（精心整理）角的平分線的性質(zhì)

1、角的平分線的性質(zhì)一. 基礎(chǔ)知識1角的平分線的性質(zhì)(1)內(nèi)容角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等(2)書寫格式如圖所示，點P在AOB的角平分線上，PDOA，PEOB，PDPE.2角的平分線的判定(1)內(nèi)容角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上(2)書寫格式如圖所示，PDOA，PEOB，PDPE，點P在AOB的角平分線上3運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題運用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離在運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可運用角平分線的性質(zhì)解決實際問題時，一定要把實際問題中

2、道路、河流等抽象成數(shù)學圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法4運用角的平分線的判定解決實際問題在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型(角的平分線)然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題解技巧 巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點5綜合運用角的平分線的

3、性質(zhì)和判定解決實際問題角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應用時不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)析規(guī)律 構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可6運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題在實際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)

4、“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”的應用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，并且交點到該三角形三邊的距離都相等，其實只要作出其中兩條角平分線的交點，第三條角平分線一定過此交點三角形兩個外角的平分線也交于一點，這點到該三角形三邊所在的直線距離相等三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個 【例6】 如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？解：三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離

5、相等；ACB，ABC的外角平分線交于一點，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點也在CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有BAC，BCA的外角平分線的交點；BAC，CBA的外角平分線的交點，因此滿足條件的點共有4個作法：(1)如右圖所示，作出ABC兩內(nèi)角BAC，ABC的平分線的交點O1.(2)分別作出ACB，ABC的外角平分線的交點O2，BAC，BCA的外角平分線的交點O3，BAC，CBA的外角平分線的交點O4；故滿足條件的修建點有四處，即點O1，O2，O3，O4處課堂練習一、填空題 1已知：ABC中，B=90°， A、C的平分線交于點O，則AOC的度數(shù)

6、為 .2角平分線上的點到_距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點都在_3AOB的平分線上一點M ，M到 OA的距離為1.5 cm，則M到OB的距離為_.4如圖，AOB=60°，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，則DOC=_.5如圖，在ABC中，C=90°，AD是角平分線，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，則BC=_cm.6如圖，CD為RtABC斜邊上的高，BAC的平分線分別交CD、CB于點E、F，F(xiàn)GAB，垂足為G，則CF_FG，CE_CF.7如圖，已知AB、CD相交于點E，AEC及AED的平分線所在的直線為PQ與MN，則直線MN與PQ的關(guān)系是_.8三角

7、形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到_相等9點O是ABC內(nèi)一點，且點O到三邊的距離相等，A=60°，則BOC的度數(shù)為_10在ABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=32且BDCD=97，則D到AB的距離為. 二、選擇題 11三角形中到三邊距離相等的點是（）A、三條邊的垂直平分線的交點 B、三條高的交點C、三條中線的交點 D、三條角平分線的交點12如圖，12，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD13如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到

8、三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處 B、2處 C、3處D、4處14如圖，ABC中，C90°，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，則DEB的周長為（）A、4 B、6 C、10 D、不能確定 第12題 第13題 第14題 15如圖，MPNP，MQ為MNP的角平分線，MTMP，連接TQ，則下列結(jié)論中不正確的是（）A、TQPQB、MQTMQPC、QTN90°D、NQTMQT 第15題 16如圖在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D

9、5 cm 17如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點D，則對于下列結(jié)論：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分線上其中正確的是（ ）A B C和 D18如圖，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（ ） AOA=OC B點O到AB、CD的距離相等 CBDA=BDC D點O到CB、CD的距離相等 19ABC中，C=90°，點O為ABC三條角平分線的交點，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（ ） A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C

10、 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 20兩個三角形有兩個角對應相等，正確說法是（ ）A兩個三角形全等 B如果還有一角相等，兩三角形就全等C兩個三角形一定不全等 D如果一對等角的角平分線相等，兩三角形全等三、解答與證明 21 如圖，已知ABC中，AB=AC，D是BC的中點，求證：D到AB、AC的距離相等. 22 如圖，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于點D，若BD=CD求證：AD平分BAC.23 如圖，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求證：AE平分FAC.24 如圖，已知AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O. (1)若DBAC于D，CEAB

11、于E，試判斷OE與OD的大小關(guān)系.并證明你的結(jié)論. (2)若沒有第（1）中的條件，是否有這樣的結(jié)論?試說明理由.25如圖，B=C=90°M是BC的中點，DM平分ADC，求證：AM平分DAB.重點題型講解1.如圖已知在ABC中，A、B的角平分線交于點O，過O作OPBC于P，OQAC于Q，ORAB于R，AB=7，BC=8，AC=9（1）求BP、CQ、AR的長（2）若BO的延長線交AC于E，CO的延長線交AB于F，若A=60，求證：OE=OF2.如圖AE、BD是ABM的高AE、BD交于點C，且AE=BE，BD平分ABM（1）求證：BC=2AD；（2）求證：AB=AE+CE；（3）求證：DE

12、平分MDB3.如圖，點M（2，2），將一個90°的角尺的直角頂點放在點M處，角尺的兩邊分別交x軸、y軸正半軸于A、B，AP平分OAB，交OM于點P，PNx軸于N，把角尺繞點M旋轉(zhuǎn)時：（1）求證：OM平分AOB；（2）求OA+OB的值4.如圖，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于點H，連CH（1）求證：ACDBCE； （2）求證：CH平分AHE； （3）求CHE的度數(shù)（用含的式子表示）家庭作業(yè)1角平分線上的點到_距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點都在_2、AOB的平分線上一點M ，M到 OA的距離為1.5 cm，則M到OB的距離為_.3、如圖，

13、AOB=60°，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，則DOC=_.4、如圖，在ABC中，C=90°，AD是角平分線，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，則BC=_cm.5、 三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到_相等。6、 點O是ABC內(nèi)一點，且點O到三邊的距離相等，A=60°，則BOC的度數(shù)為_7、 在ABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，則D到AB的距離為. 8、三角形中到三邊距離相等的點是（）A、三條邊的垂直平分線的交點 B、三條高的交點C、三條中線的交點 D、三條角平分線的交點9

14、、如圖，12，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD10、如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處 B、2處 C、3處D、4處11、如圖，ABC中，C90°，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，則DEB的周長為（）A、4 B、6 C、10 D、不能確定 第9題 第10題 第11題12、如圖，MPNP，MQ為MNP的角平分線，MTMP，連接TQ，則下列結(jié)論中不正確的是（）A、TQPQB、MQTMQ

15、PC、QTN90°D、NQTMQT 第12題 第13題 第14題13、如圖在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 14、如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點D，則對于下列結(jié)論：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分線上其中正確的是（ ）A B C和 D15、ABC中，C=90°，點O為ABC三條角平分線的交點，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（ ）A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 16、在RtABC中，C90°，DE是AB的垂直平分線，且BADBAC13，求B的度數(shù) 17、已知：如圖ABC中，AB=AC，C=30°，ABAD，AD=4cm，求BC的長 18、如圖1134，在ABC中C=900，AC=BC，AD平分交BC于點D，DEBE