數(shù)理統(tǒng)計(jì)?參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì) 1統(tǒng)計(jì)假設(shè):對(duì)未知或不完全知道的總體作出對(duì)未知或不完全知道的總體作出一些假設(shè)一些假設(shè). 2假設(shè)檢驗(yàn):針對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)針對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè),利用一個(gè)樣本利用一個(gè)樣本觀測(cè)值觀測(cè)值,通過(guò)一定的程序檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理通過(guò)一定的程序檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理,從從而決定接受或拒絕假設(shè)而決定接受或拒絕假設(shè). 3假設(shè)檢驗(yàn)的兩種情況: 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn):總體分布類(lèi)型已知但有一個(gè)或幾個(gè)總體分布類(lèi)型已知但有一個(gè)或幾個(gè) 參數(shù)未知參數(shù)未知 非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn):總體分布類(lèi)型未知總體分布類(lèi)型未知 （總體分布假設(shè)檢驗(yàn)）（總體分布假設(shè)檢驗(yàn)） 例例1 某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)

2、包裝糖果某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝糖果.包得的袋裝包得的袋裝糖果的重量是一個(gè)隨機(jī)變量糖果的重量是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布 .當(dāng)機(jī)器正常時(shí)當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為其均值為 .某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取隨機(jī)地抽取它包裝的糖果它包裝的糖果9袋袋,稱(chēng)得凈重為稱(chēng)得凈重為(kg): 0.497,0.506,0.518,0.524,0.498, 0.511,0.520,0.515,0.512 問(wèn)機(jī)器是否正常問(wèn)機(jī)器是否正常?2( ,0.015 )N00.5kg以以 表示這一天袋裝糖果的重量表示這一天袋裝糖果的重量,則則問(wèn)題是根據(jù)樣本值來(lái)判斷問(wèn)題是根據(jù)樣

3、本值來(lái)判斷 (正常正常)還是還是 (不正常不正常)為此我們提出假設(shè)為此我們提出假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)或零假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)或零假設(shè).與這個(gè)假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)與這個(gè)假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)稱(chēng)為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)稱(chēng)為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè). 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)假設(shè)于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)假設(shè) 是否為真是否為真(成立成立).當(dāng)當(dāng) 為真為真,則認(rèn)為機(jī)器正常則認(rèn)為機(jī)器正常;否則認(rèn)為機(jī)器不正常否則認(rèn)為機(jī)器不正常. 00.52( ,0.015 )XNX00.500:0.5H10:H0H0Hu 假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理:小概率原理小概率原理,即概率很小的事即概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.

4、在假設(shè)檢驗(yàn)中在假設(shè)檢驗(yàn)中,我們稱(chēng)這個(gè)小概率為顯著性水我們稱(chēng)這個(gè)小概率為顯著性水平平,用用 表示表示,通常取為通常取為0.01,0.05或或0.1. 為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) 是否成立是否成立,我們先假設(shè)我們先假設(shè) 是成立的是成立的,如果根據(jù)這個(gè)假定如果根據(jù)這個(gè)假定,導(dǎo)致一個(gè)小概率事件導(dǎo)致一個(gè)小概率事件的發(fā)生的發(fā)生,從而說(shuō)明原來(lái)的假設(shè)從而說(shuō)明原來(lái)的假設(shè) 是不正確的是不正確的,因此我因此我們拒絕假設(shè)們拒絕假設(shè) ,如果沒(méi)有由此而導(dǎo)出不合理的結(jié)果如果沒(méi)有由此而導(dǎo)出不合理的結(jié)果,我們則不能拒絕我們則不能拒絕 即接受假設(shè)即接受假設(shè) .0H0H0H0H0H0H 例1中由于樣本均值 是總體均值 的無(wú)偏

5、估計(jì).因此, 應(yīng)該比較小,于是 也應(yīng)該比較小.如果 大于或等于某個(gè)常數(shù)時(shí),我們就有理由懷疑原假設(shè) 的正確性,應(yīng)該拒絕 . 在 成立的前提下我們可以適當(dāng)選取常數(shù) 當(dāng) 時(shí)就拒絕為了確定 的值,對(duì)于給定的顯著性水平 ,令根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可得 其中 滿足X|x|xn|xn0H0H0H0(0,1)XUNnk0|Xkn0Hk0(|)XPkn2ku2u2()12u 若統(tǒng)計(jì)量 的觀測(cè)值滿足則意味著概率為 的小概率事件發(fā)生了,根據(jù)小概率原理,我們拒絕假設(shè) ,接受假設(shè) ;若則接受假設(shè) . ,取 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 又 ,因而小概率事件居然發(fā)生了,這與小概率原理相矛盾,故拒絕 即認(rèn)為該天包裝機(jī)工作不正常.U1H0

