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1、精選文檔懸臂梁固有頻率的計(jì)算試求在處固定、處自由的等截面懸臂梁振動(dòng)的固有頻率（求解前五階）。解：法一：歐拉-伯努利梁理論懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：；懸臂梁的邊界條件為：該偏微分方程的自由振動(dòng)解為，將此解帶入懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程可得到，；其中將邊界條件（1）、（2）帶入上式可得，；進(jìn)一步整理可得；再將邊界條件（3）、（4）帶入可得；要求有非零解，則它們的系數(shù)行列式必為零，即所以得到頻率方程為：；該方程的根表示振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率：滿足上式中的各（）的值在書P443表8.4中給出，現(xiàn)排列如下：；若相對(duì)于的值表示為，依據(jù)式中的，可以表示為；因此由此可得到懸臂梁的前五階固有頻率，分別將n=1,2,3,4,

2、5帶入可得：；法二、鐵摩辛柯梁梁理論1.懸臂梁的自由振動(dòng)微分方程：；邊界條件：；設(shè)方程的通解為：；易知邊界條件（1）滿足此通解，將通解帶入上面的微分方程可得到頻率方程為：；其中；若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形的影響均忽視，上式的頻率方程簡(jiǎn)化為；當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí)可分別求得固有頻率為：多自由度系統(tǒng)頻率的計(jì)算方法等效質(zhì)量：連續(xù)系統(tǒng)懸臂梁簡(jiǎn)化為5個(gè)相等的集中質(zhì)量。1.鄧克萊法鄧克萊公式為： ，其中，；將其代入上式可求得系統(tǒng)的基頻為：，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻率偏小，誤差為17.42%，與鄧克萊法的推導(dǎo)預(yù)期相符。2. 瑞利法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為取靜變形曲線為假設(shè)陣型，設(shè)有所以，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻率偏大，誤差為15.23%，與瑞利法的推導(dǎo)預(yù)期相符。3. 里茨法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣由上面給出，設(shè)陣型為則可求出分別為將代入得；可以求得：，；以及；所以系統(tǒng)前兩階主陣型的近似為4. 雅

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