第六章兩種常用的概率分布

1、第六章第六章 兩種常用的概率分布兩種常用的概率分布 第一節(jié)第一節(jié) 概率概率第二節(jié)第二節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布第一節(jié)第一節(jié) 概率概率v一、事件及其概率一、事件及其概率v（一）隨機(jī)事件（一）隨機(jī)事件v 概率論：概率論：是從量的方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)是從量的方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)。計(jì)規(guī)律的科學(xué)。v 隨機(jī)現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：是指在相同條件下反復(fù)進(jìn)行觀是指在相同條件下反復(fù)進(jìn)行觀察或?qū)嶒?yàn)，其結(jié)果無(wú)法事先預(yù)定的現(xiàn)象。察或?qū)嶒?yàn)，其結(jié)果無(wú)法事先預(yù)定的現(xiàn)象。v 如：擲硬幣，其結(jié)果有兩個(gè)，正面或反面。如：擲硬幣，其結(jié)果有兩個(gè)，正面或反面。在隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能結(jié)果，稱為在隨機(jī)現(xiàn)象中

2、出現(xiàn)的各種可能結(jié)果，稱為隨隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。v在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件，在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件，稱為必然事稱為必然事件件；而一定不會(huì)發(fā)生的事件，；而一定不會(huì)發(fā)生的事件，稱為不可能事稱為不可能事件件。如純水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下零度結(jié)冰等。如純水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下零度結(jié)冰等。v（二）事件的概率（二）事件的概率（事件發(fā)生的概率與頻率有關(guān)）事件發(fā)生的概率與頻率有關(guān)）v 1、頻率：、頻率：對(duì)于隨機(jī)事件對(duì)于隨機(jī)事件A，如果在，如果在N次試次試驗(yàn)中出現(xiàn)驗(yàn)中出現(xiàn)a次，則次，則A發(fā)生的頻率記作發(fā)生的頻率記作NaAF（6.1）2、經(jīng)（后）驗(yàn)概率（或統(tǒng)計(jì)概率）、經(jīng)（后）驗(yàn)概率（或統(tǒng)計(jì)概率） 計(jì)數(shù)某事件

3、在一系列試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，然后計(jì)數(shù)某事件在一系列試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，然后計(jì)算發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值得到頻率。試驗(yàn)計(jì)算發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值得到頻率。試驗(yàn)次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)上下波次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)上下波動(dòng)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮時(shí)該事件發(fā)生的頻率會(huì)與一常動(dòng)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮時(shí)該事件發(fā)生的頻率會(huì)與一常數(shù)相等，把這一常數(shù)稱為某事件的數(shù)相等，把這一常數(shù)稱為某事件的概率概率。（統(tǒng)計(jì)定。（統(tǒng)計(jì)定義）義）頻率滿足不等式頻率滿足不等式0F（A）1。若。若A是是必然必然事件，則事件，則F（A）=1，若，若A是是不可能事件不可能事件，則，則F（A）=0。v3、先驗(yàn)（古典）概率、

4、先驗(yàn)（古典）概率v 試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)中各種可能結(jié)果（基本事件）試驗(yàn)中各種可能結(jié)果（基本事件）是是有限有限的，并且每種結(jié)果發(fā)生的的，并且每種結(jié)果發(fā)生的可能性是不變可能性是不變（相等）（相等）時(shí)，則某事件發(fā)生的概率等于該事件包時(shí)，則某事件發(fā)生的概率等于該事件包含的基本事件數(shù)（含的基本事件數(shù)（K）除以試驗(yàn)中可能發(fā)生的基本）除以試驗(yàn)中可能發(fā)生的基本事件總件數(shù)（事件總件數(shù)（N）之商。）之商。NKAP6.2v 經(jīng)驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率是由計(jì)算事件發(fā)生的是由計(jì)算事件發(fā)生的頻率頻率而得，而得，先驗(yàn)概先驗(yàn)概率率是在實(shí)踐之前利用有關(guān)事實(shí)是在實(shí)踐之前利用有關(guān)事實(shí)確定確定的。前者給出了的。前者給出了概率的概率的操作性

5、定義操作性定義，后者提供了概率的，后者提供了概率的理論上的基理論上的基本定義本定義。4、概率的性質(zhì)（公理系統(tǒng)）、概率的性質(zhì)（公理系統(tǒng)）（1）對(duì)任一事件）對(duì)任一事件A，有有0P（A）1。（2）不可能事件不可能事件的概率等于的概率等于零零。（3）必然事件必然事件的概率等于的概率等于1。5、小概率事件、小概率事件 在統(tǒng)計(jì)推斷中，將一次試驗(yàn)中發(fā)生的在統(tǒng)計(jì)推斷中，將一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率小概率小于于0.05的事件，稱為的事件，稱為小概率事件小概率事件。認(rèn)為它是一次。認(rèn)為它是一次試驗(yàn)中同乎不可能發(fā)生的事件。試驗(yàn)中同乎不可能發(fā)生的事件。二、概率的兩個(gè)基本法則二、概率的兩個(gè)基本法則（一）概率的加法法則（一）概率

