運動穩(wěn)定性_2a

1、1第二章定常線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性2一、線性系統(tǒng)的擾動方程一、線性系統(tǒng)的擾動方程線性動力學(xué)系統(tǒng)方程的一般形式:任何系統(tǒng)的特解的穩(wěn)定性均可通過擾動方程轉(zhuǎn)化為一新系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性. 一般情況下特解是否穩(wěn)定不僅取決于系統(tǒng), 還取決于特解本身, 但對于線性系統(tǒng)(2), 有:1 引言(2)( )( )dttdtxAxD3代入 (2):引入(擾動):即任何特解的擾動方程都一樣.定理定理：線性系統(tǒng)(2)的任一特解是(漸近)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的零解是(漸近)穩(wěn)定的.(3)( )dtdtxAx設(shè) 為系統(tǒng)(2)的特解, 且 .( ) txu00( )txu( )( )( )tttyxu即:( )( )( )t

2、ttxyu( )( )( )dtdttdtdtxyu( )( )( )( )ttttAyuD( )( ) ( )dtttdtyAy4二、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性特點二、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性特點1. 線性系統(tǒng)的各特解的穩(wěn)定性都一樣;2. 漸近穩(wěn)定 全局漸近穩(wěn)定(即原點的吸引區(qū)是全空間) .三、三、定常定常線性系統(tǒng)是可以理論求解的系統(tǒng)線性系統(tǒng)是可以理論求解的系統(tǒng)5對于單變量系統(tǒng):dxaxdt有解:對于多變量系統(tǒng):有解:exp ()ooxxa tt,()ijn ndadtxAxA00exp ()ttxAx6矩陣的指數(shù)函數(shù)矩陣的指數(shù)函數(shù)對于函數(shù) , 有兩種等價的定義:xe231.2!3!xxxex 或:lim(1

3、)xnnxen同樣, 對 nn 矩陣 A , 有:其中 E 為恒等陣.23.2!3!eAAAEA或:1lim()nnenAEA且：()ttd eedtAAA7( )( )( )ttt xAxBu求解：方程改寫成：有：非齊次方程 的解：( )( )( )ttt xAxBu00()0( )( )tt ttteedAAxBux0()0( )tttteedAAxBu( )( )( )tttxAxBu兩邊乘以 ：teA( )( )( )tttetetetAAAxAxBu( )( )ttdetetdtAAxBu0( )( )otttttetedAAxBu例：有阻受迫線性振動系統(tǒng)st0 lxokmc)(tF

4、tFkxxcxmsin thxxxsin220 其中：20/ 2 ,/cmm k方程有特解：其中：sin()xBt2222204)(hB9方程的通解：-desin()sin()txAtBt22d0其中： A 和 由初始條件確定。顯然，方程的特解 是漸近穩(wěn)定的。sin()xBt系統(tǒng)對應(yīng)于任意初始條件的特解也是(漸近)穩(wěn)定的。系統(tǒng)對應(yīng)于任意初始條件的特解的擾動方程：0220 xxx 10一、二階系統(tǒng)的例子其鉛垂向下的靜平衡位置: =02 2 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)(a)例例1: 單擺鉛垂向下的靜止位置2gl222sin0ddt當(dāng)擺作微幅擺動時, 有線性化方程:2220ddt (b)11二、二階線性系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性二階系統(tǒng):特征方程:特征根:12當(dāng) 時, 方程 (1) 有通解:(1)1212ttxz ez ecc其中: cc 表示前面所有項的復(fù)共軛.2220d xdxabxdtdt220ab21,2aab 12討論：討論：(1) 如果: (相應(yīng)于振動的大阻尼情況), 有:120零解漸近穩(wěn)定;(2) 如果: , 有:120lim ( )0, lim ( )0ttx tx tlim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩(wěn);(3) 如果: , 有:120lim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩(wěn);13(4) 如果是一對實部為正的共軛復(fù)根( ), 有:20,aab2sinatxeAba

6、 t擾動解發(fā)散;(5) 如果是一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根( ), 有:20,aab2sinatxeAba t零解漸近穩(wěn)定;lim ( )0, lim ( )0ttx tx t(6) 如果是一對實部為零的純虛根( ), 有:0,0absinxAbt零解穩(wěn)定但不漸穩(wěn);14(7) 如果是一對正的重實根( ), 有:20,aba12()atxcc t elim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩(wěn);(8) 如果是一對負(fù)的重實根( ), 有:20,aba12()atxcc t e零解漸近穩(wěn)定;lim ( )0, lim ( )0ttx tx t(9) 如果: ( ), 有:2100,0ab212a

7、txc eclim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩(wěn);15212atxc ec(10) 如果: ( ), 有:1200,0ab零解穩(wěn)定但不漸穩(wěn);(11) 如果： ( )，有:1200,0ab12xctc零解不穩(wěn);結(jié)論結(jié)論: :1. 如果兩個特征根均具負(fù)實部: 漸近穩(wěn)定;2. 如果至少有一個特征根具正實部: 不穩(wěn)定;3. 如果特征根是一對純虛根: 穩(wěn)定;4. 如果特征根是一負(fù)根和一零根: 穩(wěn)定;5. 如果特征根是二重零根: 不穩(wěn)定.16線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性特點2. 線性系統(tǒng)的各特解的穩(wěn)定性都一樣3. 漸近穩(wěn)定 全局漸近穩(wěn)定(即原點的吸引區(qū)是全空間)定常線性系統(tǒng)是可以理論求解的系統(tǒng)1.

