—用疊加法求彎曲變形梁的剛度條件

1、彎彎 曲曲 變變 形形(2)第七第七 章章 76 76 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 梁的剛度條件梁的剛度條件* 79 79 梁的剛度校核梁的剛度校核 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施* 78 78 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法簡(jiǎn)單超靜定梁的解法* 75 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形 7 74 梁的變形梁的變形內(nèi)容提要內(nèi)容提要 77 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理作業(yè)作業(yè)一，基本概念一，基本概念取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為 x 軸軸 ，橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為 y 軸軸 ， x y 平面為縱向?qū)ΨQ平面平面為縱向?qū)ΨQ

2、平面 7-4 梁的變形梁的變形B x yAC yAB x 撓度撓度（ y）: 橫截面形心橫截面形心 C (即軸線上的點(diǎn)即軸線上的點(diǎn))在垂直于在垂直于 x 軸方向軸方向 的線位移，稱為該截面的撓度。的線位移，稱為該截面的撓度。y撓度撓度度量梁變形后橫截面位移的兩個(gè)基本量度量梁變形后橫截面位移的兩個(gè)基本量CC yAB xCy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（ ） ：橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移 , 稱為該截面的稱為該截面的 轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線 ：梁變形后的軸線：梁變形后的軸線 稱為撓曲線稱為撓曲線 。撓曲線方程為撓曲線方程為)(xfy 式中式中 ，x 為梁變形前軸線上任一點(diǎn)

3、的橫坐標(biāo)為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，y為該點(diǎn)的撓度。為該點(diǎn)的撓度。C yAB xCy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線)( xfytg撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：C yAB xCy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定撓度：向上為正，向下為負(fù)。撓度：向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角：自轉(zhuǎn)角：自 x 轉(zhuǎn)至轉(zhuǎn)至 切線方向切線方向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。C yAB xCy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線選選 學(xué)學(xué) 二、撓曲線近似微分方程二、撓曲線近似微分方程 EIM1 )()(1EIxMx橫力彎曲時(shí)橫力彎曲時(shí), M 和和 都是都是

4、x 的函數(shù)的函數(shù) 。略去剪力對(duì)梁的位移。略去剪力對(duì)梁的位移的影響的影響, 則則推導(dǎo)公式推導(dǎo)公式純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為232)1 (| |)(1yyx由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知, 平面曲線的曲率可寫(xiě)作平面曲線的曲率可寫(xiě)作 )(EIxM232)1 (| |yyMMoxyMM0yM0M00y在規(guī)定的坐標(biāo)系中在規(guī)定的坐標(biāo)系中, x 軸水平向右軸水平向右為正為正, y 軸豎直向上為正。軸豎直向上為正。曲線向上凸曲線向上凸 時(shí)時(shí) : y“ 0 , M 0 , M 0ox因此因此, M 與與 y 的正負(fù)號(hào)相同的正負(fù)號(hào)相同EIxMyy)()1 ( 232EIxMy)(此式稱為此式稱

5、為 近似原因近似原因 : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響 ; (2) 略去了略去了 y2 項(xiàng)。項(xiàng)。2y與與 1 相比十分微小而可以忽略不計(jì)相比十分微小而可以忽略不計(jì), 故上式可近似為故上式可近似為再積分一次再積分一次, 得撓度方程得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁若為等截面直梁, 其抗彎剛度其抗彎剛度 EI 為一常量上式可改寫(xiě)成為一常量上式可改寫(xiě)成)(xMyEI 1)(CdxxMEIy21)(CxCdxdxxMEIy選選 學(xué)學(xué)請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇* 75 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形撓度方程：撓度方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：1)(CdxxMEIy21)

6、(CxCdxdxxMEIy式中：積分常數(shù)式中：積分常數(shù) C1 、C2 可通過(guò)梁撓曲線的可通過(guò)梁撓曲線的 邊界條件邊界條件 和和變形變形 連續(xù)性條件連續(xù)性條件 來(lái)確定。來(lái)確定。ABAB在簡(jiǎn)支梁中，在簡(jiǎn)支梁中， 左右兩鉸支座處的左右兩鉸支座處的撓度撓度 yA 和和 yB 都應(yīng)等于零。都應(yīng)等于零。在懸臂梁在懸臂梁 中，固定端處的撓度中，固定端處的撓度 y和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 A都應(yīng)等于零。都應(yīng)等于零。邊界條件邊界條件yA= 0yB = 0yA= 0 A= 0連續(xù)性條件連續(xù)性條件ABAB 在撓曲線的任一點(diǎn)上，在撓曲線的任一點(diǎn)上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。例題例題1例題例題2例題例題3請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇

7、 例題例題1 1： 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁的懸臂梁, 在自由端受一在自由端受一 集中力集中力P作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并并 確定其最大撓度確定其最大撓度 fmax 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max . lABxyP PlABxyP P(1) )()(xlPxM彎矩方程為彎矩方程為解：解：撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為(2) )( PxPlxMEIyx)(xMyEI (3) 212CPxPlxEIy對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分 )( PxPlxMEIylABxyP Px)4(622132C

8、xCPxPlxEIy0,00,0yxyx邊界條件為邊界條件為 :C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0將邊界條件代入將邊界條件代入(3) (4)(3) (4)兩式中兩式中, ,可得可得lABxyP Px(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyC C1 1=0 C=0 C2 2=0=0lABxyP Px(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyEIPxEIPlxy6232梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為EIPxEIPlxy22lABxyP PxlABxyP P max max 及及 f fmaxma

9、x都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截面處fmaxEIPlEIPlEIPllx22|222max（ ）max（ ）EIPlyflx3|3max例題例題2例題例題3請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇例題例題2 2： 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁的簡(jiǎn)支梁, 在全梁上受集度為在全梁上受集度為q 的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度并確定其最大撓度 fmax 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max .lABq2qlRRBA解解: 由對(duì)稱性可知，梁的兩個(gè)支反力為由對(duì)稱性可知，梁的兩個(gè)支反力為lABqRARB梁的梁的 彎矩方程彎矩方程 及及

10、撓曲線微分方程撓曲線微分方程 分別為分別為 )(2212)(22xlxqqxxqlxMx )(2)( 2xlxqxMEIylABqRARB xlxqxMEIy)(2)( 2 (c)CxlxqEIy132)32(2(d)CxCxlxqEIy2143)126(2邊界條件為邊界條件為 :,0 x0y, lx 0ylABqRARB 將邊界條件代入將邊界條件代入 (c) , (d) 兩式得兩式得02 C2431qlC 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為)2(24)46(24323323xlxlEIqxyxlxlEIqylABqRARB AB在在 x = 0 和和 x = l 處轉(zhuǎn)角

11、的處轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等且都是絕對(duì)值相等且都是最大值，最大值， maxABEIql243)2(24)46(24323323xlxlEIqxyxlxlEIqyBEIqlyflx384542max在梁跨中點(diǎn)在梁跨中點(diǎn) l /2 處有處有 最大撓度值最大撓度值fmaxlABqRARB例題例題3請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇例題例題3 ： 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁的簡(jiǎn)支梁, 在在 D點(diǎn)處受一集中點(diǎn)處受一集中力力 P 的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。撓度和最大轉(zhuǎn)角。ABPDablABPDabllbPRAlaPRB解解:

12、 梁的兩個(gè)支反力為梁的兩個(gè)支反力為12RARB)0(1axxlbPxRMA兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的彎矩方程分別為)()(2lxaaxPxlbPMxxABPDabl12RARB兩段梁的撓曲線方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPyEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lD點(diǎn)的連續(xù)條件：點(diǎn)的連續(xù)條件：在在 x = a 處處21yy yy21邊界條件邊界條件在在處，處，

13、在在 X = 0 處，處，01ylx 02yABPDabl12RARB代入方程可解得代入方程可解得:021DD)(62221lblPbCC兩段梁的撓曲線方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPyEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )l)3(622211lbxlEIPby1)(ax 0 xlbxlEIPbxy)(622122)(lxa )(31)(2222222blxaxb

14、llEIPbyxblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA6)(|01將將 x = 0 和和 x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角lEIalPabB6)(max當(dāng)當(dāng) a b 時(shí)時(shí), 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大lEIalPablxB6)(|2323221)(baablx 簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在0y處處01y先研究第一段梁，令先研究第一段梁，令得得0362221lbxlEIPby323221)(baablx EIPbl.bllEIPby|fxx2322max06420)(