6、的加法法則nnAAAAAAPPPP2121)(兩個(gè)互不相容（或互斥）事件兩個(gè)互不相容（或互斥）事件A、B之和的概率之和的概率等于兩個(gè)事件分別發(fā)生的概率，即等于兩個(gè)事件分別發(fā)生的概率，即在一次試驗(yàn)中在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)出現(xiàn)不可能同時(shí)出現(xiàn)的事件稱為的事件稱為互不相容事件互不相容事件。 BABAPPP)(（6.3a）（6.3b）v解：高抽出是非題為事件解：高抽出是非題為事件A，抽出選擇題為事件，抽出選擇題為事件B，隨機(jī)抽一題，只能是抽取三類題中的一題，所以隨機(jī)抽一題，只能是抽取三類題中的一題，所以A，B為互不相容事件為互不相容事件。 “抽出的為是非或選擇題抽出的為是非或選擇題”意思意思是無(wú)論抽得兩

7、種題中的哪一種都表示該事件發(fā)生了，是無(wú)論抽得兩種題中的哪一種都表示該事件發(fā)生了，因此是求兩個(gè)事件之和的概率因此是求兩個(gè)事件之和的概率P（A+B）。）。vP（A）=2/9, P(B)=6/9v所以所以P（A+B）=P（A）+P（B）=8/9例例1 在在9道題中，有道題中，有6道選擇題，道選擇題，2道是非題，道是非題，1道填道填空題，隨機(jī)抽出一題，求抽出的為是非或選擇題的空題，隨機(jī)抽出一題，求抽出的為是非或選擇題的概率是多少？概率是多少？（二）概率的乘法法則（二）概率的乘法法則 BABAPPP )(兩個(gè)相互獨(dú)立事件兩個(gè)相互獨(dú)立事件就是指一個(gè)事件發(fā)生的概率與另就是指一個(gè)事件發(fā)生的概率與另一個(gè)事件的發(fā)

8、生一個(gè)事件的發(fā)生無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)，兩個(gè)事件的，兩個(gè)事件的積積就是指就是指兩個(gè)事兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生件同時(shí)發(fā)生的事件。的事件。兩個(gè)相互獨(dú)立事件兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B之積的概率等于兩個(gè)事件分之積的概率等于兩個(gè)事件分別發(fā)生的概率的積，即別發(fā)生的概率的積，即（6.4a）nnAAAAAAPPPP2121)(（6.4b）v解：設(shè)第一題做對(duì)為事件解：設(shè)第一題做對(duì)為事件A，做錯(cuò)為事件，做錯(cuò)為事件 ，第二，第二題做對(duì)為事件題做對(duì)為事件B，做錯(cuò)為事件，做錯(cuò)為事件 ，做對(duì)第一題的概，做對(duì)第一題的概率為率為P（A ），做對(duì)第二題的概率為），做對(duì)第二題的概率為P（ B ），），所以做對(duì)任意一題的概率為所以做對(duì)任意一題的概率為ABB

9、AP（A ）+BP（ B ）=P（A）P（ ）+ABP（ ）P（B）A=1/4*3/4+3/4*1/4=3/8例例2 兩道四選一題，憑猜測(cè)做對(duì)一題的概率是多兩道四選一題，憑猜測(cè)做對(duì)一題的概率是多少？少？（三）概率分布類型（三）概率分布類型v概率分布概率分布（probability distribution）是指對(duì)隨機(jī)變量是指對(duì)隨機(jī)變量取不同值取不同值時(shí)的概率的描時(shí)的概率的描述，一般用述，一般用概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)進(jìn)行描述。進(jìn)行描述。v依不同的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)概率分布可作不同的依不同的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)概率分布可作不同的分類。分類。、離散型分布與連續(xù)型分布、離散型分布與連續(xù)型分布v依隨機(jī)變量的類型，可將概率依

10、隨機(jī)變量的類型，可將概率分布分為分布分為與與。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的最常用的離散型分布離散型分布是是二項(xiàng)分二項(xiàng)分布，最常用的布，最常用的連續(xù)型分布連續(xù)型分布是是正正態(tài)分布態(tài)分布。 、經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布、經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布v依分布函數(shù)的來(lái)源，可將概率分布分為依分布函數(shù)的來(lái)源，可將概率分布分為經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布與與理論分布理論分布。（empirical distribution）是指）是指根據(jù)根據(jù)觀察或?qū)嶒?yàn)觀察或?qū)嶒?yàn)所獲得的所獲得的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)而編制的而編制的次數(shù)分布次數(shù)分布或或相對(duì)頻率分布相對(duì)頻率分布。（theoretical distribution）是按）是按某種數(shù)學(xué)模型某種數(shù)學(xué)模型計(jì)

11、算出的計(jì)算出的概率分布概率分布。 、基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布、基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布v依所描述的數(shù)據(jù)的依所描述的數(shù)據(jù)的樣本特性樣本特性，可將概，可將概率分布分為率分布分為基本隨機(jī)變量分布基本隨機(jī)變量分布與與抽樣抽樣分布分布（sampling distribution）。）。是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量各種不各種不同取值情況同取值情況的的概率分布概率分布，是是從同一總體內(nèi)從同一總體內(nèi)抽取的抽取的不同樣本不同樣本的的統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量的的概率分布概率分布。第二節(jié)第二節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（一）二項(xiàng)分布的概念（一）二項(xiàng)分布的概念一、二項(xiàng)分布模型一、二項(xiàng)分布模型所謂分布的指所謂分布的指隨機(jī)變量隨機(jī)變量的的概率分

12、布概率分布。v二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（bionimal distribution）是一種具有）是一種具有廣泛用途的廣泛用途的離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的的概率分布，概率分布，它是由它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里分布。貝努里分布。 如果一次試驗(yàn)中只會(huì)發(fā)生如果一次試驗(yàn)中只會(huì)發(fā)生兩種兩種結(jié)果，非結(jié)果，非A即即B，A和和B就是就是對(duì)立事件對(duì)立事件。發(fā)生。發(fā)生A和和B的概的概率分別為率分別為p和和q，顯然，顯然P（A）+P（B）=p+q=1。而且。而且 重復(fù)多次重復(fù)多次試驗(yàn)時(shí)，各次試驗(yàn)試驗(yàn)時(shí)，各次試驗(yàn)結(jié)果之間互不影響，各次試驗(yàn)結(jié)果之間互不影響，各次試驗(yàn)結(jié)果之間是結(jié)果之間是相相互

13、獨(dú)立事件互獨(dú)立事件，則在，則在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，A事件可能出事件可能出現(xiàn)的次數(shù)現(xiàn)的次數(shù)k(k=0,1,n)是隨機(jī)的，也就是有是隨機(jī)的，也就是有n+1個(gè)概率值。個(gè)概率值。A事件出現(xiàn)各種可能結(jié)果這一事件出現(xiàn)各種可能結(jié)果這一隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概率分布就叫就叫二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分。二項(xiàng)分布中布中A事件出現(xiàn)的事件出現(xiàn)的k次的概率與二項(xiàng)展開式的次的概率與二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)相對(duì)應(yīng)。各項(xiàng)相對(duì)應(yīng)。1 1二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn)滿足以下條件的試驗(yàn)稱為滿足以下條件的試驗(yàn)稱為二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn)：v一次試驗(yàn)只有一次試驗(yàn)只有可能的可能的，即成功和失??；，即成功和失??；v各次試驗(yàn)相互各次試驗(yàn)相互，即各次試驗(yàn)之間互不影

14、響；，即各次試驗(yàn)之間互不影響；v各次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)中的概率相等，的概率相等，的概率也的概率也。2 2二項(xiàng)分布函數(shù)二項(xiàng)分布函數(shù)v二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種是一種離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的概的概率分布。率分布。v用用 n 次方的二項(xiàng)展開式次方的二項(xiàng)展開式來(lái)表達(dá)在來(lái)表達(dá)在 n 次次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)（X0，1）的概率分布，叫做）的概率分布，叫做二二項(xiàng)分布函數(shù)。項(xiàng)分布函數(shù)。二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：nnknkknnnnnnnnBACBACBACBACBA001110. 二項(xiàng)分布中二項(xiàng)分布中A事件出現(xiàn)事件出現(xiàn)k次的概率與上式中各項(xiàng)對(duì)次的概率與上式中各項(xiàng)對(duì)應(yīng)，通

15、式為應(yīng)，通式為 knkknkqpCP（6.5）(6.6)。knknC，kAnCknkn叫二項(xiàng)分布函數(shù)公式時(shí)的組合數(shù)事件出現(xiàn)次數(shù)為次試驗(yàn)中為其中)5 . 6()!( !二項(xiàng)展開式的要點(diǎn)：v項(xiàng)數(shù)：項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式中共有二項(xiàng)展開式中共有n1項(xiàng)。項(xiàng)。v方次：方次：p的方次，從的方次，從n0為為降冪降冪；q的方的方次從次從0n為為升冪升冪。每項(xiàng)。每項(xiàng)p與與q方次之和等于方次之和等于n。v系數(shù)：系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)是成功事件次數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)是成功事件次數(shù)的組合數(shù)組合數(shù)。 例例3 憑猜測(cè)做五道是非題，答對(duì)的概率憑猜測(cè)做五道是非題，答對(duì)的概率p=1/2,答答錯(cuò)的概率錯(cuò)的概率q=1/2，問(wèn)五題中答對(duì)，問(wèn)五題中答對(duì)k（k

16、=0,1,2,3,4,5)題的題的概率各是多少？概率各是多少？解：根據(jù)二項(xiàng)式定理解：根據(jù)二項(xiàng)式定理5005411532252335144505555qpCqpCqpCqpCqpCqpCqp答對(duì)答對(duì)5題的題的概率概率1/32答對(duì)答對(duì)4題的題的概率概率5/32答對(duì)答對(duì)3題的題的概率概率10/32答對(duì)答對(duì)0題的題的概率概率1/32答對(duì)答對(duì)2題的題的概率概率10/32答對(duì)答對(duì)1題的題的概率概率5/32v5題中答對(duì)各種可能結(jié)果的題中答對(duì)各種可能結(jié)果的概率之和為概率之和為1。所。所以在二項(xiàng)分布中，以在二項(xiàng)分布中，n+1項(xiàng)的概率之和為項(xiàng)的概率之和為1。若。若p=q,則概率分布呈則概率分布呈對(duì)稱性對(duì)稱性，與兩

17、端等距的項(xiàng)，與兩端等距的項(xiàng)的的概率相等概率相等。若若pq,n較小時(shí)，概率分布不較小時(shí)，概率分布不對(duì)稱，當(dāng)對(duì)稱，當(dāng)n較大時(shí)（大于等于較大時(shí)（大于等于30或或50），概），概率分布逐步對(duì)稱。率分布逐步對(duì)稱。二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的性質(zhì)v從概率直方圖可以看到，二項(xiàng)分布有如從概率直方圖可以看到，二項(xiàng)分布有如下性質(zhì)：下性質(zhì)：v當(dāng)當(dāng)p=q時(shí)，圖形是時(shí)，圖形是對(duì)稱對(duì)稱的。的。v當(dāng)當(dāng)pq時(shí)，直方圖呈時(shí)，直方圖呈偏態(tài)偏態(tài)。pq與與pq時(shí)的時(shí)的偏斜方向相反偏斜方向相反。（二）二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（二）二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布的平均數(shù)平均數(shù)：隨機(jī)變量隨機(jī)變量k算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，以以k

