式變形的基本功有一定的要求.【歸納小結(jié)】本節(jié)課你們學(xué)到了什么知識(shí)？對(duì)一元二次方程與幾何綜合題有什么新的認(rèn)識(shí)？這類(lèi)題的易錯(cuò)點(diǎn)是什么?【家庭作業(yè)】1. （20132014二中、七一九上期中 16改編）（試題難度： B）3參考答案：(1) 4 V3 ; (2) 3V3 ; ( 3)CD取小值為2;22分析：(1)把四邊形ABCD的面積用a、b表示出來(lái)，然后結(jié)合韋達(dá)定理稍加變形即可；(2)與(1)方法一樣；(3)分別過(guò) CD向AB做垂線，可以把 CD用a、b

10、表示出來(lái)，然后用代數(shù)方法求其最值；當(dāng) CD最 小時(shí)，即a=b,此時(shí) PCD是一個(gè)等邊三角形，顯然可以得到R=2r,或者把R和r都計(jì)算出來(lái)也可以.點(diǎn)評(píng)：本題主要是用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，設(shè)置(1) (2)兩問(wèn)名合第(3)問(wèn)降低了難度.2. (20132014六中九上期中 25)(試題難度： A)參考答案：(1 ) A (正，0) ; (2) 22 - (3)22S ,0< t< 22 分析：（1）把半徑求出來(lái)用勾股定理計(jì)算，或者直接用直角三角形射影定理計(jì)算；（2）首先由韋達(dá)定理可以得到 N點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)N是AB中點(diǎn)，連接FN、GN,就成為了八年級(jí)?？嫉囊粋€(gè)圖形，此題迎刃而解；（3）注意到/ ACB=135° ,所以可以過(guò) A點(diǎn)做BC的垂線，垂足為