同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案(8)

1、.習(xí)題8-3 1. 求下列函數(shù)的全微分: (1); 解 . (2); 解 . (3) ; 解 因?yàn)?, , 所以 . (4)u=xyz. 解 因?yàn)?, , , 所以 . 2. 求函數(shù)z=ln(1+x2+y2)當(dāng)x=1, y=2時(shí)的全微分. 解 因?yàn)?, , , , 所以 . 3. 求函數(shù)當(dāng)x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2時(shí)的全增量和全微分. 解 因?yàn)?, , 所以, 當(dāng)x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2時(shí), , . 4. 求函數(shù)z=exy當(dāng)x=1, y=1, Dx=0.15, Dy=0.1時(shí)的全微分. 解 因?yàn)?所以, 當(dāng)x=1, y=1, Dx=0.15,

2、Dy=0.1時(shí), . *5. 計(jì)算的近似值. 解 設(shè), 由于 , 所以取x=1, y=2, Dx=0.02, Dy=-0.03可得 . *6. 計(jì)算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 設(shè)z=xy, 由于 , 所以取x=2, y=1, Dx=-0.03, Dy=0.05可得 (1.97)1.05»2-0.03+2ln2×0.05+1.97+0.0693 »2.093. *7. 已知邊長(zhǎng)為x=6m與y=8m的矩形, 如果x邊增加5cm而y邊減少10cm,問(wèn)這個(gè)矩形的對(duì)角線的近似變化怎樣？ 解 矩形的對(duì)角線為, , 當(dāng)x=6, y=8, Dx=0.

3、05, Dy=-0.1時(shí), . 這個(gè)矩形的對(duì)角線大約減少5cm. *8. 設(shè)有一無(wú)蓋圓柱形容器, 容器的壁與底的厚度均為0.1cm, 內(nèi)高為20cm,內(nèi)半徑為4厘米, 求容器外殼體積的近似值. 解 圓柱體的體積公式為V=pR2h, DV»dV=2pRhDR+pR2Dh,當(dāng)R=4, h=20, DR=Dh=0.1時(shí), DV»2´3.14´4´20´0.1+3.14´42´0.1»55.3(cm3), 這個(gè)容器外殼的體積大約是55.3cm3. *9. 設(shè)有直角三角形, 測(cè)得其兩腰的長(zhǎng)分別為7±0.1

4、cm和24±0.1cm, 試求利用上述二值來(lái)計(jì)算斜邊長(zhǎng)度時(shí)的絕對(duì)誤差. 解 設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)度分別為x和y, 則斜邊的長(zhǎng)度為. . 令x=7, y=24, |Dx|£0.1, |Dy|£0.1, 則得斜邊長(zhǎng)度z的絕對(duì)誤差約為 cm. *10. 測(cè)得一塊三角形土地的兩邊長(zhǎng)分別為63±0.1m和78±0.1m,這兩邊的夾角為60°±1°, 試求三角形面積的近似值, 并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差. 解 設(shè)三角形的兩邊長(zhǎng)為x和y, 它們的夾角z, 為則三角形面積為. . 令x=63, y=78, , |dx|=0.1, |dy|=0.1, , 則 , , , 所以三角形面積的近似值為2127.82m2, 絕對(duì)誤差為27.55m2, 相對(duì)誤差為1.29%. *11. 利用全微分證明: 兩數(shù)之和的絕對(duì)誤差等于它們各自的絕對(duì)誤差之和. 證明 設(shè)u=x+y, 則 . 所以兩數(shù)之和的絕對(duì)誤差|Du|等于它們各自的絕對(duì)誤差|Dx|與|Dy|的和. *12. 利用全微分證明: 乘積的相對(duì)誤差等于各因子的相對(duì)誤差之和; 商