18、為原始數(shù)據(jù)，以概率為原始數(shù)據(jù)，以概率p為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)）平均數(shù)）npq二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：隨機(jī)變量：隨機(jī)變量k的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差（6.8）np（6.7）二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用v二項(xiàng)分布函數(shù)除了用來(lái)求成二項(xiàng)分布函數(shù)除了用來(lái)求成功事件恰好出現(xiàn)功事件恰好出現(xiàn)X次的概率次的概率之外，在教育中主要用來(lái)之外，在教育中主要用來(lái)判判斷試驗(yàn)結(jié)果的機(jī)遇性與真實(shí)斷試驗(yàn)結(jié)果的機(jī)遇性與真實(shí)性的界限。性的界限。 二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用例例4 某個(gè)學(xué)生一次測(cè)驗(yàn)回答某個(gè)學(xué)生一次測(cè)驗(yàn)回答20道是非題，每題道是非題，每題1分，他分，他得了得了18分，問(wèn)（分，問(wèn)（1）憑

19、猜測(cè)得）憑猜測(cè)得18分的概率是多少？（分的概率是多少？（2）他的成績(jī)?nèi)粼谒某煽?jī)?nèi)粼?8分以上，是否是憑猜測(cè)得到的？分以上，是否是憑猜測(cè)得到的？解：（解：（1）p=0.5,q=0.5,n=20,k=18,代入公式（代入公式（6.6）得）得000181. 05 . 05 . 0190218218182018qpCP即憑猜測(cè)得即憑猜測(cè)得18分的可能性只有十萬(wàn)分之十八。分的可能性只有十萬(wàn)分之十八。（2）依題意應(yīng)首）依題意應(yīng)首先求該學(xué)生得先求該學(xué)生得18分，分，19分、分、20分分三種分?jǐn)?shù)的概率之和是多少三種分?jǐn)?shù)的概率之和是多少，然后從這個(gè)概率的大，然后從這個(gè)概率的大小小判斷他是否是憑猜測(cè)得到這個(gè)分?jǐn)?shù)

20、判斷他是否是憑猜測(cè)得到這個(gè)分?jǐn)?shù)。 同樣同樣P（19）=0.000019 P（20）=0.000000095 三者之和為三者之和為0.000201,即憑猜測(cè)得即憑猜測(cè)得18分以上分以上的概率只有萬(wàn)分之二，可以斷定，他得的概率只有萬(wàn)分之二，可以斷定，他得18分以上分以上不是憑猜測(cè)得到的。不是憑猜測(cè)得到的。第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布v正態(tài)分布正態(tài)分布（normal distribution）也稱為也稱為常常態(tài)分布態(tài)分布，是是連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的一種的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占有最重是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占有最重要地位的一種理論分布。要地位的一種理論分

21、布。 v正態(tài)分布由正態(tài)分布由棣莫弗于棣莫弗于1733年發(fā)現(xiàn)的。拉年發(fā)現(xiàn)的。拉普拉斯、高斯對(duì)正態(tài)分布的研究也做出了貢普拉斯、高斯對(duì)正態(tài)分布的研究也做出了貢獻(xiàn)，故有時(shí)稱獻(xiàn)，故有時(shí)稱為為。 第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布（一）正態(tài)分布的概念（一）正態(tài)分布的概念 正態(tài)分布是指在一個(gè)正態(tài)分布是指在一個(gè)概率分布概率分布中，中，中間頻數(shù)多，中間頻數(shù)多，兩端頻數(shù)相對(duì)稱地減少兩端頻數(shù)相對(duì)稱地減少，形成一種形成一種“鐘鐘”形對(duì)稱的形對(duì)稱的理論概率分布理論概率分布。 圖圖6-1 正態(tài)分布正態(tài)分布一、正態(tài)分布的模型一、正態(tài)分布的模型在二項(xiàng)分布中，當(dāng)p=q,當(dāng)均數(shù)np=5,n=10時(shí)，二項(xiàng)分布可看作正態(tài)分布的近似形。圖

22、圖6-2 平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差相同的二項(xiàng)分布直條圖和正態(tài)分布圖平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差相同的二項(xiàng)分布直條圖和正態(tài)分布圖（二）正態(tài)分布曲線（二）正態(tài)分布曲線圖圖6-1為正態(tài)分布曲線，其方程為為正態(tài)分布曲線，其方程為22221XeY 其中，其中，Y為正態(tài)分布曲線的高度為正態(tài)分布曲線的高度，表示隨機(jī)變量的，表示隨機(jī)變量的概率的大小或觀測(cè)值出現(xiàn)的相對(duì)次數(shù)概率的大小或觀測(cè)值出現(xiàn)的相對(duì)次數(shù)，X為觀測(cè)值為觀測(cè)值，即即隨機(jī)變量的可能取值隨機(jī)變量的可能取值；、分別為分別為X X的的平均數(shù)平均數(shù)和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差，e=2.71828,e=2.71828,=3.1416=3.1416。（6.9） 從式從式6.9可看出，可看出，Y的值

