解析幾何專題之軌跡方程問題上

1、 解析幾何概述：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，全國(guó)在這一部分的出題情況較為相似，分值約占20%，即30分左右，具體分配為：直線和圓約占6%，一般為兩道小題，屬容易或中檔題，考試的主要內(nèi)容有：傾斜角和斜率、兩直線交角、對(duì)稱點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離、兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定、用二元一次不等式表示平面區(qū)域、直線和圓的方程等；圓錐曲線約占13%，題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答難度設(shè)置在中等或以上，一般都有較高的區(qū)分度，考試的主要內(nèi)容有：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等內(nèi)容。 求軌跡方程的問題是解析幾何的?？碱}型，難度往往較大，經(jīng)常出現(xiàn)在高考的壓軸題中。 此類問題涉及內(nèi)容多，范圍

2、廣，綜合程度高，往往涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、向量和導(dǎo)數(shù)等多方面的內(nèi)容，也常常涉及數(shù)型結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法。 具有一定特點(diǎn)：數(shù)型結(jié)合，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)。 主要考察運(yùn)算能力，邏輯思維能力，以及分析和解決問題的綜合能力。 在這部分的學(xué)習(xí)中尤其要要克服畏難心理。 雖然題型靈活多變，但有一些常用方法可以總結(jié)。 直接法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直線與已知條件聯(lián)系時(shí) 定義法：利用圓錐曲線定義直接求解，如題設(shè)有動(dòng)電到兩點(diǎn)距離之和或差為定值等條件時(shí) 變量代換法：如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,v）而運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)的坐標(biāo)u、v可以用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可利用點(diǎn)Q的軌跡方程，間接地求得P點(diǎn)的軌

3、跡方程 運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何知識(shí)，分析軌跡形成的條件，秋初軌跡方程 交軌法：若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交線的方程，即所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能單獨(dú)考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個(gè)題目的一個(gè)中間步驟。 以下舉一個(gè)例子說明： ( , ) | | .aP x yxyaxya 【例1】一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為一正的常數(shù) ，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，依題意有：，即，這就是所求的軌跡方程，表示兩條雙曲線 若題設(shè)有動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以

4、利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。此類問題相對(duì)也非常簡(jiǎn)單，因此單獨(dú)出現(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個(gè)中間步驟出現(xiàn)。 以下舉一個(gè)例子說明：1sinsinsin2 .11 sinsinsin2222 21 .2 ABCBCaACBAABCxBCyABACBCCBARRRABACaA【例2】在中，已知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 滿足條件時(shí)，求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程解：以邊所在直線為 軸，以線段的垂直平分線為 軸建立直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，由正弦定理得：，所以（定值）根?jù)雙曲線定義， 點(diǎn)的軌跡方22222222222222222. 1224163 ( )1(0)32161616162 caxyaaamABACmmmnaa

5、axyncmAxaaRR程是雙曲線的右支（除頂點(diǎn)），它的焦距是設(shè)雙曲線方程為：，則，所以，又，故動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方成為：正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它對(duì)角的正弦的比相等且等于（ 是三角形外接圓半徑） 如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,v）(這種點(diǎn)叫相關(guān)動(dòng)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)的坐標(biāo)u、v可以用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可利用點(diǎn)Q的軌跡方程，間接地求得P點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做變量代換法或轉(zhuǎn)移法.此類問題的難度屬中檔水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較易的題目。 以下舉一個(gè)例子說明：22111122221111224(4,

6、0) .4( ,)( , ).22 24244 (24)(2 )4(2)QxyRQRxyQx yQRPx yxyxxyyQxyxyxyx【例3】已知點(diǎn) 為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求線段中點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為，中點(diǎn) 的坐標(biāo)為，則，所以，因?yàn)?點(diǎn)是圓上點(diǎn)，故，即，故所求的軌跡方程為：221.y 運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識(shí)，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決某些復(fù)雜問題時(shí)，深入分析圖形性質(zhì)，利用此種方法，可能非常簡(jiǎn)便。 以下舉一個(gè)例子說明：2222266140( 3, 5) (3)(3)4(3,3). ( , )35 11(33

7、CMPQxyxyAxyCAPQM x yPQCMCMPQyykkxyxx 【例4】已知圓的方程為，求過點(diǎn)的直線交圓的弦的中點(diǎn)的軌跡.解：圓的方程為，則圓心 的坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn) 的直線交圓于 、 兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連，則，故有：，則，整理得：2221)25 (1)25xy，所以所求軌跡方程是圓在已知圓內(nèi)的一段弧.C3-3-5.CPQMXY 若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交線的方程，即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考?jí)狠S題中出現(xiàn)過，但不論復(fù)雜程度如何，牢牢把握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關(guān)鍵。 以下舉兩個(gè)例子說明：1212121 1

8、221211 1221221122 . ( , )( , )(,)( ,)( ,). AAPPA AAPA PA AxOORP m nAPA PP x yAR OA R OP mnAPPAP【例5】設(shè) 、是一個(gè)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，是垂直的弦，求直線與交點(diǎn)的軌跡方程解：以直線位 軸，圓心 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè) 的半徑為 ，與交點(diǎn)，則，因?yàn)?、 、 三點(diǎn)共線， 、222222 PynxRmRmnRynxRRmxyR 、 三點(diǎn)共線，所以，且所以即為所求的軌跡方程.A1A2PP2P1OxyABCDEFGPOxy04 4 . aABCDABBCaOABEFGBCCDDABECFDCP

9、GEOFBCCDDAP【例6】（2003年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷第22題）已知常數(shù)，在矩形中， 為的中點(diǎn).點(diǎn) 、 、 分別在、上移動(dòng)，且為與的交點(diǎn)（如圖）.問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使 到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐.標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由 ( 2,0)(2,0)(2,4 )(, 2,4 ). (01).(2,4)(24 ,4 )( 2,44). 2(21)0PPABCaDaBECFDCkkEakFkaGaakBCCDDAOFaxkyGE解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn) 坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩點(diǎn)，使得 到兩定點(diǎn)距離的和為定值.按題意有，設(shè)，由此有，直線的方程為：，直線

10、222222222(21)20. ( , )220() 1.121 21 21 2akxyakP x ya xyayxyaaaPaPPaP的方程為：從兩直線方程中消去參數(shù) ，得點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn) 的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn) 的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn) 到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)2222211(, )(, )2.22111 (0,)(0,)2 .222aaaaaPaaaaa到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)和的距離之和為定值當(dāng)時(shí)，點(diǎn) 到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)和的距離之和為定值 求軌跡問題歸根到底是要得出x和y關(guān)系式。那么抽象來看只可能存在兩種情況： 1.x和y的關(guān)系可以直接得到，如第一、二種類型的情況； 2.需要中間量聯(lián)系，絕大多數(shù)題目屬于這種情況，只要有x=f(u,v