幾類不同增長的函數(shù)模型

1、人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學u32.1幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型 人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學目目 標標 要要 求求1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會其掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會其增長快慢增長快慢2理解直線上升，對數(shù)增長，指數(shù)爆炸的含義理解直線上升，對數(shù)增長，指數(shù)爆炸的含義3會分析具體的實際問題，建模解決實際問題會分析具體的實際問題，建模解決實際問題4培養(yǎng)對數(shù)學模型的應用意識培養(yǎng)對數(shù)學模型的應用意識.人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學熱熱 點點 提提 示示

2、學習本節(jié)內(nèi)容時，應充分利用計算器或計算機等工具學習本節(jié)內(nèi)容時，應充分利用計算器或計算機等工具作出一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，利用作出一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，利用圖象的形象直觀得到這幾類函數(shù)圖象的增長規(guī)律，圖象的形象直觀得到這幾類函數(shù)圖象的增長規(guī)律，進而歸納總結(jié)出一般規(guī)律熟練掌握這一規(guī)律后，進而歸納總結(jié)出一般規(guī)律熟練掌握這一規(guī)律后，還應注意靈活地運用它在實際問題中建立函數(shù)模型還應注意靈活地運用它在實際問題中建立函數(shù)模型.人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學1三種函數(shù)模型的性質(zhì)三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)yax(a1

3、)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增減上的增減性性單調(diào)遞單調(diào)遞增增單調(diào)遞單調(diào)遞增增單調(diào)遞單調(diào)遞增增圖象的變圖象的變化化隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學2.函數(shù)函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)增長速增長速度的對比：度的對比：(1)對于指數(shù)函數(shù)對于指數(shù)函數(shù)yax(a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)，在區(qū)間間(0，)上，無論上，無論n比比a大多少，盡管在大多少，盡管在x的一定范的一定范圍內(nèi)，圍內(nèi)，ax會小于會小于xn，但由于，但由于ax的增長的增

4、長快于快于xn的增長的增長，因此總存在一個因此總存在一個x0，當，當xx0時，就會有時，就會有axxn.(2)對于對數(shù)函數(shù)對于對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)間在區(qū)間(0，)上，盡管在上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，的一定范圍內(nèi)，logax可可能會大于能會大于xn，但由于，但由于logax的增長慢于的增長慢于xn的增長，因的增長，因此總存在一個此總存在一個x0，當，當xx0時，就會有時，就會有l(wèi)ogax1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同速度不同，而且不在同一個，而且不在同一個“檔次檔次”上隨著上隨著x的

5、增的增大，總會存在一個大，總會存在一個x0，當，當xx0時，就會有時，就會有l(wèi)ogaxxnax.人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學想一想：想一想：當當0a1，n0時，時，yax，yxn，ylogax為減函數(shù)，其為減函數(shù)，其“衰減衰減”速度如何？你能借助圖象，速度如何？你能借助圖象，類比分析嗎？類比分析嗎？提示：提示：如下圖所示：如下圖所示：對于函數(shù)對于函數(shù)yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一在同一“檔次檔次”上，隨著上，隨著x的增大，的增大，yax(0a1)的的衰減速度

6、越來越慢，會遠遠小于衰減速度越來越慢，會遠遠小于yxn(n0)的衰減的衰減速度，而速度，而ylogax(0ax0時，就有時，就有l(wèi)ogaxxn0)(1)寫出寫出y關于關于x的函數(shù)關系式，并指出這個函數(shù)的定義的函數(shù)關系式，并指出這個函數(shù)的定義域；域；(2)求魚群年增長量的最大值；求魚群年增長量的最大值；(3)當魚群的年增長量達到最大值時，求當魚群的年增長量達到最大值時，求k的取值范的取值范圍圍思路分析：思路分析：由題意寫出函數(shù)關系式，利用配方法求得由題意寫出函數(shù)關系式，利用配方法求得最大值，列不等式求最大值，列不等式求k的范圍的范圍人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一

7、版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學溫馨提示：溫馨提示：這是一道二次函數(shù)的應用題，同時考查了這是一道二次函數(shù)的應用題，同時考查了正比例函數(shù)正比例函數(shù)(一次函數(shù)一次函數(shù))本題中本題中“最大養(yǎng)殖量最大養(yǎng)殖量”、“空閑量空閑量”、“空閑率空閑率”這些臨時定義，使本題理這些臨時定義，使本題理解難度加大，因此，要通過多遍審題和分析關系理解難度加大，因此，要通過多遍審題和分析關系理解好這些詞匯，再找未知量之間的關系解好這些詞匯，再找未知量之間的關系在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因為在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因為根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可

8、利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最大、最小等問的最值，從而解決實際問題中的最大、最小等問題題人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學類型三類型三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型應用題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型應用題【例例3】1999年年1月月6日，我國的第日，我國的第13億個小公民在億個小公民在北京誕生，若今后能將人口年平均遞

9、增率控制在北京誕生，若今后能將人口年平均遞增率控制在1%，經(jīng)過經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)字為年后，我國人口數(shù)字為y(億億)(1)求求y與與x的函數(shù)關系的函數(shù)關系yf(x)；(2)求函數(shù)求函數(shù)yf(x)的定義域；的定義域；(3)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里函數(shù)的增減有什么實際意義函數(shù)的增減有什么實際意義人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學思路分析：思路分析：遞增率問題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研遞增率問題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類問題是中等數(shù)學的重要應用方向之究并解決這類問題是中等數(shù)學的重要應用方向之一這類問題解決的關鍵

10、是理解一這類問題解決的關鍵是理解“遞增率遞增率”的意義：的意義：遞增率是所研究的對象在遞增率是所研究的對象在“單位時間單位時間”內(nèi)比它在內(nèi)比它在“前單位時間前單位時間”內(nèi)的增長率，切記并不總是只和開內(nèi)的增長率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的值比較具體分析問題時，應嚴格始單位時間內(nèi)的值比較具體分析問題時，應嚴格計算并寫出前計算并寫出前34個單位時間的具體值，通過觀察、個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學問題后求解歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學問題后求解人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學解：解：(1)1999年人口數(shù)：年人口數(shù)：13億億經(jīng)過經(jīng)過1年，年，200

11、0年人口數(shù)：年人口數(shù)：13131%13(11%)(億億)經(jīng)過經(jīng)過2年，年，2001年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)13(11%)1%13(11%)(11%)13(11%)2(億億)經(jīng)過經(jīng)過3年，年，2002年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)213(11%)21%13(11%)3(億億)經(jīng)過年數(shù)與經(jīng)過年數(shù)與(11%)的指數(shù)相同，的指數(shù)相同，經(jīng)過經(jīng)過x年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)x(億億)yf(x)13(11%)x.人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學(2)理論上指數(shù)函數(shù)定義域為理論上指數(shù)函數(shù)定義域為R.此問題以年作為單位時間，此問題以年作為單位時間，N*是此函數(shù)的定義是此函數(shù)的

12、定義域域(3)yf(x)13(11%)x是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，11%1,130，yf(x)13(11%)x是增函數(shù)，是增函數(shù)，即只要遞增率為正數(shù)時，隨著時間的推移，人口的總即只要遞增率為正數(shù)時，隨著時間的推移，人口的總數(shù)總在增長數(shù)總在增長人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學溫馨提示：溫馨提示：在實際問題中，常常遇到有關平均增長率在實際問題中，常常遇到有關平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎為的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎為N，平均增長率為，平均增長率為p，則對于時間則對于時間x的產(chǎn)值的產(chǎn)值y，可以用下面的公式，可以用下面的公式y(tǒng)N(1p)x表示，解決平均增長率的問題，要用到這個函數(shù)表示

13、，解決平均增長率的問題，要用到這個函數(shù)式式 人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學u遞增率問題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決遞增率問題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類問題是中學數(shù)學的重要應用方向之一，這類問這類問題是中學數(shù)學的重要應用方向之一，這類問題解決的關鍵是理解題解決的關鍵是理解“遞增率遞增率”的意義：遞增率是的意義：遞增率是所研究的對象在所研究的對象在“單位時間單位時間”內(nèi)比它在內(nèi)比它在“前單位時前單位時間間”內(nèi)的增長率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的增長率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的值比較具體分析問題時，應嚴格計算并寫出內(nèi)的值比較具體分析問題時，應嚴格計算并

14、寫出前前34個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學問題，然后，求解此數(shù)學律后，再推廣概括為數(shù)學問題，然后，求解此數(shù)學問題問題人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學類型四類型四不同函數(shù)模型增長趨勢的比較不同函數(shù)模型增長趨勢的比較【例例4】函數(shù)函數(shù)f(x)2x和和g(x)x3的圖象如下圖所的圖象如下圖所示設兩函數(shù)的圖象交于點示設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x

15、12,9x210，x16x2.從圖象上可以看出，從圖象上可以看出，當當x1xx2時，時，f(x)g(x)，f(6)x2時，時，f(x)g(x)，f(2010)g(2010)又又g(2010)g(6)，f(2010)g(2010)g(6)f(6)人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學溫馨提示：溫馨提示：由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差異可以很容易地判斷出哪個是指數(shù)函數(shù)的圖象，哪異可以很容易地判斷出哪個是指數(shù)函數(shù)的圖象，哪個是冪函數(shù)的圖象解決此類題型的關鍵是了解個是冪函數(shù)的圖象解決此類題型的關鍵是了解“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”、“對數(shù)增長對數(shù)增長”等函數(shù)增

16、長差異，需等函數(shù)增長差異，需注意冪函數(shù)的增長是介于兩者之間的注意冪函數(shù)的增長是介于兩者之間的 根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最量的增大，圖象最“陡陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學u4函數(shù)函數(shù)f(x)lgx，g(x)0.3x1的圖象如下圖所的圖象如下圖所示示u(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應分別對應的函數(shù)；的函數(shù)；u(2)比較兩函數(shù)的增長

17、差異比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，以兩圖象交點為分界點，對對f(x)，g(x)的大小進行比較的大小進行比較)人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學解：解：(1)C1對應的函數(shù)為對應的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對應的函數(shù)對應的函數(shù)為為f(x)lgx.(2)當當xf(x)；當；當x1xg(x)；當；當xx2時，時，g(x)f(x)人教人教A版必修一版必修一新課標新課標數(shù)學數(shù)學1增長規(guī)律增長規(guī)律在區(qū)間在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個檔次上，隨著速度不同，而且不在同一個檔次上，隨著x的增大，的增大，yax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n0)的增長速度，而的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度的增長速度則會越來越慢因此，總會存在一個則會越來越慢因此，總會存在一個x0，當，當xx0時，時，就有就有l(wèi)ogaxxn0)、指數(shù)函、指數(shù)函數(shù)數(shù)yax(a1)、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)、冪函數(shù)、冪函數(shù)yxn(n0)的變化