23、與的值與離差離差|X-|的絕對(duì)值的絕對(duì)值有關(guān)，它是有關(guān)，它是以以X=這一點(diǎn)的縱線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。它的位置這一點(diǎn)的縱線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。它的位置和形狀由和形狀由平均數(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差決定決定。在同一直角坐標(biāo)系。在同一直角坐標(biāo)系中，中，平均數(shù)的大小平均數(shù)的大小決定決定圖形的位置左移或右移圖形的位置左移或右移，當(dāng)，當(dāng) 較小較小時(shí)，圖形向左移；當(dāng)時(shí)，圖形向左移；當(dāng) 較大時(shí)，圖形向右移較大時(shí)，圖形向右移。見(jiàn)圖。見(jiàn)圖6-36-3（a)a)=0=1=1=5=1=1圖圖6-3（a）標(biāo)準(zhǔn)差的大小標(biāo)準(zhǔn)差的大小決定決定圖形的陡峭平緩程度圖形的陡峭平緩程度，即決定，即決定縱線高度的最縱線高度的最大值大

24、值。當(dāng)。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較大標(biāo)準(zhǔn)差較大時(shí)，概率分布的時(shí)，概率分布的離中趨勢(shì)較大離中趨勢(shì)較大，觀測(cè)值分，觀測(cè)值分散在散在較大范圍內(nèi)較大范圍內(nèi)，縱線高度的，縱線高度的最大值較小最大值較小，正態(tài)分布曲線，正態(tài)分布曲線形狀形狀較平緩較平緩；當(dāng)；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較小標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，概率分布的時(shí)，概率分布的離中趨勢(shì)較小離中趨勢(shì)較小，觀測(cè)值，觀測(cè)值分散在分散在較小范圍內(nèi)較小范圍內(nèi)，縱線高度的，縱線高度的最大值較大最大值較大，正態(tài)分布曲線，正態(tài)分布曲線形形狀較陡峭狀較陡峭。如圖。如圖6-3（b)圖圖6-3（b)=0.5=1=1.6 在無(wú)數(shù)條正態(tài)分布曲線中在無(wú)數(shù)條正態(tài)分布曲線中有一條曲線有一條曲線=0，=1=1，這條曲線稱為，這

25、條曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，見(jiàn)圖見(jiàn)圖6-36-3（a a）中左側(cè)的一條曲線。其方程）中左側(cè)的一條曲線。其方程簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為22121ZeY（6.10）v以為橫坐標(biāo)，以為縱以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，可繪制標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分坐標(biāo)，可繪制標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。布曲線。v標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的縱線縱線高度為概率密度高度為概率密度，曲線曲線下的面積為概率下的面積為概率。二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn) 1、曲線、曲線最高點(diǎn)最高點(diǎn)為為Z=0，Y=0.3989，曲，曲線下的線下的總面積即概率總和為總面積即概率總和為1，對(duì)稱軸左右，對(duì)稱軸左右各各0.5。 2、曲線是以過(guò)、曲線是以過(guò)Z

26、=0的縱線的縱線為為對(duì)稱軸對(duì)稱軸呈呈鐘鐘形的形的軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形。 3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)、中數(shù)、眾平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)數(shù)三點(diǎn)重合在三點(diǎn)重合在Z=0這一點(diǎn)上。這一點(diǎn)上。 4、曲線與對(duì)稱軸交點(diǎn)處曲線與對(duì)稱軸交點(diǎn)處Y值最大值最大，即此處，即此處觀觀測(cè)值的相對(duì)次數(shù)最大，概率最大測(cè)值的相對(duì)次數(shù)最大，概率最大；曲線向兩側(cè)；曲線向兩側(cè)先先快后慢快后慢地下降，在地下降，在Z=1處有處有兩個(gè)拐點(diǎn)兩個(gè)拐點(diǎn)；橫軸是；橫軸是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的水平漸近線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的水平漸近線，曲線向兩側(cè)，曲線向兩側(cè)逐漸接逐漸接近近橫軸，橫軸，但永不相交但永不相交。 5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的為，為，

27、為。從為。從3至至3之間幾乎分布著全部之間幾乎分布著全部數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。 6、曲線的、曲線的為正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處。為正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處。三、正態(tài)分布表三、正態(tài)分布表1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表v利用積分公式可求出正態(tài)曲線下任何區(qū)利用積分公式可求出正態(tài)曲線下任何區(qū)間的面積，但需要計(jì)算，非常麻煩。間的面積，但需要計(jì)算，非常麻煩。v統(tǒng)計(jì)學(xué)家已編制好了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，統(tǒng)計(jì)學(xué)家已編制好了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，使其使用非常方便。使其使用非常方便。 正態(tài)分布表的特點(diǎn)： v表中僅列有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，表中僅列有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，因此，查表前應(yīng)先將原始變量轉(zhuǎn)因此，查表前應(yīng)先將原始變量轉(zhuǎn)換為。換為。v表中列出的數(shù)據(jù)，是從到右邊某表

28、中列出的數(shù)據(jù)，是從到右邊某一值之間的面積，查表時(shí)應(yīng)注意合理一值之間的面積，查表時(shí)應(yīng)注意合理使用。使用。 SXXZ三、正態(tài)分布表三、正態(tài)分布表v（一）正態(tài)分布表的結(jié)構(gòu)（一）正態(tài)分布表的結(jié)構(gòu)（P240）v 它是通過(guò)它是通過(guò)公式（公式（6.10）計(jì)算得到的。計(jì)算得到的。v 表中第一列給出了從表中第一列給出了從0到到3.99的的Z值，第二值，第二列給出了與列給出了與Z對(duì)應(yīng)的過(guò)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的過(guò)點(diǎn)Z的縱線的高度的縱線的高度Y值，第三列給出了曲線下面積值，第三列給出了曲線下面積P值是過(guò)值是過(guò)Z=0的縱線與過(guò)表中某的縱線與過(guò)表中某Z點(diǎn)人縱線所夾圖形的面點(diǎn)人縱線所夾圖形的面積比率，即相應(yīng)區(qū)間的隨機(jī)變量的概率。積比率，