15、391當(dāng)當(dāng) a b時(shí)，時(shí)，x1a 最大撓度確實(shí)在第一段梁中最大撓度確實(shí)在第一段梁中EIPblblEIPbfC2220625.0)43(48梁中點(diǎn)梁中點(diǎn) C 處的撓度為處的撓度為EIPbl.bllEIPby|fxx2322max06420)(391結(jié)論結(jié)論: 在簡(jiǎn)支梁中在簡(jiǎn)支梁中, 不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上只要撓曲線上無(wú)無(wú) 拐點(diǎn)拐點(diǎn), 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來(lái)代替其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來(lái)代替, 其精確度是能滿足工程要求的其精確度是能滿足工程要求的.對(duì)各段梁，都是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段上對(duì)各段梁，都是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的

16、梁段上的外力來(lái)寫(xiě)彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含的外力來(lái)寫(xiě)彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項(xiàng)。）的項(xiàng)。對(duì)（對(duì)（x-a）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（x-a）項(xiàng)作為積分）項(xiàng)作為積分變量。從而簡(jiǎn)化了確定積分常數(shù)的工作。變量。從而簡(jiǎn)化了確定積分常數(shù)的工作。積分法的原則積分法的原則 7-6 7-6 疊加法求梁變形疊加法求梁變形 梁的剛度條件梁的剛度條件：梁的變形微小，梁的變形微小， 且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)， 梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力, 集中力偶或分布

17、力）同時(shí)作集中力偶或分布力）同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。 當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的（如均沿（如均沿 y 軸方向軸方向 ), 其其( 如均在如均在 xy 平面內(nèi)平面內(nèi) ) 時(shí)時(shí),則則。 這就是疊加原理。這就是疊加原理。一，一，疊加法求梁變形疊加法求梁變形例題例題7例題例題6例題例題5例題例題4請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇例題例題4 4：一抗彎剛度為一抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁受荷載如的簡(jiǎn)支梁受荷載如 圖圖 a 所示。所示。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的

18、撓度 fC 和支座處橫截面的和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 A , B 。A AB BmlC C(a)(a)q解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單的荷載，如圖。的荷載，如圖。b,c b,c 所示所示A AB BmlC C(a)(a)q A AC C(b)(b)B Bqm(C)(C)A AB BC CfffCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )fcqfcmAqAmBmA AB BmlC C(a)(a)q A AC C(b)(b)B BqBqm(C)(C)A AB BC C例題例題5 5: :試試?yán)?/p>

19、疊加法，利用疊加法， 求圖求圖a 所示抗彎剛度為所示抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度跨中點(diǎn)的撓度 fC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A , B 。l2lABC Cq解：解： 圖圖a可視為正對(duì)稱可視為正對(duì)稱荷載（圖荷載（圖b）與反對(duì)稱與反對(duì)稱荷載（圖荷載（圖c）兩種情況）兩種情況的疊加。的疊加。l2lABC Cq2qCAB2q2qCABEIqlEIlqfC7685384)2(5441（1）正對(duì)稱荷載作用下）正對(duì)稱荷載作用下EIqlEIlqBA4824) 2(33112qCAB（2）反對(duì)稱荷載作用下）反對(duì)稱荷載作用下可將可將 AC 段和段和 BC 段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)

20、度段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為為 在跨中在跨中C截面處，截面處，但，但 且該截面的且該截面的 2q2qCABEIlqBA24)2( )2(32202 fCEIql38432q2qCABC CA AB B2q2q將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加, 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(7685421EIqlfffCCCEIqlEIqlEIqlQQQAAA12833844833321例題例題6：一抗彎剛度為：一抗彎剛度為 EI 的外伸梁受荷載如圖的外伸梁受荷載如圖 a 所示所示, 試按疊加原理并利用附表試按疊加原理并利用附表, 求截面求截面 B 的轉(zhuǎn)角

21、的轉(zhuǎn)角 B 以及以及 A 端和端和BC 中點(diǎn)中點(diǎn) D 的撓度的撓度 f A 和和 fD 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q解：將外伸梁沿解：將外伸梁沿 B B 截面截成兩段，將截面截成兩段，將ABAB 段看成段看成 B B 截面截面固定的固定的懸臂梁懸臂梁，BCBC 段看成段看成 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2q2qA AB BB B 截面兩側(cè)的相互作用截面兩側(cè)的相互作用力為：力為：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2

22、q2qq q就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的 B B ，f fD D2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 BCBC 的受力情況的受力情況與外伸梁與外伸梁 AC AC 的的 BCBC 段的段的受力情況相同受力情況相同由簡(jiǎn)支梁由簡(jiǎn)支梁BC BC 求得的求得的 B B ，f fD DA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 BCBC 的變形就是的變形就是M MB B 和均布荷載和均布荷載 q q 分別分別引起變形的疊加。引起變形的疊加。(1)(1)求求 B B ，f fD DfDqBqfMBDMBB