6、H0.0502| |xuun0H21.96u0.511x 020.511 0.5| | | 2.21.960.0159xuun9n 20.05()110.97522u02| |xuun0H0.015 若取 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 ,則故不能拒絕 即認(rèn)為該天包裝機(jī)工作正常. 注:1.檢驗(yàn)結(jié)果與顯著性水平有關(guān), 不同時(shí)結(jié)果可能就不同了; 2.接受 時(shí)并不意味著 一定對(duì)只是差異還不夠顯著,不足以否定 .0.010H22.57u020.511 0.5| | | 2.22.570.0159xuun20.01()110.99522u0H0H0H 構(gòu)造小概率事件用的統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造小概率事件用的統(tǒng)計(jì)量

7、稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量. .若當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在某個(gè)區(qū)域取值時(shí)若當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在某個(gè)區(qū)域取值時(shí), ,拒絕原假拒絕原假設(shè)設(shè) , ,則稱(chēng)該區(qū)域?yàn)榫芙^域則稱(chēng)該區(qū)域?yàn)榫芙^域, ,拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .0Hu （1）第一類(lèi)錯(cuò)誤）第一類(lèi)錯(cuò)誤(“棄真棄真”錯(cuò)誤錯(cuò)誤): 事實(shí)上是正確事實(shí)上是正確的但被我們拒絕了的但被我們拒絕了.u （2）第二類(lèi)錯(cuò)誤）第二類(lèi)錯(cuò)誤(“取偽取偽”錯(cuò)誤錯(cuò)誤): 事實(shí)上是不正事實(shí)上是不正確的但被我們接受了確的但被我們接受了. 0H0H 犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率: 即顯著性水平即顯著性水平,小概小概 率事件發(fā)生的概率率事件發(fā)生的概率 注注:1.在樣本容量固定時(shí)在

8、樣本容量固定時(shí),犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率不犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)減小可能同時(shí)減小,即一類(lèi)錯(cuò)誤的概率減小導(dǎo)致另一類(lèi)即一類(lèi)錯(cuò)誤的概率減小導(dǎo)致另一類(lèi)錯(cuò)誤概率的增加錯(cuò)誤概率的增加; 2.若要同時(shí)降低兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率若要同時(shí)降低兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率,或要在或要在 不不變的條件下降低變的條件下降低 需要增加樣本容量需要增加樣本容量. 在給定樣本容量的情況下在給定樣本容量的情況下,一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō),我們總是我們總是控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率,而不考慮犯第二類(lèi)錯(cuò)誤而不考慮犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率的概率,這樣的檢驗(yàn)稱(chēng)為這樣的檢驗(yàn)稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn).00|PHH（接受為假）00(|PHH拒絕為真）=雙邊檢驗(yàn)

9、雙邊檢驗(yàn): : 左邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn): :單邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn) 右邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn): :0010HH：，：0010HH：， ：0010HH：， ：（1 1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求, ,提出原假設(shè)提出原假設(shè) 和備擇和備擇假設(shè)假設(shè) ; ;（2 2）選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, ,并在并在 成立的前提成立的前提下確定統(tǒng)計(jì)量的分布下確定統(tǒng)計(jì)量的分布; ; （3 3）給定顯著性水平）給定顯著性水平 , ,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布表由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布表, ,找出臨界值找出臨界值, ,從而確定拒絕域從而確定拒絕域 ；（4 4）根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的具體值）根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的具體值, ,若

10、統(tǒng)計(jì)量若統(tǒng)計(jì)量的具體值落入拒絕域的具體值落入拒絕域 時(shí)時(shí), ,則拒絕則拒絕 ; ;否則接否則接受受 . .0H1H0HW0H0HW 1.關(guān)于均值 的檢驗(yàn) （1） 已知U檢驗(yàn)法 設(shè)設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 的的一個(gè)樣本一個(gè)樣本,其中其中 為已知為已知, 為未知為未知,給定顯著性給定顯著性水平水平 .利用利用U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 其中其中 為已知常數(shù)稱(chēng)為為已知常數(shù)稱(chēng)為U檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 10:H12,nXXX22( ,)XN 200:H0(0,1)XUNn0 步驟如下：步驟如下：（1）提出原假設(shè)）提出原假設(shè)（2）在）在 成立的條件下即成立的條件下即 ,選用選用U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量（3）確定）確定 的拒絕