29、即相應(yīng)區(qū)間的隨機(jī)變量的概率。（二）正態(tài)分布表的使用（二）正態(tài)分布表的使用v已知已知Z值值查出對(duì)應(yīng)的查出對(duì)應(yīng)的P值值和和Y值值；已知；已知P值值查出查出對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Z值值和和Y值值。1、已知、已知Z值值，求，求P值值。求求0至某一值之間的概率：直接查表至某一值之間的概率：直接查表求兩個(gè)值之間的概率求兩個(gè)值之間的概率v兩值符號(hào)相同：兩值符號(hào)相同：PZ1Z2PZ2PZ1v兩值符號(hào)相反：兩值符號(hào)相反：PZ1Z2PZ2PZ1求某一求某一Z值以上的概率值以上的概率vZ0時(shí)，時(shí)，PZ0.5PZvZ0時(shí)，時(shí)，PZ0.5PZ求某一求某一Z值以下的概率值以下的概率vZ0時(shí)，時(shí)，PZ0.5PZvZ0時(shí)，時(shí)，PZ0.

30、5PZ例例5 在正態(tài)分布表中：在正態(tài)分布表中：（1）求）求Z=-1與與Z=1之之間的間的面積比率面積比率。解：查表，當(dāng)解：查表，當(dāng)Z=1時(shí)，時(shí)，P1=0.34134,由它的由它的對(duì)稱對(duì)稱性性，當(dāng)，當(dāng)Z=-1時(shí)，時(shí)，P2=0.34134，所以所求的面積，所以所求的面積比率為：比率為：P1+P2=0.68268。（2）求）求 Z=-2.58與與Z=2.58之間的之間的面積比率面積比率。解：查表，當(dāng)解：查表，當(dāng)Z=2.58時(shí)，時(shí)，P1=0.49506,由它的由它的對(duì)稱性，當(dāng)對(duì)稱性，當(dāng)Z=-2.58時(shí)，時(shí)，P2=0. 49506，所以所，所以所求的面積比率為：求的面積比率為：P1+P2=0.99012

31、例例6 利用正態(tài)分布表求：利用正態(tài)分布表求：（1）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下Z=1.34處處左左側(cè)的面積。側(cè)的面積。 (2) 正態(tài)曲線下正態(tài)曲線下Z=2.16處處右右側(cè)的面積。側(cè)的面積。（3）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下Z=-1.64處處左左側(cè)的面積。側(cè)的面積。（4）正態(tài)曲線下）正態(tài)曲線下Z=-1.5處處右右側(cè)的面積。側(cè)的面積。解：（解：（1）查表得，）查表得，Z=1.34，P=0.40988, 由于由于正態(tài)曲線對(duì)稱軸正態(tài)曲線對(duì)稱軸左左側(cè)的面積為側(cè)的面積為0.5, 所以所求面所以所求面積為積為:0.5+0.40988=0.90988.(2) z=2.16,p=0.48461,由于對(duì)稱軸由于對(duì)稱軸右右側(cè)的

32、面?zhèn)鹊拿娣e為積為0.5,故所求面積為故所求面積為: 0.5-0.48461=0.01539. (3)查表得查表得,Z=1.64時(shí)時(shí),P=0.44950,所以所以Z=-1.64時(shí)時(shí),P=0.44950,即它與即它與Z=0所夾面積為所夾面積為P=0.44950,故所求面積為故所求面積為:0.5-P=0.0505.(4) 當(dāng)當(dāng)Z=1.5時(shí)時(shí),P=0.43319,所以當(dāng)所以當(dāng)Z=-1.5時(shí)時(shí),P=0.43319,故所求面積為故所求面積為: 0.5+P=0.93319.v求求Z0以上或以下某一面積對(duì)應(yīng)的以上或以下某一面積對(duì)應(yīng)的Z值：值：直接查表直接查表v求與正態(tài)曲線上端或下端某一面積求與正態(tài)曲線上端或下

33、端某一面積P相相對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Z值：先用值：先用0.5PZ，再查表，再查表v求與正態(tài)曲線下中央部位某一面積相對(duì)求與正態(tài)曲線下中央部位某一面積相對(duì)應(yīng)的應(yīng)的Z值：先計(jì)算值：先計(jì)算P2，再查表，再查表2、已知、已知面積（概率） P值，求值，求Z值。值。3、已知概率或Z值，求概率密度Yv直接查正態(tài)分布表就能得到相應(yīng)的概直接查正態(tài)分布表就能得到相應(yīng)的概率密度值。率密度值。v如果由概率求值，要注意區(qū)分已如果由概率求值，要注意區(qū)分已知概率是位于正態(tài)曲線的中間部分，知概率是位于正態(tài)曲線的中間部分，還是兩尾端部分，才能通過(guò)查表求得還是兩尾端部分，才能通過(guò)查表求得正確的概率密度。正確的概率密度。v例例7 利用正態(tài)分