23、q qB BC CD DB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIqaEIqlfDq245384544EIqaEIlMfBDMB416422qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qfDqBqfMBDMBBq qB BC CD DB BC CD DqaMB2 EIqaMBBBqB33EIqafffMBDDqD244由疊加原理得由疊加原理得2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qfDqBqfMBDMBBq qB BC CD DB BC CD DqaMB2 2q2qA AB B(2) (2) 求求 f fA A由于簡(jiǎn)支梁上由于簡(jiǎn)支梁

24、上 B B 截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，代動(dòng)截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，代動(dòng) AB AB 段一起作剛體運(yùn)段一起作剛體運(yùn)動(dòng)，使動(dòng)，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 f f1 1 懸臂梁懸臂梁 AB AB 本身的彎曲變形，使本身的彎曲變形，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 f f2 2f2f1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qBfafffBA221EIaqf8)2(22EIqaEIqaEIqafA12743444因此，因此，A A端的總撓度應(yīng)為端的總撓度應(yīng)為由附錄由附錄 1V 1V 查得查得2q2qA AB Bf2f1qaMB2 2qa2qa2qa2qa

25、qaMB2 A AB BC CD Dq qA AB BC CD Dq qBB例例 7： 用疊加法求梁中點(diǎn)處的撓度用疊加法求梁中點(diǎn)處的撓度ACBedl2lqACBedl2lq解：將均布荷載看作許多微集中力解：將均布荷載看作許多微集中力 dP 組成組成)()()43(4822bablEIbdPyCACBedl2lq)()()43(4822bablEIbdPyC將均布荷載分作將均布荷載分作 DC 與與 CF 兩段兩段DF先計(jì)算先計(jì)算CF段荷載使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的撓度段荷載使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的撓度bdbACBedl2lqdP=qdb)()()43(4822bablEIbdPyC)()43(4822blEIbqdb

26、dyCDFbdbACBedl2lqdP=qdb)()43(4822blEIbqdbdyC)()43(482221dbblEIqbfldbdbACBedl2lqdP=qdb)()43(482222dbblEIqbfleC 截面左側(cè)荷載使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的撓度截面左側(cè)荷載使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的撓度bdbACBedl2lqdP=qdbfff21梁中點(diǎn)的撓度梁中點(diǎn)的撓度 max梁的剛度條件可表示為梁的剛度條件可表示為maxyy二、梁的剛度條件二、梁的剛度條件按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件（1）合理配置梁的荷載和支座可以降低梁的最大彎矩值）合理配置梁的荷

27、載和支座可以降低梁的最大彎矩值合理地配置梁的荷載合理地配置梁的荷載 WMzmaxmax三、梁的合理設(shè)計(jì)三、梁的合理設(shè)計(jì)(提高梁承載能力的措施提高梁承載能力的措施)4Pl8Pl+PlP4l4l2lP/2P/2合理地設(shè)置支座位置合理地設(shè)置支座位置受均布荷載的簡(jiǎn)支梁受均布荷載的簡(jiǎn)支梁ql.M21250 maxlq當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng)當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng) a=0.207l 時(shí)時(shí)qlM2max0215. 0 aalq（2）合理選擇截面形狀）合理選擇截面形狀 當(dāng)彎矩已定時(shí)，橫截面形狀，應(yīng)使抗彎截面系數(shù)當(dāng)彎矩已定時(shí)，橫截面形狀，應(yīng)使抗彎截面系數(shù)與面積之比盡可能地大。即與面積之比盡可能地大。即 Wz/

28、A 較大，則截面的形較大，則截面的形狀就較為經(jīng)濟(jì)合理。狀就較為經(jīng)濟(jì)合理。 一般要使截面面積分布在距中性一般要使截面面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)的地方。軸較遠(yuǎn)的地方。對(duì)于塑性材料制成的梁，選以中性軸為對(duì)稱軸的橫截面對(duì)于塑性材料制成的梁，選以中性軸為對(duì)稱軸的橫截面如：工字形如：工字形 ，矩形，矩形 ，圓形，圓形 ， 圓環(huán)形等截面。但圓環(huán)圓環(huán)形等截面。但圓環(huán)形比圓形，工字形比矩形形比圓形，工字形比矩形，矩形豎放比平放更合理。矩形豎放比平放更合理。對(duì)于脆性材料制成的梁，宜采用對(duì)于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面且將翼緣置于受拉側(cè)面且將翼緣置于受拉側(cè)。zy1y2

