專題橢圓中的定點定值問題

1、實用文檔橢圓中的定點定值問題2 x1.已知橢圓C： -y - a I(1)求橢圓的標準方程;2y1 (a b 0)的右焦點為F(1,0),且(1,42)在橢圓2C上。解：(I)(2)已知動直線QA QB1過點F,且與橢圓C交于 A B兩點，試問 x軸上是否存在定點Q,使得()2x工恒成立？若存在，求出點16Q的坐標；若不存在，請說明理由。解：(1)由題意知c=1.由橢圓定義得2a(1 1)2(1)29，即 aV2 -3 分P:(2x2b 2 11, 橢圓C方程為2(2)假設(shè)在x軸上存在點Q ( m,0),使得1 .QA QB恒成立。16當直線i的斜率不存在時,A (1,叵),B (1,Y2),

2、由于(1 -, ) (1224 2716，5所以m 下面證明45 r,m 一時,4qA qB恒成立。16當直線i的斜率為0時,a(72,0)b(72,0)則(725,0)?(40)符合題意。當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=ty+1, Ax1, V1 , B x2,y22. 一 x由 x=ty+1 及一, x1(t22 ty1 1, 4,y1) 昌x2一 2_21 得(t 2)y 2ty 1 0有 0 . . y y?2tFTy1y212，t2 2ty2 14,y2)(ty11 2t-t -24 t2 21161)(ty242t22(t242 t2,2y1y2=(t1) yy21t(

3、y1 y2)116綜上所述：在x軸上存在點5r(5,0)使得42)16QA QB7一,16恒成立。162.如圖，中心在坐標原點, T2的離心率均為叵.2焦點分別在x軸和y軸上的橢圓 工，T2都過點M (0, 松,且橢圓不與(I)求橢圓T；與橢圓T2的標準方程；(n)過點M引兩條斜率分別為 k,k的直線分別交T1，T2于點p, Q4k時，問直線PQ是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由. 標準直線2y2222x工漢422MP勺方程為ykx1 一 2,消去y得(2k2kx J 24.2k 2.2k2 , 22k2 1, 2k2 1又k 4k ,則點Q為:則直線PQ的方程為:2

4、2k2. 2y 2k2 1即當x 0時，3.已知，橢圓12kJ2 ,聯(lián)立橢圓方程得.：1)x2 4j2kx 0,),同理可得點 Q的坐標為:4.2k 8,2k22一 2, 一 28k2 18k2_ 22k2 1,4.2k(x 22k2 1)，),化簡得y則xP -442k,則點p的坐標為P 2k2 1Q：(212k . 2k 2 22k2 2,kPQ8k2 12k2 14.2 k4、5k一 2一 28k 12k1性竺)，即2k2 1-x 五, 2kJ2 ,故直線pq過定點(0,J2) .C過點Aa謁)，兩個焦點為(-1, 0), (1, 0).,12k(1)求橢圓C的方程；(2) E, F是橢

5、圓C上的兩個動點，如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.解：(1)由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為1N9戶,解得b2=3, b 1+b2 4b?灣彗(舍去)所以橢圓方程為2-1(2)設(shè)直線AE方程為：y=k (1-1) +亍代入；得(3+43+北(3 2k)工+4 (-| - k ) 2 - 12=0 ,設(shè) E (xe, yE) , F (xf,yF),因為點A(l, 在橢圓上,所以由韋達定理得：3+4 k 2所以4- k) -12u,Fe二女氏十,一上 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),實用文檔標準在上式中以-K代K,可得4 (赳)-124

6、 F-2所以直線EF的斜率£=1,即直線EF的斜率為定值，其值為 2戶3ky=-7 (x+2)k5.橢圓C:,即有k取何值，N的橫坐標均為-3,則點N在一條定直線x=-3上.4.已知橢圓E:22+=-1 (a>b>。)經(jīng)過點(o, 炎)，離心率為 近3，點O為坐標原點.(1)若橢圓C過點(-(I)求橢圓E的標準方程；(n)過左焦點F任作一直線l ,交橢圓E于P、Q兩點.(i )求而苗勺取值范圍；(ii )若直線l不垂直于坐標軸，記弦 PQ的中點為 M過F作PQ的垂線FN交直線OM于點N,證明:求橢圓C的方程；若過橢圓C的下頂點D點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓 C相交于點

7、P, M求證：直線PM經(jīng)過7E點;(2)若橢圓C過點(1,2),求橢圓C的中心到右準線的距離的最小值.點N在一條定直線上.解：(I)由題意可得 b=7s,e=又a2-b2=c；解得a= JE, c=2,即有橢圓方程為二1；(n) (i) F(-2, 0),當直線的斜率不存在時,y2),直線方程為x二-2,可得 P ( - 2,退3設(shè) P(X1, y。, Q(X2,Q( 2,I? .-=4-上； 當直線的斜率存在，設(shè) l :3 33y=k (x+2),設(shè) P (x1, y。，Q (x2,代入橢圓方程 x2+3y2=6,可得(1+3k2) x2+12k2x+12k2 - 6=o, x1+x2二，)

8、+4k2x1x2二12k2l+3k212k2 - 6l+3k2MJ，一2， 一、 ， 一OP? 0(J=x1x2+y1y2=x1x2+k (x+2) (x2+2)=(1+k2) x1x2+2k2 (x+x2)+4k2= (1+k2) ?12k2 - 622l+3k2由 k2>0, 3k2+1>1,可得-6W 0P?0Qv綜上可得，不?畫勺取值范圍是-6,當；(ii )證明：由直線l的斜率一定存在，且不為0,可設(shè) PQ y=k (x+2), FN y= - (x+2),設(shè)(xo, yo),則 xo=1十就2,由 x1 +x2=一2l+3k2Xo=-6k之l+3k2yo=k (xo+2

9、)=4 ,直線OM的斜率為koM二次-3k*十1x。表直線OM y二-解：(1).橢圓C:J2 a,解得 a=3, b=1,，橢圓C的方程第2二1.證明：由題意得 PD MDW斜率存在且不為 。,設(shè)直線PD的斜率為k,貝U PD y=kx 1,戶kit - 12.+ y3-l9k21,得P (118k9k2+l9-k2_ 9k2tlk、9勾叱 18k18k2+ 29k'+l /十9k2 -_1 lOk23y=k，直線 PM經(jīng)過定點T10k £ 5解：(2)橢圓C的中心到右準線的距離4f-i2- ad i 2_i2a. b2 _ 4小a -7一 a2-l=1 (a>b&g

10、t;0)過點(3, 0)和),用-二代k, k直線 PM: yV)d=Va29- k?k2+9,/口，2 4a=1,得 b 二一T"a -令 t=a2- 5, t >0,貝U 盤_I)當且僅當t=2 n,士 當9=3+9,=t+ _L-!+9>2 t準線的距離的最小值為226.已知橢圓勺與a b離為4-,離心率e二&+2 J即，等號成立，橢圓C的中心到右據(jù)+2a1 a b 0的右焦點到直線l: x 的距c,A, B是橢圓上的兩動點，動點 P滿 3,(其中為常數(shù)).(1)求橢圓標準方程；(2)當1且直線AB與OP斜率均存在時，求kAB| kOP的最小值;(3)若G是

11、線段AB的中點，且k0AM ,N ,使得動點P滿足PM PN 由.kOBkOG kAB ,問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點18,若存在，求出的值和定點M , N ；若不存在，請說明理解：(1)由題設(shè)可知：右焦點到直線2的距離為:c4 5 p c二一，又一b24 .，橢圓標準方程為(2)設(shè) A & v , BkAB kOPy1y2X1X2x2,y2 則由 OP OA OB22y V2 y1 V242x1 x2 x1 x29X2, %y2 由kAB0,得,|kABkOP I 2JkAB kOP|(3)2V1y2 yy2y1x, yx1 x2j x1 X2，則由 OP OA OB22X1X2，得

12、 x, y4349當且僅當kAB-時取等號3所以X14x22X9 2一kOA kOB一9x,y1X2, V2X122X2, y yy2.因為點A、B在橢圓4x +9y =36上，_2 22_29y 36 362 4X1X2 9y1y2 .所以 4x2 9y2 361,所以P點是橢圓設(shè)該橢圓的左、右焦點為 M,N ,則由橢圓的定義 PM PN 18得18 242, M 375,0 , N 375,0 .7.已知橢圓b231(a b 0)的右焦點為 F2(1,0)i忒H(1,一)2在橢圓上.4x1x2+9y1 y2X2,y1y2 ,36 2(1)求橢圓方程；222222(2)點M(x0,y

