《概率論》第1章§4等可能概型

1、第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1 1/17/17121 nP eP eP en ,SE12 ,nSe eeA12,kiiiAeee12kiiieeekn12( )kiiiP AP eP eP e A第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2 2/17/1712( )kiiikP AP eP eP en Ank Ank Ank第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3 3/17/17S HH,HT,TH,TT:AHT,TH2 ( )4P A12HH,HT,TTS 1( )3P A 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念4 4/17/17na bCabn ( m

2、in( , ) )kn aabnknkkabCCnkkabkna bCCpC第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念5 5/17/17n1m2mnmn21nNmmm 1m2mnm第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念6 6/17/17例如，某人要從甲地到乙地去例如，某人要從甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火車可以乘火車,也可以乘輪船也可以乘輪船.火車有兩班火車有兩班輪船有三班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3 + 2 種方法種方法回答是回答是第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念7 7/17/17n1m2mnmn

3、21nNmmm12n第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念8 8/17/17例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有可以有 種打扮種打扮23第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念9 9/17/17knn ()kn!(1)(1)()!knnAn nnknk!nnAnn ()knknkknkACA!()!nknk(1)(1)!n nnkk第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1010/17/17多重組合多重組合 n個(gè)不同元素分為個(gè)不同元素分為k組，各組元組，各組元素?cái)?shù)目分別為素?cái)?shù)目分別為r

4、1,r2,rk的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為nrrrrrrnkk2121,!r1個(gè)個(gè)元素元素r2個(gè)個(gè)元素元素rk個(gè)個(gè)元素元素n個(gè)元素個(gè)元素kkrrrrnrnCCC211!21krrrn因?yàn)橐驗(yàn)?1rrnn rnrHCr 重復(fù)組合：第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1111/17/17 個(gè)盒子中去個(gè)盒子中去n ( )NnnN NNN(1)(1)nNAN NNnnNnApN(1)(1)nN NNnN第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1212/17/17nnn P n, 365365365365nnA365 1365nnAP2025304050551000.41 0.570.71

5、0.89 0.970.99 0.9999997np第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1313/17/17人數(shù)人數(shù)至少有兩人生日相同的至少有兩人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.99999384835612360

6、3551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1414/17/17第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1515/17/17 1,2,3,4iAi ii1234()P AAAA()1/

7、 4 (1,2,3,4)iP Ai1234()1/(4 3 2 1)P A A A A 2413()()1/(4 3)P A AP A A 123234()()1/(4 3 2)P A A AP A A A 1234 ()P AAAA111146444 34 3 24 3 2 1 11112!3!4!58第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1616/17/17n 個(gè)人、n 頂帽子，任意取，至少一個(gè)人拿對(duì)自己帽子的概率.記 Ai = “第 i 個(gè)人拿對(duì)自己的帽子” ，i=1, , n.求 P(A1A2An)，不可用對(duì)立事件公式.用加法公式：配對(duì)模型11()()()nniiijijkii

8、PAP AP AAP AA A112.( 1)(.)nnP A AA 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1717/17/17P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n!P(A1A2An)= 配對(duì)模型(續(xù))1111.( 1)2(1)!nnnnn nn 1111111.( 1)12!3!4!nen 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1818/17/17 1,2,10iAi i35011101960C1210,A AA31012101()()iiP AAAP A110 ()P A33

9、50C13103CC1310335011960C CpC第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1919/17/17 “等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.需要注意的是：需要注意的是：第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2020/17/17 在許多場(chǎng)合，在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性，由對(duì)稱性和均衡性，我我們就可以認(rèn)為基本事件是

10、等可能的并在此們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2121/17/172、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 下面的算法錯(cuò)在哪里？下面的算法錯(cuò)在哪里？4102815)(AP錯(cuò)在同樣的錯(cuò)在同樣的“4只配只配成兩雙成兩雙”算了兩次算了兩次.9732

11、1456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2222/17/17例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 正確的答案是：正確的答案是：410252815)(AP請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概

12、念2323/17/173、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：一類型： 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率間房中各有一人的概率.人人房房第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2424/17/173、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：一類型： 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為率為1/365. 求這求這n (n 365)個(gè)人的生

13、日互不相個(gè)人的生日互不相同的概率同的概率.人人任一天任一天第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2525/17/173、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：一類型： 有有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，設(shè)每個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為個(gè)人在每站下車的概率為1/ N(N n) ，求指，求指定的定的n個(gè)站各有一人下車的概率個(gè)站各有一人下車的概率.旅客旅客車站車站第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2626/17/173、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：一類型： 某

14、城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率的概率.車禍車禍天天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí)你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2727/17/17400.000850000p 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2828/17/17,D A d () dP ADAA第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2929/17/1720 | yx95604060222px60202060yOyx,2020yx20 xy20 xy

15、第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3030/17/17蒲豐投針試驗(yàn)1777年年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針提出了投針試驗(yàn)問(wèn)題試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫有等距離為平面上畫有等距離為a(0)的一些平行直的一些平行直線線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為b( a )的針的針,試求試求針與任一平行直線相交的概率針與任一平行直線相交的概率.解解,直線的距離直線的距離到最近的一條平行到最近的一條平行針的中點(diǎn)針的中點(diǎn)表示針投到平面上時(shí)表示針投到平面上時(shí)以以Mxax M.夾夾角角表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的 .),(完完全全確確定定置置可可由由那

16、那么么針針落落在在平平面面上上的的位位 x第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3131/17/17ax M由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題.0 ,sin20 bx.,| ),(中中的的所所有有點(diǎn)點(diǎn)一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)與與矩矩形形區(qū)區(qū)域域果果投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)的的所所有有可可能能結(jié)結(jié) 020axx中中的的點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足發(fā)發(fā)生生的的充充分分必必要要條條件件為為針針與與任任一一平平行行直直線線相相交交所所關(guān)關(guān)心心的的事事件件 A第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3232/17/17的面積的面積GmGmAP )()()(2dsin20 ab

17、.ab2ab 2第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3333/17/17蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義2)(abAP 那那么么的的近近似似值值代代入入上上式式作作為為即即可可則則頻頻率率值值的的次次數(shù)數(shù)算算出出針針與與平平行行直直線線相相交交很很大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)次次數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性,)(,APnmmn,2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可計(jì)算圓周率利用上式可計(jì)算圓周率第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3434/17/17歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離直線距離a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzer