圓錐曲線難題匯編..

1、圓錐曲線難題匯編我經(jīng)過(guò)反思與整理，寫(xiě)成此文。一、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1 1 橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（ 見(jiàn)圖 1.1）橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在Fi處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對(duì)F2處的物體加熱.1 2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（ 見(jiàn)圖 1.2） 雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用2 3 拋物線的光學(xué)性質(zhì)： 從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都

2、平行于拋物線的軸（如圖1.3 ）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車(chē)大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見(jiàn)的太陽(yáng)能熱水器，它也是以拋物5

3、 / 12線鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的.、，圖 12 ,、， 人，、圖 1.3 一要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)欣問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。二、問(wèn)題轉(zhuǎn)化及證明3 . 1圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線l與曲線c交于P,_Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l連續(xù)變動(dòng)時(shí)，.P,.Q兩點(diǎn)沿 著曲線漸漸靠近，一直到_P“Q重合為一點(diǎn)M，此時(shí)直線l稱為曲線c在點(diǎn)M 處的切線，過(guò)M與直線l垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明2七1上任一點(diǎn)，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：警a2證明：由b21y0 yb2

4、2x2 a1。2b2（1 占）a1。當(dāng)x a時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k一定存在，且k y|x X0對(duì)式求導(dǎo)：2yy2b22" xo ab2x。切線方程為yy。b2x。2a y。2a y。(x Xo)2 x 丁點(diǎn)P（x。，y。）在橢圓 a2 y b21上,2X0故-2a2四1b2代入得x°x2ay°y b2而當(dāng)xa 時(shí)，yo 0切線方程為x a,也滿足式x°x故Fa等1是橢圓過(guò)點(diǎn)",）的切線方程.22預(yù)備定理2.若點(diǎn)P,y。）是雙曲線% + 1上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為:x°x2"a2, y證明：由TTb2x2a丫。丫d

5、至 1222 xy b (- 1) a對(duì)式求導(dǎo)：2yy'2b2-x。. a.k y'lb2x。xX0a2y。切線方程為y y。b2x。(x Xo)丁點(diǎn)P（xo,y。）在雙曲線x2a2y。氏1上，%xy°y代入得手鏟 0當(dāng)xa時(shí)，過(guò)點(diǎn)p的切線斜率k 一定存在，且k y I功而當(dāng)xa時(shí),y。 0切線方程為x a,也滿足式故x2xa,1是雙曲線過(guò)點(diǎn)PM,y。）的切線方程.預(yù)備定理3.若點(diǎn)Plxoy。）是拋物線y2 2Px上任一點(diǎn)，則拋物線過(guò)該點(diǎn)的切線方程是y0 y p(x X0)證明：由y2 2px,對(duì)x求導(dǎo)得：2yy' 2p k 丫'屋0 -p- y。當(dāng)y

6、0 0時(shí)，切線方程為y y (x x。) y。即 y°y y2 px px0而 y； 2Px°y0y p(x x0)而當(dāng)y° 0,x° 0時(shí)，切線方程為x° 0也滿足式故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是 yv p(x x0).定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn) P處的法線平分（圖 2.1 ）22橢圓上一點(diǎn)設(shè) F2PD 求證：已知：如圖，橢圓C的方程為二 當(dāng)1, Fi,F2分別是其左、右焦點(diǎn)，l是過(guò) a bP(x0,y0)的切線，l'為垂直于l且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的法線，交x軸于D,FiPD,22證法一i：在C: -y2- 1 上，P(

7、x0,y0) a b則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：警警a b則 l'：仔）x爭(zhēng)x0%/f法線l '與x軸交于D(c)2x0,0)a2cc2x0al是通過(guò)點(diǎn)P且與切線l垂直的法線,2.c|F1D| cyxo C,| F2D | a2.| F1D |acm2| F2D | a cx0又由焦半徑公式得：|PF1| a ex0,| PF21 a eM. ijiDj iPFij. i2D i-pFTi.PD是F1PF2的平分線90證法二：由證法一得切線l的斜率k y,|x %bYa2 V。,而PFi的斜率kiPF2Xo c的斜率k2y。Xo C9 / i2l到PFi所成白角滿足22 2 2 2.