13、6;)在圓x y b上，M在第一象限，過 M作圓xy b的切線交橢圓于 P、Q兩點，問|F2P|+|F 2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.解：(1) 右焦點為F2(1,0),c1 ,左焦點為Fi( 1,0),占八、H(1,-)在橢圓上22aHFiHF2(11)2(1 1)24,2, b.a2 c232所以橢圓方程為4(2)設(shè) P X1，y1，Q(X2，y2),PF2PF2PMPF2X112(4|OP |2PM2y1X1X) 2|OM |2所以F2PF2Q8.分別過橢圓E:別交于A、B與C2X12 3(12X11) Z(X14)22X1連接OM, OP,由相切條件知

14、y23X123(12X12X1PM12 x12|PQ2Ka=1 (a>b>0)左、右焦點 F1、12 x12 22,同理可求4為定值.QM12x21一 X1212x22F2的動直線1、l 2相交于P點，與橢圓E分D不同四點，直線OA OB OC OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4,且滿足k1 + k2 = k3 + k4,已知當l1與x軸重合時，|AB|=2|V1, |CD|=-.3(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在定點 M N,使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M N點坐標, 若不存在，說明理由.解：(1)當 l1與 X 軸重合時，k1 + k2=k3+k4=0,即

15、 k3=- k4, - l 2垂直于 x 軸，得 |AB|=2a=2x/3 , |CD|二解得a="，b=u2 橢圓E的方程為2b2 4M(2)焦點F1、F2坐標分別為(-1, 0), (1, 0),當直線l1或l 2斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0),當直線l1, 12斜率存在時，設(shè)斜率分別為 m, m2,設(shè) A（X1, y。，B（X2, y2）,由叼+ 乂廣一2'k1+k2=ks+k4, .1由題意知mwm2,y= m2A11克 1 X 2 二2+3叫叫 一 & ID"(2+3 叫 2)-122 即 2k*2+1=0.）二叫（2+靠產(chǎn)2

16、- 4ni|,同理 k3+k4二- 4mz叱2-2,即(mnn2) (mm) =0,mn2+2=0, 設(shè) P (x, y),貝U -Hl K - 1+2=0,由當直線l1或l 2斜率不存在時，P點坐標為（-1, 0）或（1, 0）2即勺4 K 1也滿足，,xw±1,（3） oP+oQ是定值，定值為 36,理由如下：法一：（i）當直線OP, 0區(qū)落在坐標軸上時，設(shè) P （xi, yi）, Q （X2, y2）,聯(lián)立解得2_ 24224k /l+2k/24 (1 + kJ)1+2kJ4 Q 24(Hk92)得”"二2點P （x, y）點在橢圓工2，存在點M,N其坐標分別為(0,

17、 -1)、(0, 1),使得 |PM|+|PN|所以222OF +0Q =勺 I% +y2 +y224 (1+kJ) 24 (l+k22)為定值2,.反.9.如圖，在平面直角坐標系XOy 中,從原點。向圓R（X-X0）2+ (y yo)已知橢圓C:24 12=1,設(shè)R（X0, y。）是橢圓C上的任一點,2=8作兩條切線，分別交橢圓于點（1）若直線OP OQM相垂直，求圓 R的方程；（2）若直線OP OQ的斜率存在，并記為 k1, k2,求證:（3）試問oP+oQ是否為定值？ 若是, 求出該值；若不是，解：（1）由圓R的方程知，圓 R的半徑的半徑 因為直線OP OQM相垂直，且和圓 R相切，所以

18、-'-<1 :二1,即9?電+尸口二16,又點R在橢圓C上，所以巳Q了二久三24 12聯(lián)立，解得不;士2我l 所以所求圓R的方程為 y 口二±2旄,(W±2近)'+(V±2&)。(2)因為直線 OP: y=k1X, OQ y=k2X,與圓R相切,所以同理口）卬一九）%，化簡得（l+k2），-（2如+時4）滸xj+yj-X0J- (2x0+2k2y0)x+x03+y02 - S=0,所以 k1 , k2是方程 （X02 - 8 ） k2 - 2X0y0k+y02 - 8=0的兩個不相等的實數(shù)根，2a2aS9 因為點 R（X0, y

19、76;）在橢圓C上，所以l+2k/121十2（一元）36+72 kJl+2k J二36（ii ）當直線 七 落在坐標軸上時，顯然有 O+OQ=36,綜上：OP+OQ=36.法二：（i）當直線OP, 0區(qū)落在坐標軸上時，設(shè) P （X1, y。，Q （X2, y2）,因為2kik2+1=0,所以2 2 12 2了1%=7町叼因為P （Xi, yi）, Q （X2, V2）,在橢圓C上，所以所以所以R i 24+12-1 2 .2 工？ y2 +二 1 12y?=12-1212yj+y京(12- ysp 十(.12 -=12 ,所以 oP+oQ=36.（ii ）當直線 OP OQ落在坐標軸上時，顯然

20、有 OP+OQ=36, 綜上：O/+OQ=36.2X10.已知橢圓C：a2占 1(a b 0),左焦點F( J3,0),且離心率 b2（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l ： y kx m （ k 0）與橢圓C交于不同的兩點 M , N右頂點），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓 C的右頂點A .求證：直線l過定點，并求出定點的坐標.由方程組kxc 3 一解：(1)由題意可知e c 23 ,解得a 2, b 1a 22,22a b c所以橢圓的方程為所以14(8km)由方程組(2)由方程組y kx mkx2y_222(8km)4(1 4k )(4m設(shè) M (x/) , N(x2, y2),則得(1 4

21、k2)x2 8kmx 4m2 4 0,4) 0 ,整理得 4k2 m2 1 0,28km4m 4x1 x2 2， x#2 214k14k設(shè) Pi (Xi,y。，P2m得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因為直線1, 22、-224(4k1)(4m4) 0,即 m=4k+1.1T得(k2+1) x2+2kmx+rm r2=0,則r2(x2， y2),貝U x1x22km，XiX2k 1l與橢圓C有且僅有一個公共點,_222(2 km) 4(k1)(m設(shè)直線OP,。險的斜率分別為 匕，k2,所以k1k2y1y2(kx1 m)(kx2 m)k2x1x2 km(x12r2)k 1x2) M

22、 2由已知，AM y1y2 (% , (1 k2)x1x2AN ,即AM AN 0 ,又橢圓的右頂點為 A(2,0)，所以(x1 m)( kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2,(km 2)(x1 x2) m2 4 0 ,2)(x2 2)YiY20 ,x1x22r .一 km122m rk2 1x1x22km 2 予 m k2 1x1x24m2 4即(1 k2) 4m-T-4 (km1 4k2)8 km1 4k2要使得k*2為定值，則4 r242m2m將m2=4k2+1代入上式，得k1k2(42 2r )k4k2 (1司)即 r2=5,驗證符合題意.整理得5m2 16mk 12k

23、2 0,解得m2k或m6k均滿足4k2 m2 1 0 .5當m 2k時，直線l的方程為y kx 2k ,過定點(2,0),與題意矛盾，舍去；所以當圓的方程為 x2+y2=5時,圓與l的交點P,B滿足k1k2為定值當直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為Clcc當m 時，直線l的方程為y k(x -),過定點(一,0), 555此時，圓x2+y2=5與l的交點Pi,P2也滿足k1k2x=±2,1一.4故直線l過定點，且定點的坐標為22x y11.已知橢圓C:-y 匕 1(a a b(I)求橢圓C的方程；(凱b0)的離心率為點A(1,咚)在橢圓C上,綜上，當圓的方程為x2+y2=5 時

24、,圓與l的交點Pi, P2滿足斜率之積kk2為定值O為坐標原點.2 X12.已知橢圓C:0 a2七1(a b0),經(jīng)過點(1,42),且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直2(n)設(shè)動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，是否存在圓心在坐標原點，半徑為定值的定圓C,角三角形.(1)求橢圓方程;使得l與圓C相交于不在坐標軸上的兩點P1, P2,記直線OP , OP2的斜率分別為 K , k2,滿足k1為定值，若存在，求出定圓的方程并求出K k2的值，若不存在，請說明理由.解：(I)由題意，得c Y3, a2=b2+c2,又因為點A(1,)在橢圓C上，所以2 2 1, a 22a2 4b2_2解得a=2,

