圓錐曲線中的弦長專題

1、圓錐曲線中的弦長問題弦長計算的有關技巧(1)聯(lián)立方程消元時，需要考慮消x"還是 消y”，視題目情況而定b形式，可以用最簡公式弦長 |AB| <1 k2 J |A|n形式，可以用最簡公式弦長 |AB| ；1 工 Jk k2 |A|AF ep一與焦點弦公式 AB -2eJ 1 ecos1 e cos若消y"，直線一般設成y kx若 消x "，直線一般設成x my(2)過焦點的弦可以使用焦半徑公式(3)過同一點兩條弦它們的斜率有明確的數(shù)量關系時，可采取 替代法”簡化運算.(4)與范圍有關的問題，常用基本不等式與函數(shù)求值域的方法(如配方法，換元法，分離 常數(shù)法等)1

2、.直線xy 1r ,x20與橢圓一42y- 1相交于A,B兩點，則 AB2LY2c 82.直線yk(x U3)與橢圓 y21相父于A,B兩點，若 AB ,則k 453 .已知過拋物線y2 2x的焦點F的弦長為8 ,則弦所在直線方程的斜率k 4 .過拋物線y2 4x右焦點F的直線l與拋物線相交于 A,B兩點，若|AF| 3BF ,則直線l的斜率k 225.過橢圓 L L 1右焦點F的直線l與橢圓相交于A,B兩點，若AF 2BF95則直線l的斜率k 3 一6.已知拋物線C : y2 3x的焦點為F ,斜率為一的直線l與C的父點為A,B ,與x軸的父點2為P.(1)若AF BF 4,求l的方程；(2

3、)若AP 3PB ,求AB的長度.7.已知橢圓Exy ，1(a b 0)經(jīng)過點P( d3J),橢圓E的一個焦點為(J3,0). a b2(1)求橢圓E的方程；AB的最大值.(2)若直線l過點M(0,J2)且與橢圓E交于A,B兩點，求28.已知拋物線E : y4x的焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線 m,n ,直線m交E于不同兩點A,B,直線n交E于不同兩點C,D.(1)若AB 8,求直線m的方程；(2)求AB CD的最小值.參考答案y x 1-404 51.聯(lián)立方程組 x2 y2，得3x2 4x 2 0, AB J2上40占133422.聯(lián)立方程組y k(x2 y,得（4k21) x2 8、3

4、k2x 12k2 4 0x1x28.3k2於乃,x1x212k2 44k2 116k2 16口寸 16k2 16AB Jk2 1 -z4k2 14k2 4 84k2 1513.解法一：設直線 l： x my - , A(x1，y1), B%, y2) 21聯(lián)立方程組x my 2 ,得y2 2my 1 0y2 2x2 y2 2m,yy21,4m 4AB Vm2 1 M4m2 4 8 m33k-3 f-解法二：AB -2P- -2 8 sin - k tan 22sin sin234.解法一：設直線 l： x my 1, A(x1,y1),B(x2,y2),由 AF| 3BF|,得 y13y2聯(lián)立

5、方程組x my 1 . 22 ，得 y 4my 4 0 y 4xy y2 4m,yy24,由必3y2 可得y1 6m, y2 2my1y26m 2m 4解法二：若A在上方，AF3P1 cosm=3k 、33,BF p-,由 AF 3BF，得一p 1 cos 1 cos1 cos1cos k 43同理，若A在下萬，k，3k <32'5.設直線l :my2, A(X，y)B(X2，y2),由 AF 2BF| ,得yi2y2聯(lián)立方程組my2 v_ 5ViV2920m1得(5m2 * 4 9)2y 20my 25 0yy2Fy1y224)5m2 9由yi2 y2可得yi40mu_25m9

6、,y220m5m2 940m5m2 920m2-5m255m2 96.(i)設直線l : yl(Xt),A(xi, yi),B(X2,y2)聯(lián)立方程組l(x3xt)得3x2(6t 4)x3t2X1X26t34-,XiX2t2AFBFxiX26t 437i2直線l的方程為:(2)由 AP 3PB ,得 y13y2333 .由(1)可得：yi y2(Xi t)(X2 t)(xi2223,、3,、9rViV22(Xit)2(X2t)4XiX2X22t) 2(為x2)tt2 3tyi 3,y2iyiy2i 3 3t t i(2)當直線l的斜率不存在時,AB 2b 20 2coeac二v'644

7、v'T33xi0x 3 0AB iV 433當直線l的斜率存在時，設直線l ： y kx /2 , A(xi,yi),B(x2,y2)y聯(lián)立方程組x2Tkx 、2得(4k2 1x2 8、, 2kx 4 0XiX28. 2k2，g4k2 144k2 164k2 16 0k2AB令4k2AB,k2 1.64k2 161 t,t 2,4k2則k2(k2 1)(4k2 1)4k222(k2 1)(4k2 1)4k2 12；1626(1 3 25t 1224所以當t 12時,AB取得最大值,一 一 5. 6綜上，AB的最大值為一?8. (1)易知直線 m的斜率存在且不為0,設直線m ： x my

8、 1, A(5, y) B%, y?)聯(lián)立方程組x2 myy 4x4my 4 0y2 4m,必 y24,- 216m216AB(2)由CDAB.m2 1 .16m2(1)可知CD24m16.24mAB4m24,因為直線m與直線n垂直且都經(jīng)過焦點所以2y16 8 16,當且僅當m2 1時等號成立2,、x9. (1)4(2)設 M(t,0)直線my八(2，必)出區(qū)42)由 |AM 2BM ，得y1x聯(lián)立方程組X24my2 y1'得(m24)22.y 2mty t 42mty1 y2-m 4,yy2t2 4m2 4y12y2 可得y14mt小，力2mt2m 4V1V2224mt 2mt t 42 7 2 7 -2 7m 4 m 4 m 4(m2 4)(t2 4)8m2t2原點O到直線的距離dJ"又直線l與圓x2 y2 ，相切，所以d Jt , 4-1 m271m27242- .22t -(m 1),結(jié)合(m4)(t4)2 28m2t2,得m23，t24-JO兩足034. 2121一，273仆-.M(,0),在 Rt OMN 中，MN32239.已知橢圓C:二 4 1(a b 0)的右焦點為(J3