8、 2ay。 b Xo b cx。-2 2r2(a b )x°y。 a cy。y。b x。,ki kXo c a2 yotan ' 21 kkib X)yo1 /V2(x。 c)a y。2 2P（x0,y。）在橢圓C:今 與1上 a b1 . b2, tan 'k k2 b21 kk2 cy。CVo同理，PF2到l所成的角滿足tan/. tan ' tan而，（。,一）2證法三：如圖，作點(diǎn)F3 ,使點(diǎn)F3與F2關(guān)于切線l對(duì)稱，連結(jié)Fi , F3交橢圓C于點(diǎn)P'下面只需證明點(diǎn)P與P'重合即可一方面，點(diǎn)P是切線l與橢圓C的唯一交點(diǎn)，則|PFi| IP

9、F2I 2a,是l上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)閘上的其它點(diǎn)均在橢圓外）另一方面，在直線l上任取另一點(diǎn)P''|P'Fi| |P'F2| |P'Fi| |P'F3| IEF3I |P''Fi |P'RI即P,也是直線AB上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而 P與P,重合即 而得證定理2雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分(圖 2.2);22已知：如圖，雙曲線C的方程為二4i, Fi, F2分別是其左、 a b右焦點(diǎn)，l是過(guò)雙曲線C上的一點(diǎn)P(xo,yo)的切線，交x軸于點(diǎn)D,設(shè)FiPD 求

10、證：兩焦點(diǎn)為 Fi( c,0) ,F2(c,0)(c2P(xo, yo)在雙曲線上則過(guò)點(diǎn)P的切線警邛 a2b22切線l與x軸交于D(,0) o xo2 a,F2PD由雙曲線的焦半徑公式得cc|PFi| x° a|,|PF2| -x a|雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(cQ),(c,0)故 |DFi| | 旦 11cx° a|,|DF2| | 且仔小Xoax° aa|，IPFilIPF2Il-xoa_a|DFi|,c .|- xo a| aIDF2I切線l為FPF之角分線。定理3拋物線上一個(gè)點(diǎn)P的焦半徑與過(guò)點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分(圖2.3)。已知

11、：如圖，拋物線C的方程為為y2 4cx, 直線l是過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(xo,yo)的切線，交 x 軸于 D, DPF , PDF ,反射線PQ與l所成角記為，求證：證明：如圖，拋物線C的方程為C : y2 4cx ,點(diǎn)P(Xo, yo)在該拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線為 yoy p(x xo)切線l與X軸交于D( xo,O)焦點(diǎn)為F(c,0),(同位角)2 .|PF| /(xo c)2 y2 |xo c|,|DF|xo c|PF | |DF |通過(guò)以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證 明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢?三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用3. 1解決入射與反射

12、問(wèn)題例1.設(shè)拋物線C:y 818)7 / 12圖 3.1.2 x, 一光線從點(diǎn)A(5, 2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到C上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為Q點(diǎn)的坐標(biāo)為圖3V 01 I 7. 0)、解：如圖，直線AP平行于對(duì)稱軸且A(5, 2), .則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, 2) 反射線PQ過(guò)點(diǎn)F(1,0)_8解得：t1517 / 1222例2.已知橢圓方程為216 1，若有光束自焦點(diǎn)N3, 0)射出，經(jīng)二次反射回到A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為B, C,如圖3.1.2所示，則ABC勺周 長(zhǎng)為。22解：:橢圓方程為1中，C2 25 16 92516.A3, 0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)自A(3,

13、 0)射出的光線AB反射后，反射光線AC走過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)A (-3 ,0)圖 3.1.3故 ABC的周長(zhǎng)為 AB BA' A'C CA 4a 4 5 2022例3.雙曲線C：、工1,又A C,已知A(4, 882收),F(4 , 0),若由F射至A的光線被雙曲線C反射，反射光通過(guò)P(8 , k),則k 解：入射線FA反射后得到的光線AP的 反向延長(zhǎng)線定過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn) F '( 4,0).一. k 3,2128 2解決一類(lèi)“距離之和”的最值問(wèn)題張奠宙教授說(shuō)“在一般情況下，光線在傳播過(guò)程中，總是選擇最近的 路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”層面上

14、的結(jié)論，但卻為我們研究一類(lèi)“距離之和”取值范圍問(wèn)題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問(wèn)題。如果再輔 以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”依然是很有價(jià)值的、不可替代的。 我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見(jiàn) 到而又覺(jué)得復(fù)雜的一類(lèi)最值問(wèn)題。22例4.已知橢圓C: 土 L 1, Fi、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn) Q（2, 1）, P259是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MFi|+|MQ|的取值范圍。（一）分析猜想：（1）經(jīng)計(jì)算，Q2, 2）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由于橢圓是封閉圖形，因此|MFi|+|MQ| 應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2）同樣根

15、據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得： 從Fi射出被橢圓反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的。這種 情況又分為兩類(lèi)，一是被上半橢圓反射（如圖 3.2.1 ,光線從Fi Pi Q, 二是被下半橢圓反射（如圖3.2.2 ,光線從Fi P2 F2 Q,究竟哪種情況 距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖 3.2.1中的|PiFi|+|P iQ|<2a（2a 為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)），而圖3.2.2中的|P2Fi|+|P 2Q|>2a,可見(jiàn)圖3.2.1所示的情 況距離之和更小。但是，最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線

16、反射路線合并圖3.2.3 ,由于|P2Q| +|P2Fi|+|P iQ|+|PiFi|是定值4a（a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)）,而|PiQ|+|PiFi|由前面 知最小，由此猜測(cè)|P2Q|+|P 2Fi|可能就是最大值。（二）證明|PiFi|+|P iQ|是最小值。如圖3.2.2 ,連接QF2,延長(zhǎng)交橢圓于心，在橢圓上另取一點(diǎn)P2,由橢 圓定義知：IP2QI-IQF2I+|PF i| = | P2F1I+I P2F2I （*）,因?yàn)?|P2F2|A | P2QHQF2I,代入（*）式得 IP2QI-IQF2I+|P 2F1I >| P2F1I+| P2QHQF2I 所 以，|P2Q| +|P2Fi

17、| >| P2F1I +| P2Q|。猜想得證。（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出|F2Q| .（4 2）2 42 2彳0可得最小值為 2a IF2QI 10 2.10最大值為 2a IF2QI 10 2.10. 2例5.已知雙曲線C: x2工1 , Fi、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q（44）, 32M是C上的動(dòng)點(diǎn),求|MF2|+|MQ|的取值范圍。分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開(kāi)口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉 曲線，顯然|MF2|+|MQ|可以無(wú)限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范圍，關(guān)鍵是 求出|MF2|+|MQ|的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從 F1射出經(jīng)雙曲線反

18、射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的，再結(jié)合 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反 向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)），可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光 線：連接F1Q與雙曲線的交點(diǎn)即為使得|MF2|+|MQ|最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)， 光線從F2 P Q。（見(jiàn)圖2（二）證明：如圖2:按猜想作出點(diǎn)P,由于所求點(diǎn)P顯然不在雙曲線 的左支上（此時(shí)顯然距離之和不會(huì)最?。?，故在右支上另取一點(diǎn)P ,由雙曲 線定義知：|PF1|-|PF 2| = | P F1| -| PF2I,即 |PF1|+| P F2I = | P F1| +|PF2| , 因?yàn)閨PF1|+|PQ|

19、<| PQ| +| PF1| ,兩邊同加 |PF2| 得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|圖 3.2.5點(diǎn)Q（2,1） , M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求<| PQ| +| P F1|+ |PF 2|=| | P Q|+| P F2| ,猜想得證。(三)計(jì)算：由題意知 .9 '( 2,0), Q(4, 2)：|PQ| |PF2|FQ| |F1P| |= |F1Q| (|FF| |PF2|)二 |F1Q| 2A=11 2例6.已知拋物線C: y2 4x, F是其焦點(diǎn),|MF|+|MQ|的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒(méi)有最 大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué) 性

20、質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射 光線與對(duì)稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線 的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：過(guò) Q與對(duì)稱 軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距 離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)（見(jiàn)圖3.2.6 ）?？?由拋物線的定義證明猜想是正確的。且 |PF|+|PQ| >33. 3.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問(wèn)題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用光線反射總是滿足反射定律(入射角等于反射角)，光線被曲線反射也 不例外，此時(shí)的法線就是過(guò)反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線?？梢?jiàn)，曲線的切 線和與曲線有關(guān)的反射問(wèn)題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖331,1是過(guò)橢圓周上一點(diǎn)P的橢圓的切線，m是 P點(diǎn)處的法線，光線從Fi (F2)射出被橢圓反射經(jīng)過(guò)F2 (Fi),滿足/1 = /2, 且/ 3=/4。例7.已知1是過(guò)橢圓C: 人上 1上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò) 16 12C的左焦點(diǎn)F1作1的垂線，求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖3.3.2 ,本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于 1是橢圓的切線，切 點(diǎn)為P,聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：1是/ EPE的外角平分線， 巳關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)F2在F2P的延長(zhǎng)線上。這樣