11、域的拒絕域.給定顯著性水平給定顯著性水平 ,令令 .查正態(tài)分布表得臨界值查正態(tài)分布表得臨界值 ,使得使得 ,由此確定拒絕域?yàn)橛纱舜_定拒絕域?yàn)?;（4）做判斷）做判斷.根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的具體值根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的具體值 ,并與并與臨界值比較臨界值比較;若若 ,則拒絕則拒絕 ,此時(shí)認(rèn)為此時(shí)認(rèn)為均值均值 與與 之間有顯著差異之間有顯著差異;若若 ,則接受則接受 ,認(rèn)為均值認(rèn)為均值 與與 無(wú)顯著差異無(wú)顯著差異.0010HH：， ：0H0()0H(01)0(0,1)XUNn2(|)P Uu2u2()12u 2|Uuu2|uu00H：02|uu0H0 例例2 2 某種產(chǎn)品質(zhì)量某種產(chǎn)品質(zhì)量 ( (單位

12、單位:g),:g),更更新設(shè)備后從新生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取新設(shè)備后從新生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100100個(gè)個(gè), ,測(cè)得樣測(cè)得樣本均值本均值 , ,若方差沒(méi)有變化若方差沒(méi)有變化, ,問(wèn)更新設(shè)備后問(wèn)更新設(shè)備后, ,產(chǎn)品的質(zhì)量均值與原來(lái)產(chǎn)品的質(zhì)量均值是否有顯著產(chǎn)品的質(zhì)量均值與原來(lái)產(chǎn)品的質(zhì)量均值是否有顯著差異差異?(?(取顯著性水平取顯著性水平 ) )解解 這是在方差( )已知的條件下,檢驗(yàn)假設(shè)在在 成立的條件下即成立的條件下即 ,選用選用U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量由 ,21(12,1)XN12.5xg0.0500:12H1:12H0H0()0(0,1)XUNn2(|)0.05P Uu20.05()110.97522

13、u 查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得 , 于是拒絕域?yàn)橛谑蔷芙^域?yàn)?;又由已知又由已知 , , , 得得故拒絕故拒絕 ,即認(rèn)為更新設(shè)備后產(chǎn)品的質(zhì)量均值與原即認(rèn)為更新設(shè)備后產(chǎn)品的質(zhì)量均值與原來(lái)產(chǎn)品的質(zhì)量均值有顯著差異來(lái)產(chǎn)品的質(zhì)量均值有顯著差異.0H012| 1.96U 121.96u100n 0212.5 12| | | 51.961100 xuun12.5x 例例3 3 切割機(jī)在正常工作時(shí)切割機(jī)在正常工作時(shí), ,切割出的每段金屬切割出的每段金屬棒長(zhǎng)棒長(zhǎng) 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 , ,今從生產(chǎn)出今從生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1010段進(jìn)行測(cè)量段進(jìn)行測(cè)量, ,測(cè)得長(zhǎng)度測(cè)得長(zhǎng)度(

14、(單單位位:mm):mm)如下如下: : 53.8,55.0,55.1,54.2,52.1,54.2,55.0,55.8,55.1,55.3 53.8,55.0,55.1,54.2,52.1,54.2,55.0,55.8,55.1,55.3 若方差不變?nèi)舴讲畈蛔? ,問(wèn)該切割機(jī)工作是否正常問(wèn)該切割機(jī)工作是否正常?(?(取顯著性取顯著性水平水平 ) )解解 這是在方差( )已知的條件下,檢驗(yàn)假設(shè)在在 成立的條件下成立的條件下,選用選用U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 220.752(54,0.75 )XNX0.0500:54H1:54H0H0(0,1)XUNn由由 及及查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得 , 于是拒絕域

15、為于是拒絕域?yàn)?;又由已知又由已知 , , , 得得故接受故接受 ,即認(rèn)為該切割機(jī)工作正常即認(rèn)為該切割機(jī)工作正常.0H054| 1.96U 0.7521.96u10n 0254.4654| | | 1.941.960.7510 xuun2(|)0.05P Uu20.05()110.97522u 1154.46niixxn（2） 未知t檢驗(yàn)法 設(shè)設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 的的一個(gè)樣本一個(gè)樣本,其中其中 與與 均未知均未知,給定顯著性水平給定顯著性水平 .利用利用T統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 其中其中 為已知常數(shù)為已知常數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 10:H12,nXXX22( ,)XN 200:H0