29、maxcmaxt ctzzctyyIyMIyM212max1maxmaxmax要使要使 接近下列關(guān)系接近下列關(guān)系 ：最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)接近許用應(yīng)力同時(shí)接近許用應(yīng)力yy21zy1y2maxcmaxt（3）合理設(shè)計(jì)梁的外形）合理設(shè)計(jì)梁的外形 梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力許用應(yīng)力，則稱為則稱為 等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁 。例例 如如例如，例如，寬度寬度 b 保持不變而高度可變化的矩形截面簡(jiǎn)支梁，若保持不變而高度可變化的矩形截面簡(jiǎn)支梁，若設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度梁，則其高度隨截面位置的變化規(guī)律設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度梁，則其高度隨

30、截面位置的變化規(guī)律 h(x) ，可可按正應(yīng)力強(qiáng)度條件求得按正應(yīng)力強(qiáng)度條件求得。2l2lPbh(x) )()61()2()()(2maxxhbxPxWxM梁任一橫截面上最大正應(yīng)力為梁任一橫截面上最大正應(yīng)力為2l2lPbh(x) )()61()2()()(2maxxhbxPxWxM求得求得 bPxxh3)( 2l2lPbh(x)但靠近支座處，應(yīng)按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面的最小高度但靠近支座處，應(yīng)按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面的最小高度 hbPAQminmax22323求得求得43minbPh2l2lPbh(x)按上按上 確定的梁的外形，就是廠房建筑中常用的魚(yú)腹梁。確定的梁的外形，就是廠房建筑中常用的魚(yú)腹梁

31、。43minbPh bPxxh3)( P 一、一、 組合變形概念組合變形概念 : 構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種 以上的基本變形以上的基本變形,則構(gòu)件的變形稱為組合變形。則構(gòu)件的變形稱為組合變形。二、二、 解決組合變形問(wèn)題的基本方法解決組合變形問(wèn)題的基本方法 : 疊加法疊加法77 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與外力之間成外力之間成 線性關(guān)系線性關(guān)系。三、工程實(shí)例三、工程實(shí)例: 處理組合變形的基本方法處理組合變形的基本方法一，將組合變形一，將組合變形 分解分解 為基本變

32、形為基本變形將外力簡(jiǎn)化或分解，將外力簡(jiǎn)化或分解， 使之每個(gè)力使之每個(gè)力( (或力偶或力偶) )對(duì)應(yīng)一種基本變形；對(duì)應(yīng)一種基本變形； 三，利用三，利用 疊加原理疊加原理 將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加二，分別二，分別計(jì)算計(jì)算在每一種在每一種基本變形基本變形下構(gòu)件的的應(yīng)力和變形；下構(gòu)件的的應(yīng)力和變形；= =+ + += =+ +LaABCP 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合研究對(duì)象：研究對(duì)象：圓截面桿圓截面桿受力特點(diǎn)：桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用。受力特點(diǎn)：桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用。變形特點(diǎn)：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。變形特點(diǎn)：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。ABLaP

33、一、一、 內(nèi)力分析內(nèi)力分析 設(shè)一直徑為設(shè)一直徑為 d 的等直圓桿的等直圓桿 AB , B 端具有與端具有與 AB 成直角的剛臂。成直角的剛臂。研究研究AB桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。BAABLaPB橫向力：橫向力： P （引起平面彎曲）（引起平面彎曲）力偶矩：力偶矩： m = Pa （引起扭轉(zhuǎn)）（引起扭轉(zhuǎn)）將力將力 P 向向 AB 桿右端截面的桿右端截面的形心形心B簡(jiǎn)化得簡(jiǎn)化得AB 桿為彎扭組合變形桿為彎扭組合變形APmx畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面固定端為危險(xiǎn)截面固定端為危險(xiǎn)截面AAPmPlmA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)