25、 b=1, c 卮 所以橢圓C的方程為 y2 1.4(n)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5.證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2 (r>0).當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m.(2)過橢圓右頂點的兩條斜率乘積為定點？若過定點，請求出此定點,.，一一1解：(1)根據(jù)題意 -12 a2a當MN的斜率存在時，設(shè)若不過,1 一的直線分別交橢圓于 M,N兩點，試問：直線 MN是否過 2請說明理由.b c12b2 b22ab2MN :kx2y2(12k2 )x2 4kmx 2m2 2 0,8(2kXiX2m2 1) 04 kmy12, K

26、ma Kna 產(chǎn)1 2k2x122m2 2y2kx1mx2.2x12kx2 mx2 . 2X1X2(2k2 1)x1x2 .直線MN y2k2(2 km2)(x1 x2) 2 m2 0m2.2 km 0J2k (舍).kx過定點(0,0),當MN斜率不存在時也符合，即直線MN恒過定點(0,0) .14.已知橢圓C:3 當 1(a b 0)的離心率為 叵,以原點O為圓心，橢圓 C的長半軸為半 a b3徑的圓與直線2x J2y 6 0相切.(1)求橢圓C標準方程；(2) 已知% A,B為動直線y k(x 2)(k 0)與橢圓C的兩個交點，問：在 x軸上是否存在點 E, EA AB2使EA為定值？若

27、存在，試求出點 E的坐標和定值，若不存在，說明理由.解：(1)又以原點由e 得c3 aO為圓心，橢圓6 日口八- 6 c,即 c a33C的長軸長為半徑的圓為且與直線2x. 2y0相切，所以a所以b22X6 y2y2 k(x22 y2 y2J6代入得c=2,一X2 .所以橢圓C的標準方程為一61 得(1 3k2)x22)12k2x 12k22設(shè) A 為， , B X2, y2 ,所以 X1X212k22 , Xi X21 3k12k2根據(jù)題意,，假設(shè)反意,假巴 X軸上存也定內(nèi)E (m) 01EA , EA AB (EA AB) EA EAEB為定值.K m, V1X2m, V2(X1m)X23

28、k2_ 2=k 1 x1x2 2km x1x24k23mYiY212m 10 k2m2 6要使上式為定值，即與k無關(guān),3m2 12m101 3k23 m2 6 ,得 m 73此時,Ea Abm2 65,9所以在X軸上存在定點E ( 7 , 0)使得 EA2 TA AB 為定值，且定值為 -39215.已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為Ja處的切線方程為2 X C2:7(1)如圖(1),X0X-2a2y1(a b 0),則橢圓在其上一點 A( x0, y0)b姆 1，試運用該性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓 b22X 2Ci :y2 1和橢圓21,為常數(shù)).點B為C1在第一象限中的任意一點，過 B作

29、C1的切線l , l分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點，求 OCD面積的最小值; (2)如圖(2),過橢圓C2上任意一點P作Ci 的兩條切線PM和PN ,切點分別為 M , N , 當點P在橢圓C2上運動時，是否存在定圓恒 與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若 不存在，請說明理由.解：(1)設(shè)B(x2,y2),則橢圓Ci在點B處的 切線方程為上 x y2 y 121 人20, yD，令 y 0, xc一,所以 Sy2X2又點B在橢圓的第一象限上，所以 x2 0,y21OCDX2 y為乎,當且僅當藍OCD20,上22y2所以當B(1,2)時，三角形OCD的面積的最小值為2X2N22y2X

30、22X22y2j y2 V2X2 y2設(shè)P(m,n),則橢圓C1在點M (x3,y3)處的切線為：&x2又PM過點P(m, n),所以四m y3n 1,同理點N (x4, y4)也滿足. m 22所以都在m yn2X1上，即直線MN的萬程為一m2yn 1 ，又P(m, n)在C2上，,故原點O到直線MN的距離為：d12m41丁所以直線MN始終與圓x2 y2工相切.16.已知直線y x 1被圓x2 y23X23截得的弦長恰與橢圓 C: -22a2yy 1(a b 0)的短軸長相 b2等，橢圓C的離心率e . 2(I)求橢圓C的方程；一、一 1.(n)已知過點 M (0,-)的動直線3l交