34、布表，求：利用正態(tài)分布表，求：v（1）求）求中央中央50%的面積操作的的面積操作的下限下限Z值值和和上限上限Z值值。v（2）求正態(tài)曲線）求正態(tài)曲線下右尾下右尾20%的面積的的面積的下限下限Z值值。v（3）求正態(tài)曲線）求正態(tài)曲線下左側(cè)下左側(cè)30%的面積的的面積的上限上限Z值。值。解：（解：（1）由于正態(tài)曲線的）由于正態(tài)曲線的對(duì)稱性對(duì)稱性，中央中央50%的面積的面積為為對(duì)稱軸左右兩側(cè)各對(duì)稱軸左右兩側(cè)各25%的面的面積的和積的和。所以。所以P=0.25，查附表，表中，查附表，表中沒(méi)有沒(méi)有恰等于恰等于0.25的的P值值，可以，可以用誤差最小的近用誤差最小的近似值似值0.24857作為作為P的近似值的近

35、似值，對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的Z=0.67，故，故Z的下限為的下限為-0.67，Z的上限為的上限為0.67。 （2）所要求的）所要求的Z值是表中值是表中P=0.5-0.2=0.3處對(duì)處對(duì)應(yīng)的應(yīng)的Z值，取值，取最近似的值最近似的值P=0.29955，其對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)的的Z值為值為0.84，故所求的，故所求的下限下限Z值為值為0.84。（3）對(duì)稱軸與過(guò)）對(duì)稱軸與過(guò)Z值點(diǎn)縱線所夾面積為值點(diǎn)縱線所夾面積為P=0.5-0.3=0.2，表中，表中最近的最近的P值為值為0.19847，其對(duì)應(yīng)的其對(duì)應(yīng)的Z=0.52，它的對(duì)稱點(diǎn)為，它的對(duì)稱點(diǎn)為Z=-0.52，故，故正態(tài)曲線正態(tài)曲線下左側(cè)下左側(cè)30%的面積的的面積的上限上限

36、Z值值為為0.52正態(tài)分布正態(tài)分布在測(cè)驗(yàn)記分方面的應(yīng)用在測(cè)驗(yàn)記分方面的應(yīng)用1以標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示考試成績(jī) v比較學(xué)生的考試成績(jī)時(shí)，使用原始分比較學(xué)生的考試成績(jī)時(shí)，使用原始分?jǐn)?shù)有其不合理之處：數(shù)有其不合理之處：v原始分制度沒(méi)有提示考生成績(jī)?cè)挤种贫葲](méi)有提示考生成績(jī)?cè)诳忌鷪F(tuán)體成績(jī)中的位置。在考生團(tuán)體成績(jī)中的位置。v由于各科命題難度不同，導(dǎo)致由于各科命題難度不同，導(dǎo)致各科原始分之間不能直接比較，造各科原始分之間不能直接比較，造成分?jǐn)?shù)解釋上的困難。成分?jǐn)?shù)解釋上的困難。v各科原始分相加不合理。各科原始分相加不合理。 采用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，有如下特點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)分的大小，既表明考生水平的高低，也表明標(biāo)準(zhǔn)分的大小，既表明考生水

37、平的高低，也表明該生在考生團(tuán)體中的位置的高低。該生在考生團(tuán)體中的位置的高低。各科標(biāo)準(zhǔn)分都表示考生各科在同一團(tuán)體中的位置，各科標(biāo)準(zhǔn)分都表示考生各科在同一團(tuán)體中的位置，可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分大小直接比較考生的各科成績(jī)水平?？筛鶕?jù)標(biāo)準(zhǔn)分大小直接比較考生的各科成績(jī)水平。各科標(biāo)準(zhǔn)分的參照點(diǎn)（平均分為各科標(biāo)準(zhǔn)分的參照點(diǎn)（平均分為500分）和單位分）和單位（1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為100分）都一樣，具有可加性分）都一樣，具有可加性,克服了克服了原始分的缺陷。原始分的缺陷。v目前我國(guó)一些省在高考中采用標(biāo)準(zhǔn)目前我國(guó)一些省在高考中采用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示考生的成績(jī)，為了使分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)表示考生的成績(jī)，為了使分?jǐn)?shù)更適合一般習(xí)慣，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)進(jìn)

38、一更適合一般習(xí)慣，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)進(jìn)一步做轉(zhuǎn)換：步做轉(zhuǎn)換：ZT100500 2確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)v如要將某種能力的分?jǐn)?shù)分成等距的如要將某種能力的分?jǐn)?shù)分成等距的幾個(gè)等級(jí)，在確定各等級(jí)人數(shù)時(shí)，幾個(gè)等級(jí)，在確定各等級(jí)人數(shù)時(shí)，可將正態(tài)分布基線上可將正態(tài)分布基線上Z3至至Z3之間之間6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的幾份，然后查表求出各段幾份，然后查表求出各段Z值之間的值之間的面積，再乘以總?cè)藬?shù)，即為各等級(jí)面積，再乘以總?cè)藬?shù)，即為各等級(jí)人數(shù)。人數(shù)。3品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化在（心理與）教育研究中在（心理與）教育研究中,常常遇到等級(jí)常常遇到等級(jí)評(píng)定的結(jié)果。但是不同評(píng)定者的評(píng)定評(píng)定的結(jié)果。但是不同評(píng)定者的評(píng)