34、力 發(fā)生在截面發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。周邊上的各點(diǎn)處。 C2C1危險(xiǎn)截面上的最大彎曲危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力 發(fā)生在發(fā)生在 處處C1C2C3C4TA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿這兩點(diǎn)的塑性材料制成的桿這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的。危險(xiǎn)程度是相同的。 可取任可取任一點(diǎn)一點(diǎn)C1 來(lái)研究。來(lái)研究。C1 點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)C1 三、強(qiáng)度分析三、強(qiáng)度分析1、主應(yīng)力計(jì)算、主應(yīng)力計(jì)算4212 )2(222221302C1 第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力計(jì)算相當(dāng)力2、 相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算422

35、313 r 第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力2243r4212 )2(2222213023、 強(qiáng)強(qiáng) 度計(jì)算度計(jì)算 rC1 例例 題題 8選選 學(xué)學(xué)9選選 學(xué)學(xué)8422313 r2243r該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。 是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力 是危險(xiǎn)點(diǎn)的剪應(yīng)力，是危險(xiǎn)點(diǎn)的剪應(yīng)力，且橫截面不限于圓形截面。且橫截面不限于圓形截面。C1 422313 r2243r可以是可以是變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力；變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力； 是由扭轉(zhuǎn)變形引起的剪應(yīng)力。是由扭轉(zhuǎn)變形引起的剪應(yīng)力。C1 還可以是還可以是，（）與）與組合變形中由彎曲與拉（壓）組

36、合變形中由彎曲與拉（壓） 產(chǎn)生的正應(yīng)力。產(chǎn)生的正應(yīng)力。也可以是也可以是 （）與）與組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；422313 r2243rC1 該公式適用于該公式適用于 ，組合變形；組合變形；（）與）與的組合變形；的組合變形；以及以及 （），），與與 的組合變形。的組合變形。彎、扭組合變形時(shí)，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫(xiě)為彎、扭組合變形時(shí)，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫(xiě)為對(duì)于圓形截面桿有對(duì)于圓形截面桿有21623dWWtWTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr75. 0)(3)(32222224上兩式只適用于上兩式只適用于組合變形下的組合變

37、形下的 式中式中為桿的抗彎截面系數(shù)。為桿的抗彎截面系數(shù)。， 分別為危險(xiǎn)截面的分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩。彎矩和扭矩。WTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr75. 0)(3)(32222224例題例題8 ： 圖圖 示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪 C 上作用有鉛上作用有鉛垂切向力垂切向力 5 KN,徑向力徑向力 1.82 KN;齒輪齒輪 D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 KN,徑向力徑向力 3.64 KN 。齒輪。齒輪 C 的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑 dc = 400mm ,齒齒輪輪 D 的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑 dD =200 mm。設(shè)許用應(yīng)力。

38、設(shè)許用應(yīng)力 =100 MPa ,試試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：解：1 、外力的簡(jiǎn)化、外力的簡(jiǎn)化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m將每個(gè)齒輪上的外力將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心向該軸的截面形心簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN 使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn) ， 使軸在使軸在 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲?？v對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。 ，使軸在使軸在 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲?？v對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。 2、 軸的變形

39、分析軸的變形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、繪制軸的內(nèi)力圖、繪制軸的內(nèi)力圖MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy圖圖xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mxyzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT圖圖-圓桿發(fā)生的是斜圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形合變形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖由于通過(guò)圓軸軸線的由于通過(guò)圓軸軸線的

40、任一平面都是縱向?qū)ΨQ任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在平面，故軸在 xz 和和 xy 兩平面內(nèi)彎曲的合成兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲結(jié)果仍為平面彎曲，從而可用總彎矩來(lái)，從而可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力。計(jì)算該截面正應(yīng)力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B 截面是危險(xiǎn)截面截面是危險(xiǎn)截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危險(xiǎn)截面上的、危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算內(nèi)力計(jì)算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖

41、圖xzyMyBMzBMyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B截面的總彎矩為截面的總彎矩為22MMMzByBB mKN.0641 MyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B 截面的扭矩值為截面的扭矩值為mKNTB.1 xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖1CT圖圖5，由強(qiáng)度條件求軸的直徑，由強(qiáng)度條件求軸的直徑 WWTMBBr1372750224.323dW 軸需要的直徑為軸需要的直徑為mmd9511010013723236. 請(qǐng)選擇請(qǐng)選擇選選 學(xué)學(xué)9一一. 基本概念基本概念 PABABCP超靜定梁超靜定梁 * 7-8 7-8 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法簡(jiǎn)單超靜定梁的解法單憑靜力平衡方程不能求出全單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁部支反力的梁 , 稱為超靜定梁稱為超靜定梁 “多余多余”約束約束多于維持其