8、任何特解的擾動方程都一樣173 3 相平面方法相平面方法為表示運動的幾何性質(zhì), 有三種方式: 一、運動圖一、運動圖 以時間 t 為橫軸, x 為縱軸畫圖. 適用于單自由度系統(tǒng)(二階系統(tǒng)).tx( )x to18對于二階系統(tǒng)的解：消去時間 t ：00( , ,)0f x x x xxx o00(,)x x ( ( ), ( )x tx t二、相圖0000( ;,)( ;,)xx t x xxx t x x19三、相-時圖相-時空間：( , , )t x x 0000( ;,)( ;,)xx t x xxx t x x運動： 為相-時空間中的一條曲線。xx ot00(,)x x ( ; , )t

9、x x 實際上相圖是相相-時曲線時曲線在相空間相空間上的投影。20性質(zhì)：性質(zhì)：不同的相曲線不相交。四、定常定常系統(tǒng)的相曲線11122212( ,)( ,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統(tǒng)：相曲線的微分方程：22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x x由解的存在惟一性定理可得.211. 1. 等傾線法等傾線法五、繪制相圖的一般方法11122212( ,)( ,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統(tǒng):相曲線的微分方程:22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x xtan作函數(shù) 的等值線:212112( ,)( ,)fx xff x x相應(yīng)得到:12,. 1

10、2,.fc c對于二階系統(tǒng): 得等傾線方程:x.c=-1c=-1.2c=-1.4c=-1.6c=-1.8c=-2c=-2.5c=-3c=-4c=-6c=-11c=9c=4c=2c=1c=0.5c=0c=-0.2c=-0.4c=-1xABCDE0 xaxbx利用:dx dxdxxxdx dtdx改寫為:0dxxaxbxdxdxcdx令:bxxac 232. 2. 線性變換法線性變換法對于二階(二維)系統(tǒng)：dxaxbydtdycxdydt,dxxabdtAAdyycddt 或：作線性變換：,xTTy 1ddtTATJddt 24特征方程：2()0abadadbccd根據(jù)特征根情況討論。新系統(tǒng)的相曲

11、線易于確定原系統(tǒng)的相曲線可由新系統(tǒng)的相曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和伸縮得到253. 定性方法4. 分區(qū)線性化方法僅適用分段線性或分區(qū)線性系統(tǒng)。利用線性系統(tǒng)的結(jié)果進(jìn)行拼接。26二階系統(tǒng)相曲線的特點二階系統(tǒng)相曲線的特點:( , )0 xf x x利用:dx dxdxxxdx dtdx得等傾線方程:( , )dxf x xcdxx 相曲線的微分方程：( , )dxf x xdxx xx o系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向由相軌跡上的箭頭表示.相軌跡移動的方向相軌跡移動的方向:在相平面的上半平面, 系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運動.在下半平面, 系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由右向左運動.27六、相曲線的對稱性11122212( ,)(

12、,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統(tǒng)：相曲線的微分方程：22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x x3. 關(guān)于原點對稱:212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfx xf x xfx x 212212112112( ,)( ,)( ,)( ,)fx xfxxf x xf xx 212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfxxf x xfxx1. 關(guān)于 軸對稱:1x2. 關(guān)于 軸對稱:2x28例例: 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 251212111222222121222212212222221212()( ,)()1 () (2 )( ,)()

13、1 () xxxxxf x xxxxxxxxxfx xxxxx212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfxxf x xfxx相曲線關(guān)于原點對稱212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfx xf x xfx x 212212112112( ,)( ,)( ,)( ,)fx xfxxf x xf xx 相曲線關(guān)于坐標(biāo)軸非對稱29二階系統(tǒng)相曲線的微分方程：( , )dxf x xdxx 對稱性對稱性1. 關(guān)于 軸對稱:x ( , )( ,)f x xf xxxx 2. 關(guān)于 x 軸對稱:3. 關(guān)于原點對稱:( , )(,)f x xfxxxx 在 x 軸上,

14、除平衡點外相軌跡在 x 軸上的斜率為 . 所以, 除了奇點外, 相軌跡和 x 軸垂直相交.( , )(, )f x xfx xxx30例例: 彈簧-質(zhì)量振子的自由振動 0mxkx即:0lst okmx2dxxdxx 2kmxx o彈簧-質(zhì)量振子自由振動的相軌線關(guān)于x軸, 軸和原點均對稱.x 31例例: 單自由度保守系統(tǒng) ( )0 xf x方程有首次積分(能量守恒):21( )2xf x dxE記:( )( )F xf x dx21( )2xF xE相軌線關(guān)于 x 軸對稱.xoy( )yF xxox 0E1E2E3E4E32例例: 單擺2sin02gl能量積分:o221(1 cos )2E33七

15、、二階線性系統(tǒng)的相圖(1) 穩(wěn)定結(jié)點： 120 xx 20 xaxbx1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx34(2) 鞍點：120 xx 1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx35(3) 不穩(wěn)定結(jié)點： 120 xx 1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx36(4) 不穩(wěn)定焦點(一對實部為正的共軛復(fù)根)：20,aabxx 20 xaxbx2212(cossin)atxecba tcba t20 xaxbxx22x xbx xax 22240dxbxaxdt 37(5) 穩(wěn)定焦點(一對實部為負(fù)的共軛復(fù)

16、根)：20,aabxx 20 xaxbx2212(cossin)atxecba tcba t20 xaxbxx22x xbx xax 22240dxbxaxdt 38(6) 中心(一對實部為零的純虛根)：0,0abxx 20 xaxbx12sincosxcbbtcbbt 12cossinxcbtcbt222212xbxb cc39(7) 退化不穩(wěn)定結(jié)點( )：20,abaxx 20 xaxbx12atxcc t e212atxcacac t exax 40(8) 退化穩(wěn)定結(jié)點( )：20,abaxx 20 xaxbx12atxcc t e212atxcacac t exax 41(9) 不穩(wěn)定奇直線： ( )2100,0ab212atxc ecxx x 軸上所有