31、橢圓C于A，B兩點，試問:在坐標平面上是否存在一個定點在，求出A, B的坐標，若不存在，說明理由.解：(1)設(shè)橢圓半焦距為 c,小圓心O到l的距離d=41+l=:，則l被圓O截得的弦長為2,所以b=1,由題意得e= 2，丁 b= 1, a2 = 4, b2=1.，橢圓E的方程為4 + L =1.(2)設(shè) P (xi, y。，Q(X2, y2),直線 Ii 的方程為：y=kx + m.T ,使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以 AB為直徑的圓恒過定點 T ?若存在，求出點 由。T的坐標，若不存在，請說明理解：(I)由題設(shè)可求得 b 1,又e且，則a版,所以橢圓22X 2C的方程是 y 1 .2(n)若直線l與

32、y軸重合，則以AB為直徑的圓為1,若直線i垂直于y軸，則以ab為直徑的圓為x2 (y 1)3(y 3)1690,由此可知所求點 T如果存在,1只能是(0，1).事實上點T(0,1) 就是所求的點，證明如下：當直線,二此- m,J i 1蘇,Yb J= L則41 消去 y 得(1 + 4k2) x2+8kmx+ 4m24=0.Xi+X2= - 1-, X1 . X2 = ： -Ik". 可+F *十冊一|PQ| =41-f |x 1 X2| =l + 4k,工 -X2|m| :1十支一加,原點 O到直線 l 1 的距離 d=N-二,則 Saopa2 |PQ| d=L + 4ka=1,.

33、2|m| 也一灰匚=1 + 4k2,令 1+4k2=n,，2|m| 70 f =n,1. n = 2m2, 1 + 4k2=2m2.直徑的圓為程并整理得X1X2則X1X2l的斜率不存在,即直線l與y軸重合時，以AB為Xl + Xj4kir孔斗門22X y 1,過點T(0,1);當直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y kx 1,代入橢圓方3一 2 一 2 一一(18k9)x 12kX 16 0,設(shè)點 aB 的坐標為 A(xy。B(X2,y2),1所以有tAtb12k-2 r18k91618k2 9，因為TA(Xi, yi1),TB(X2,y2 i)，X1X2(y1y2)1 (k2161)X1X2k(

34、X1x2)-3916k2 16 16k232k2160,N 為 PQ中點，xn= j =- -, yN= 2 =1,22.1 + 4k2= 2m2, xn= 工,yN=-兀,2 + 2y = 1 .假設(shè)x軸上存在兩定點 A (s, 0), B (t , 0) (swt),則直線NA的斜率 匕=心一 , 不直線NB的斜率k2 = 4 一工,.1 I T ； -T.k1k2=(%一G * *一)=2 /一(三十工) 2c：-sr =_4 式一占十工)鵬一力1當且僅當 s+t = 0, st= 2 時，k*2= 4,則綜上所述，存在兩定點 aM , 0), B (-啦,s=W , t =.0),使得

35、直線NA與NB的斜率之積為定值.所以I,18k9TA TB,即以ab為直徑的圓恒定過點T(0，1),綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T(0，1)滿足條件.22118.在平角坐標系xOy中，橢圓C ：片 1(a b 0)的離心率e ,且過點(0,J3),橢圓C a2 b22的長軸的兩端點為 A, B,點P為橢圓上異于 A, B的動點，定直線x 4與直線PA, PB分別交17.已知直線l : y=X +忐,圓 O: X2+y2=4,橢圓E：葭=1 (a>b>0)的離心率e=二，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.(1)(2) 線段求橢圓E的方程；已知動直線11 (斜率存在)與橢

36、圓 E交于PQ的中點，問：在x軸上是否存在兩個定點于M , N兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)在x軸上是否存在定點經(jīng)過以 MN為直徑的圓，若存在，求定點 坐標；若不存在，說明理由.P, Q兩個不同點，且 OPQ的面積Sa op-1,若N為A, B,使得直線NA與NB的斜率之積為定值？若存實用文檔解：(1)222c a b 1a2 a24b2 3222a2 4, 橢圓C的方程為上工1；b 343y3 y4從而x* 乂2% 2(% y2),從而k2 x3x44y14y2x15x255x1 9 5x2 9xy2 x2y15( y1y2)4(x1 x2)設(shè)PA , PB的斜率分別為k1,k2, P(

