專題圓錐曲線中的最值與范圍問題

1、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn)。解決這類問題不僅要緊緊把握?qǐng)A錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識(shí)。以下從五個(gè)方面予以闡述。一求距離的最值或范圍：例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點(diǎn)M到直線y+1=0的最短距離為 ，解析：拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F（0 ，），準(zhǔn)線為y=，過A、B、M準(zhǔn)線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +AB+=×4+=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)，d取最小值，評(píng)注：靈

2、活運(yùn)用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。練習(xí)：1、(2008海南、寧夏理)已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ A ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）2、（2008安徽文）設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為.（）求橢圓的方程；（）已知過點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：;（）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值解 ：（1）由題意得： 橢圓的方程為 (2)方法一： 由（1）知是橢圓的左焦點(diǎn)，離心率 設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則 作，與軸交于點(diǎn)

3、H(如圖) 點(diǎn)A在橢圓上 同理 。方法二： 當(dāng)時(shí)，記，則 將其代入方程 得 設(shè) ，則是此二次方程的兩個(gè)根. .(1) 代入（1）式得 .(2) 當(dāng)時(shí)， 仍滿足（2）式。 （3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得 ， yO.Mx. 當(dāng)時(shí)，取得最小值3、我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)(1)若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2

4、）設(shè)，則， ， 的最小值只能在或處取到 即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處 （3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可 當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是 當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是 綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或4、已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2= x

5、2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1£y£1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)二求角的最值例2M，N分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在l上，則MPN的最大值是 . 解析：不妨設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是，點(diǎn)，直線PM和PN傾斜角分別為.于是 即MPN的最大值為.評(píng)注：審題時(shí)要注意把握MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.練習(xí)：1、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,-2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩

6、點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角三、求幾何特征量代數(shù)和的最值例3.點(diǎn)M和F分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)和右焦點(diǎn)，定點(diǎn)B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值

7、.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)，左焦點(diǎn)F(-4,0)，離心率e=，準(zhǔn)線方程x=±.|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|=102. 故當(dāng)M，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MB|取最小值102.過動(dòng)點(diǎn)M作右準(zhǔn)線x=的垂線，垂足為H，則.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|=.可見，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、M、H共線時(shí)，|MF|+|MB|取最小值.評(píng)注：從橢圓的定義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為平幾中的問題，利用三角形三邊所滿足的基本關(guān)系，是解決此類問題的常見思路。練習(xí)：1、點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M，N

8、分別為和上的點(diǎn)，則PMPN的最大值為 .解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn).對(duì)于雙曲線右支上每一個(gè)確定的點(diǎn)P，連結(jié)PF1，并延長PF1交F1于點(diǎn)Mo.則PM0為適合條件的最大的PM，連結(jié)PF2,交F2于點(diǎn)No.則PN0為適合條件的最小的PN.于是故PMPN的最大值為6.評(píng)注：仔細(xì)審題，合理應(yīng)用平面幾何知識(shí)，溝通條件與所求結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.2已知e1，e2分別是共軛雙曲線和的離心率，則e1+e2的最小值為 .解析： 考慮到，故得. 即e1+e2的最小值為.評(píng)注：解題關(guān)鍵在于對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的準(zhǔn)確理解，并注意基本不等式等代數(shù)知識(shí)的合理應(yīng)用.3（2012年高考（山東文

9、）如圖,橢圓的離心率為,直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;() 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.解:(I) 矩形ABCD面積為8,即 由解得:,橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (II), 設(shè),則, 由得. . 線段CD的方程為,線段AD的方程為. (1)不妨設(shè)點(diǎn)S在AD邊上,T在CD邊上,可知. 所以,則, 令,則 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí); (2)不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上,T在CD邊上,此時(shí), 因此,此時(shí), 當(dāng)時(shí)取得最大值; (3)不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上,T在BC邊上,可知 由橢圓和矩形的對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)取得最

10、大值; 綜上所述當(dāng)和0時(shí),取得最大值. 四、求面積的最值例4已知平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；過原點(diǎn)O的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).求MAN面積的最大值.解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到l的距離為d，由題意根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，點(diǎn)P的軌跡C為橢圓., 可得 故橢圓C的方程為：若直線l存在斜率，設(shè)其方程為l與橢圓C的交點(diǎn) 將y=kx代入橢圓C的方程并整理得. 于是 又 點(diǎn)A到直線l的距離 故MAN的面積 從而 當(dāng)k=0時(shí)，S2=1得S=1 當(dāng)k>0時(shí)，S2<1得S<1 當(dāng)k<0時(shí)， 得若直線l不存在斜率，則MN即為橢圓C

