[很全]拋物線焦點弦的有關結論附答案

1、知識點(1) X1X2很全拋物線焦點弦的有關結論1:若AB是過拋物線y2 2 Pxp0的焦點F的弦。設A %, y , B X2, y22/ y1y2 P2證明：如圖,(1)若AB的斜率不存在時,依題息 X1X2-,X1X22若AB的斜率存在時，設為k,則 AB : y與y22 Px聯(lián)立，得k2 x-2 22 Px k xk22 pxX1X2X1X2(2)Xi2上xC ,X22P22yi y2yi y20,yy2(2)另證：設 AB : x myP匕 2上與y 22pX聯(lián)立，得22y 2 Pmy p 0, yy2,則(1)若900，設 AB:y k仔x P，與y2 2Px聯(lián)立, 2k2 x22

2、 2px2 pxXiX2*kABXiX24.2，2 p k iz，而 k tan ,k2AB22p i tantan22P2 sin知識點3:若AB是過拋物線y22PX P0的焦點F的弦，則以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。證明：過點A、B分別向拋物線的準線引垂線，垂足分別為Ai、Bi,過AB中點M向準線引垂線，垂足為N,設以AB為直徑的圓的半徑為r,2rABAFBFAAiBBi2 MNMNr.以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。知識點4:若AB是過拋物線y2 2px p0的焦點的弦。過點A、B分別向拋物線的準線引垂線，垂足分別為A. Bi,則AiFBi900 。證明借助于平行線和等腰三角形

3、容易證明oB知識點5:若AB是過拋物線y2 2px p0的焦點的弦，拋物線的準線與x軸相交于點 K ,貝U AKF BKF.證明：過點A、B分別作準線的垂線，垂足分別為AA1 / KF / BB1AiKBiKAF工而AFFBA1A, BFB1BAKB1KAiAB1BAiKBiKAK,|IIJAAi KA ABiBFBB1K900AAKs BB1KAKAB1KB2 pxAKF BKF知識點6:若AB是過拋物線y1 2 2px p 0的焦點F的弦，o為拋物線的頂點，連接AO并延長交該拋物線的準線于點C,則 BC/OF.證明：設A x1,y1AB : y "x,x1yp2x1yp22注2p

4、2 py由知識點1知2yy2pyc2p_2py2y2BC/OF逆定理：若AB是過拋物線y2 2px0的焦點F的弦，過點B作BCOF交拋物線準線于點c,則A、C、。三點共線。證明略知識點7:若AB是過拋物線y2 2px p證法:(1)若 ABx軸，則AB為通徑，而AB2p,的焦點F的弦,(2)若AB與x軸不垂直,設 A Xi，yi , B X2, V2的斜率為則l : y k x上與 22yk4 2 Px 聯(lián)立，得 k2 x 2 px k2x2 k22由拋物線的定義知AFPX1,n2BFX2X1 X2 Pn mnX1X2X1X2n,則n證明AFxF0SBOFBmsinsin2msinmnmn1n

5、mnmn20PynAMBMmn sin2P2 pxS AOBS AOBS AOF4: m1 P2 2:m2 psin2S AOB2P4P2 n 4 m12P4_P_1 cosn,且 S AOB2 Pmn2 mnP cos知識點8:已知拋物線AB為其過焦點F的弦,0中,AFm, BFM ,若證明:設 A Xi, yi , B X2,y2,則,M t,02 y2 Pxpm，則弦AB過焦點 nS AOBAOM S_1+ bom =-tm sin21+ . tn sin2y .in,siny2. 2,sinN1V2mnmnAMxS而sin1m ntsin 2sinyy2mnAOBnt. y1y2mn1

6、 m n t. y1y22 mn而 S AOBt. yy2、l : x ay t 2又可設 2y 2 pay 2Pt 0v1V22Pt y 2px由得t - AB恒過焦點匕0 22例1、過拋物線y變式：直線l經(jīng)過拋物線y2 2px(p 0)的焦點F ,且與拋物線交于A,B兩點，由A, B分別向準線引垂線AA',BB,垂足分別為a',B'，如果AR a, BF b, Q為A'B的中點， 2 卜2則叫.(用a,b表示)上二ouuu uur例3、設坐標原點為O,過焦點的直線l交拋物線y2 4x于A,B兩點，OA OB -3例4、過拋物線y2 ax(a 0)的焦點F作一直線交拋物線于P,Q兩11 點，若線段PF與FQ的長分別是p,q ,則,1 p q小結:(1)拋物線中的焦點弦問題很多都可以轉化為這個直角梯形中的問題，在解決這類問題時注意對這個梯形的運用；(2)萬變不離其宗，解決問題的關鍵仍然是拋物線定義 . 4x的焦點做直線交拋物線于A(xi,yi), B(X2,y2)兩點，如果x X2 6 ,那么AB . 8變式：過拋物線y2 4x的焦點做直線交拋物線于 A,B兩點，如果AB 8, O為坐標原點,則OAB的重心的橫坐標是. 2例2、直線l經(jīng)過拋物線y2 2px(p 0)的焦點F ,