37、%,y0)，則 ki2223(1 3 Ty044242424Xo4Xo4Xo4由lpAy。, y。，k2 ，xo 2xo 2y k1(x 2)知 M(4,6k1),x15 x1由IpB7(y1 y2) 獨，故k1 組 0,從而存在滿足條件的常數(shù)，4(x1 x2)472220 .如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓C的標準方程為 -y-62y k2(x 2)知 N(4,2k2),MN 的中點 G(4,3k1 k2),.以 MN 為直徑的圓的方程為(x4)2(y3klk2)2-(6k12k2)2(3k1k2)2,4令 y 0, x28x 169kl26k1k2k29k；6k1k2k2,223x8x

38、 16 12k1k2 o, x 8x 16 12 ( -) 0,4即x2 8x 7 0,解得x 7或x 1 , 存在定點(1,0) , (7,0)經(jīng)過以MN為直徑的圓. 22x y19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1、F2分別是橢圓E:2 方 1(a b 0)的左、右a b與橢圓C交于A,B兩點.焦點，A, B，別 中點，且AF25ro的左、右頂點，D(1,0)為線段052的(1)求橢圓E的方程；(2)若M為橢圓E上的動點(異于點 A、B),連接MF1并 延長交橢圓E于點N ,連接MD、ND并分別延長交橢圓 E于 點P , Q ,連接PQ ,設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為 k1、

39、k2.試問是否存在常數(shù)，使得kk2 0恒成立？若存在,求出的值；30存 解：(1) AF?2明，由. i0,AF2 5f2b ,c)，化簡得2a 3c,(1)若點E的坐標為 Y3,0 ，點A在第一象限且木It坐標為 J3,連結(jié)點2C于另一點P ,求 PAB的面積;1(2)是否存在點E ,使得2EA存在，請說明理由.c 5(a_2解：(1)將x J3代入上 6直線l與x軸交于點E ,A與原點O的直線交橢圓12為定值？若存在，請指出點 E的坐標，并求出該定值；若不 EB點D(1,0)為線段OF2的中點，c 2,從而a 22為匕1 ; (2)存在滿足條件的常數(shù)，953, b J5,左焦點FJ 2,0

40、),故橢圓E的方程47,設(shè) M(x1,y1)，N(x2,y2), P(x3,y3),3坐標為戶，0),所以kAB22 y2231 ,解得y 1,因點A在第一象限，從而A(J3,1),由點E的,直線PA的方程為y -2 (x 將),聯(lián)立直線PA與橢圓C的方Q(x4,y4),則直線MD的方程為x ly 1,代入橢圓方程 8 5 1,整理得，J“y2 %y 4 y19y1y1，(/1)4y15x 95x 9 4y1, y1 y3, y3,從而 x3,故點 P(,),x15x15x15x15x15程，解得B(5,一)，又 PA是 P( J3, 1) , PA4 ,所以直線 PA的方程為0,x J3y

41、0 ,所以點B到直線PA的距離h>3 73553135 ，同理，點、(星一9,3), 三點M,E,N共線, x2 5 x2 5y2x2 211(2)假設(shè)存在點E,使得 一2 2為定值，設(shè)E(x0,0),EA2 EB222標準實用文檔當直線1AB與x軸重合時，有一-EA21EB7(x0 .6)2 ( .6 x0)212 2x02-Z2 2(6 x0 )直線ME的方程為y y2J1(x x2),令 y 0,得 x xy2(x2 x1).當直線1AB與x軸垂直時，2 EA1EB22(12漢)662 ，x0將 y k(x由得44), V2k(X24)代入整理，得xy2 y12x1x2 4(x1 x2)八x1x?82x)2_2(6 %)6 x。2,解得x0.、326 x0,所以若存在點E,此時E( 73,0),232k2x22, 2x24k 12，64k2 4代入整理，得x 1, 4k 1所以直線ME與x軸相交于定點(1,0).22.已知橢圓C的中心在坐標原點，短軸長為4,且有一個焦點與拋物線y2 4j5x的焦點重合.1EA21 、，一 一2為定值2. EB2根據(jù)對稱性，只需考慮直線AB過點E(J3,0)，設(shè) A(xi, yi),B(X2, y2),又設(shè)直線AB的方程為(1)