11、的短軸，所以MN=2. 于是MAN的面積.綜上，MAN的最大值為.評(píng)注：本題將MAN的面積表示為l的斜率k的函數(shù)，其過程涉及弦長公式和點(diǎn)到直線距離等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，在處理所得的面積函數(shù)時(shí)，運(yùn)用了分類討論的思想方法。當(dāng)然，也可以將該面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程，由0求得面積S的最大值。練習(xí)：1（2012年高考（浙江理）如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.()求橢圓C的方程;() 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.【解析】 ()由題:; (1) 左焦點(diǎn)(c,0)到點(diǎn)P(2

12、,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求橢圓C的方程為:. ()易得直線OP的方程:y=x,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. A,B在橢圓上, . 設(shè)直線AB的方程為l:y=(m0), 代入橢圓:. 顯然. <m<且m0. 由上又有:=m,=. |AB|=|=. 點(diǎn)P(2,1)到直線l的距離為:. SABP=d|AB|=,其中<m<且m0. 利用導(dǎo)數(shù)解: 令, 則 當(dāng)m=時(shí),有(SABP)max. 此時(shí)直線l的方程. 2（2012年高考（廣東理）(解析幾何)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的離心率且橢圓上的點(diǎn)

13、到點(diǎn)的距離的最大值為3.()求橢圓的方程;()在橢圓上,是否存在點(diǎn),使得直線:與圓:相交于不同的兩點(diǎn)、,且的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.解析:()因?yàn)?所以,于是.設(shè)橢圓上任一點(diǎn),則(). 當(dāng)時(shí),在時(shí)取到最大值,且最大值為,由解得,與假設(shè)不符合,舍去. 當(dāng)時(shí),在時(shí)取到最大值,且最大值為,由解得.于是,橢圓的方程是. ()圓心到直線的距離為,弦長,所以的面積為,于是.而是橢圓上的點(diǎn),所以,即,于是,而,所以,所以,于是當(dāng)時(shí),取到最大值,此時(shí)取到最大值,此時(shí),. 綜上所述,橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)、,使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、,且的面積最大,且最大值為. 3已知

14、橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意b1，所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)33(k0)34.當(dāng)且僅當(dāng)9k2，即k±時(shí)等號(hào)成立當(dāng)k0時(shí)，|AB|.綜上所述，|AB|max2.當(dāng)|AB|最

15、大時(shí)，AOB面積取最大值：Smax×|AB|max×.五.求最值條件下的曲線方程【例5】橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，其離心率, 過點(diǎn)C（1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面積；（2）當(dāng)OAB的面積最大時(shí)，求橢圓E的方程。解：（1）設(shè)橢圓E的方程為( ab0 )，由e =a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點(diǎn)C（1，0）分向量的比為2， 即 由消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于A

16、（x1,y1）, B(x2,y2)兩點(diǎn)得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,當(dāng)且僅當(dāng)SOAB取得最大值此時(shí) x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2將x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 橢圓方程x2 + 3y2 = 5 練習(xí)：1.已知橢圓的焦點(diǎn)F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點(diǎn)，求其中長軸最短的橢圓方程.解法1：設(shè)橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由題設(shè)=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2

17、 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓方程為.解法2：設(shè)橢圓=1與直線xy+9=0的公共點(diǎn)為M(acos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓的方程.解法3：先求得F1(3，0)關(guān)于直線xy+9=0的對(duì)稱點(diǎn)F(9,6)，設(shè)直線xy+9=0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,此時(shí)易得： a2=45, b2=36，于是橢圓的方程為.評(píng)注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑

18、尋求解決。由不同角度進(jìn)行分析和處理，有利于打開眼界，拓寬思路，訓(xùn)練思維的發(fā)散性。解決圓錐曲線中的最值問題，要熟練準(zhǔn)確地掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，靈活合理地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸及數(shù)形結(jié)合等思想方法，仔細(xì)審題，挖掘隱含，尋求恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。此外，解題過程力爭做到思路清晰、推理嚴(yán)密、運(yùn)算準(zhǔn)確、規(guī)范合理。六、求參變量的取值范圍：例6、如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列 (1)求該橢

19、圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1 (2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出 x1+x2=8 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0 (k0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立) 由點(diǎn)P(4，y