16、(1)XTt nSn0 步驟如下：步驟如下：（1）提出原假設(shè)）提出原假設(shè)（2）在）在 成立的條件下即成立的條件下即 ,選用選用T統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量（3）確定）確定 的拒絕域的拒絕域.給定顯著性水平給定顯著性水平 ,令令 .查查t分布表得臨界值分布表得臨界值 ,由由此確定拒絕域?yàn)榇舜_定拒絕域?yàn)?;（4）做判斷）做判斷.根據(jù)樣本值計(jì)算根據(jù)樣本值計(jì)算T統(tǒng)計(jì)量的具體值統(tǒng)計(jì)量的具體值 ,并并與臨界值比較與臨界值比較;若若 ,則拒絕則拒絕 ;若若 ,則接受則接受 .0010HH：， ：0H0()0H(01)2(|(1)P Ttn2(1)tn2|(1)Ttnt2| |(1)ttn0H2| |(1)ttn0H0 (

17、1)XTt nSn 例例4 4 已知某種柴油發(fā)動(dòng)機(jī)所使用的每升柴油已知某種柴油發(fā)動(dòng)機(jī)所使用的每升柴油運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間 , ,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取現(xiàn)從中隨機(jī)抽取9 9臺(tái)臺(tái), ,測(cè)測(cè)得每升柴油的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間得每升柴油的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間( (單位單位:min):min)如下如下: : 28,28,27,30,31,31,29,27,30 28,28,27,30,31,31,29,27,30 按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求, ,平均每升柴油應(yīng)運(yùn)轉(zhuǎn)平均每升柴油應(yīng)運(yùn)轉(zhuǎn)30min,30min,根據(jù)試驗(yàn)根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果結(jié)果, ,能否說(shuō)明該種柴油符合設(shè)計(jì)要求能否說(shuō)明該種柴油符合設(shè)計(jì)要求?(?(取顯著性取顯著性水平水平 ) )解解 這是在方差

18、未知的條件下,檢驗(yàn)假設(shè)在在 成立的條件下成立的條件下,選用選用T統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 22(min) ( ,)XN 0.0500:30H1:30H0H0 (1)XTt nSn由于自由度由于自由度 , 根據(jù)根據(jù)查查t分布表得分布表得 于是拒絕域?yàn)橛谑蔷芙^域?yàn)?;由已知求得由已知求得 , ,及已知及已知 , 得得故接受故接受 ,即認(rèn)為該種柴油機(jī)符合設(shè)計(jì)要求即認(rèn)為該種柴油機(jī)符合設(shè)計(jì)要求.0H030| 2.306T 9n 0.0252(1)(8)2.306tnt022930| | | | 1.882.306(1)5 29xttnsn2(|(1)0.05P Ttn29x 19 18n 0.0552s 2.關(guān)于方

19、差關(guān)于方差 的檢驗(yàn)的檢驗(yàn) 檢驗(yàn)法 設(shè)設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 的的一個(gè)樣本一個(gè)樣本,其中其中 與與 均未知均未知,給定顯著性水平給定顯著性水平 .利用利用 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 其中其中 為已知常數(shù)為已知常數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 2210:H12,nXXX22( ,)XN 22200:H22220(1)(1)nSn20222 步驟如下：步驟如下：（1）提出原假設(shè)）提出原假設(shè)（2）在）在 成立的條件下即成立的條件下即 ,選用選用 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量（3）確定）確定 的拒絕域的拒絕域.給定顯著性水平給定顯著性水平 ,由由 及及 .查查 分布表得分布表得 與與 ,于是拒絕域?yàn)橛谑蔷芙^域?yàn)?;（4）利

20、用樣本值計(jì)算）利用樣本值計(jì)算 的具體值的具體值,當(dāng)當(dāng) 的具體值落入的具體值落入拒絕域中時(shí)就拒絕拒絕域中時(shí)就拒絕 ;否則就接受否則就接受 .22220010HH：， ：0H220()0H(01)2212(1)2Pn212(1)n0H0H222220(1)(1)nSn22222(1)2Pn22(1)n222122(0,(1)(1),)nn 例例5 5 某無(wú)線電廠生產(chǎn)的一種高頻管某無(wú)線電廠生產(chǎn)的一種高頻管, ,其中一項(xiàng)其中一項(xiàng)指標(biāo)服從正態(tài)分布指標(biāo)服從正態(tài)分布 . .現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了維現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了維修然后從一大批這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取修然后從一大批這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8 8只管子只管子, ,測(cè)得測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下: : 68,43,70,65,55,56,60,72 68,43,70,65,55,56,60,72 問(wèn)是否可以認(rèn)為設(shè)備維修后生產(chǎn)的高頻管的該項(xiàng)指問(wèn)是否可以認(rèn)為設(shè)備維修后