第三章指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較

1、第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)理解教材新知6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù) 函數(shù)增長的 比較把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高中課程中的三指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高中課程中的三大基本函數(shù)，下面以函數(shù)大基本函數(shù)，下面以函數(shù)y2x，yx2，ylog2x為例為例探究一下它們的差異探究一下它們的差異 問題問題1：這三種函數(shù)在：這三種函數(shù)在(0，)上的單調(diào)性怎樣？上的單調(diào)性怎樣？ 提示：提示：都是單調(diào)遞增都是單調(diào)遞增 問題問題2：右圖是同一直角坐標(biāo)系中三個(gè)函數(shù)的圖像，當(dāng)：右圖是同一直角坐標(biāo)系中三個(gè)函數(shù)的圖像，當(dāng)log2x2xx2時(shí)，時(shí)，x的范圍是什么？的范圍是什么？ 提示

2、：提示：2x4. 問題問題3：當(dāng)：當(dāng)log2xx22x時(shí)，時(shí)，x的的取值范圍是什么？取值范圍是什么？ 提示：提示：0 x4. 問題問題4：從三種函數(shù)圖像的比較，當(dāng)自變量：從三種函數(shù)圖像的比較，當(dāng)自變量x越來越大時(shí)，越來越大時(shí)，它們的增長速度怎樣？它們的增長速度怎樣？ 提示：提示：2x的值迅速增長，的值迅速增長，x2比起比起2x來，幾乎有些微不足道來，幾乎有些微不足道 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)時(shí)，指數(shù)函數(shù)yax是是 ，并且當(dāng)，并且當(dāng)a越越 時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，對數(shù)函數(shù)時(shí)，對數(shù)函數(shù)ylogax是是 ，并且當(dāng)，并且當(dāng)a越越 時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快時(shí)，其函數(shù)值的

3、增長就越快 當(dāng)當(dāng)x0，n1時(shí)，冪函數(shù)時(shí)，冪函數(shù)yxn顯然也是顯然也是 ，并且當(dāng)并且當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，n越越 其函數(shù)值的增長就越快其函數(shù)值的增長就越快增函數(shù)增函數(shù)大大增函數(shù)增函數(shù)小小增函數(shù)增函數(shù)大大 1對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax，當(dāng)，當(dāng)a1時(shí)，在時(shí)，在(0，)上是增函上是增函數(shù)，其增長速度平緩數(shù)，其增長速度平緩(越來越慢越來越慢) 2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax，當(dāng)，當(dāng)a1時(shí)，在時(shí)，在(0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，其增長速度急劇其增長速度急劇(越來越快越來越快)，常用，常用“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”來形容來形容 3冪函數(shù)冪函數(shù)yxn，當(dāng)，當(dāng)n1時(shí)，在時(shí)，在(0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，其增長速度相對平穩(wěn)其

4、增長速度相對平穩(wěn) 例例1函數(shù)函數(shù)f(x)2x和和g(x)x3的圖像，如圖所示的圖像，如圖所示設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10) 1x12,9x210. x18x22 010. 從圖像上知，當(dāng)從圖像上知，當(dāng)x1xx2時(shí)，時(shí)，f(x)x2時(shí)，時(shí)，f(x)g(x)，且，且g(x)在在(0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， f(2 010)g(2 010)g(8)f(8) 一點(diǎn)通一點(diǎn)通底數(shù)大于底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比為正數(shù)的一

5、次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比底數(shù)大于底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型增長要快，的對數(shù)函數(shù)模型增長要快， 從這個(gè)實(shí)例我們從這個(gè)實(shí)例我們可以體會(huì)到對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)可以體會(huì)到對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義類型增大的含義解析：解析：a、c對應(yīng)的是冪函數(shù)，對應(yīng)的是冪函數(shù)，a的指數(shù)大于的指數(shù)大于1，c的指的指數(shù)大于數(shù)大于0小于小于1；b和和d對應(yīng)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且對應(yīng)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且b中中的底數(shù)大于的底數(shù)大于1，d中的底數(shù)大于中的底數(shù)大于0小于小于1.答案：答案：C2四個(gè)變量四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：變化的數(shù)據(jù)如下表：

6、x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_解析：解析：以爆炸式增長的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的從表以爆炸式增長的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的從表格中可以看出，四個(gè)變量格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從均是從2開始變化，開始變化，變量變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速度不同，其都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量中變

7、量y2的增長速度最快，畫出它們的圖像可知變量的增長速度最快，畫出它們的圖像可知變量y2關(guān)于關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化故填呈指數(shù)型函數(shù)變化故填y2.答案：答案：y2 (2)令函數(shù)令函數(shù)y1x2，y2log2x，y32x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖，然后作作出上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖，然后作x0.3，此直線必，此直線必與上述三個(gè)函數(shù)圖像相交由圖像知與上述三個(gè)函數(shù)圖像相交由圖像知log20.30.321)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函都是增函數(shù)，但它們的增長速度不在同一個(gè)數(shù)，但它們的增長速度不在同一個(gè)“檔次檔次”上上 2實(shí)際問題中對幾種增長模型的選擇實(shí)際問題中對幾種增長模型的選擇 (1)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度快的變指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度快的變化規(guī)律；化規(guī)律； (2)對數(shù)函數(shù)增長模型比較適合于描