39、定結(jié)果往往不一致，無(wú)法綜合他們的評(píng)結(jié)果往往不一致，無(wú)法綜合他們的評(píng)定結(jié)果，而且等級(jí)分?jǐn)?shù)不是等距數(shù)據(jù)，定結(jié)果，而且等級(jí)分?jǐn)?shù)不是等距數(shù)據(jù)，不同事物的評(píng)定結(jié)果不能直接比較。不同事物的評(píng)定結(jié)果不能直接比較。將品質(zhì)評(píng)定的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)量結(jié)果，將品質(zhì)評(píng)定的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)量結(jié)果，就可解決這些問(wèn)題。就可解決這些問(wèn)題。具體方法v根據(jù)各等級(jí)被評(píng)者的數(shù)目求各等級(jí)的人數(shù)比根據(jù)各等級(jí)被評(píng)者的數(shù)目求各等級(jí)的人數(shù)比率；率；v求各等級(jí)比率值的中間值；求各等級(jí)比率值的中間值；v求各等級(jí)中點(diǎn)以上（或以下）的累積比率；求各等級(jí)中點(diǎn)以上（或以下）的累積比率；v用累積比率查正態(tài)分布表；用累積比率查正態(tài)分布表；v求被評(píng)者所得評(píng)定等級(jí)的數(shù)量化

40、值的平均值。求被評(píng)者所得評(píng)定等級(jí)的數(shù)量化值的平均值。四、正態(tài)曲線下面積的應(yīng)用四、正態(tài)曲線下面積的應(yīng)用v（一）推求考試成績(jī)中特定區(qū)間的人數(shù)（一）推求考試成績(jī)中特定區(qū)間的人數(shù)v例例8 已知某年級(jí)已知某年級(jí)200名學(xué)生考試成績(jī)呈正態(tài)分名學(xué)生考試成績(jī)呈正態(tài)分布，平均分為布，平均分為85分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，學(xué)生甲的分，學(xué)生甲的成績(jī)?yōu)槌煽?jī)?yōu)?0分，問(wèn)全年級(jí)成績(jī)比學(xué)生甲低的學(xué)生人分，問(wèn)全年級(jí)成績(jī)比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是多少？數(shù)是多少？v解：屬于已知解：屬于已知Z值求值求P值問(wèn)題。值問(wèn)題。一般分一般分3步完成：步完成：a)計(jì)算甲生成績(jī)的計(jì)算甲生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)；b)根據(jù)根據(jù)Z值查表求得值查表求

41、得對(duì)稱軸與過(guò)對(duì)稱軸與過(guò)Z值縱線所夾值縱線所夾的面積的面積；再計(jì)算出；再計(jì)算出Z值左側(cè)的曲線面積值左側(cè)的曲線面積；c)將將面積比率乘以總?cè)藬?shù)面積比率乘以總?cè)藬?shù)，即可得，即可得比甲生分比甲生分?jǐn)?shù)低數(shù)低的學(xué)生的實(shí)際人數(shù)。的學(xué)生的實(shí)際人數(shù)。解：甲的解：甲的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)： =（70-85）/10=-1.5XXZ查表，查表，Z=1.5時(shí)，時(shí)，P=0.43319,故故Z=-1.5左側(cè)左側(cè)的面積為：的面積為：0.5-0.43319=0.06681。200*0.06681=13（人），所以全年級(jí)成績(jī)（人），所以全年級(jí)成績(jī)比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是13人。人。 例例9 某次升學(xué)考試，學(xué)生成績(jī)

42、符合正態(tài)分布，某次升學(xué)考試，學(xué)生成績(jī)符合正態(tài)分布，1000名考生英語(yǔ)平均名考生英語(yǔ)平均60分，標(biāo)準(zhǔn)差分，標(biāo)準(zhǔn)差15分，試求：（分，試求：（1）70-80分之間有多少人？（分之間有多少人？（2）90分以上有多少人？分以上有多少人？（1）Z1= =（70-60）/15=0.67 Z2= =(80-60)/15=1.33XXXX解：已知學(xué)生的分?jǐn)?shù)，求某分?jǐn)?shù)區(qū)間的實(shí)際人數(shù)。解：已知學(xué)生的分?jǐn)?shù)，求某分?jǐn)?shù)區(qū)間的實(shí)際人數(shù)。屬于屬于Z-P問(wèn)題問(wèn)題。 根據(jù)根據(jù)Z1 ， Z1查表，得查表，得P1=0.24857，P2=0.40824，P = P2-P1=0.15967，即分?jǐn)?shù)在，即分?jǐn)?shù)在70-80之間的人數(shù)占總?cè)?/p>

43、數(shù)的之間的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15.967%，即，即1000*0.15967=160人。人。(2)Z3= =(90-60)/15=2查表得查表得P=0.47725，90分以上人數(shù)比率為：分以上人數(shù)比率為：0.5-0.47725=0.02275。1000*0.02275=23(人）。人）。XX（二）推求考試成績(jī)中某一特定人數(shù)比率的分?jǐn)?shù)界限（二）推求考試成績(jī)中某一特定人數(shù)比率的分?jǐn)?shù)界限 例例10 某次招生考試，學(xué)生成績(jī)符號(hào)正態(tài)分布，學(xué)生成某次招生考試，學(xué)生成績(jī)符號(hào)正態(tài)分布，學(xué)生成績(jī)的平均分為績(jī)的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，要擇優(yōu)錄取分，要擇優(yōu)錄取25%學(xué)學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)，問(wèn)最低分?jǐn)?shù)

44、線是多少分？生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)，問(wèn)最低分?jǐn)?shù)線是多少分？解：它屬于解：它屬于P-Z問(wèn)題。根據(jù)問(wèn)題。根據(jù)錄取率錄取率可可算出曲線下對(duì)應(yīng)算出曲線下對(duì)應(yīng)的面積的面積，查正態(tài)分布表查正態(tài)分布表，可得，可得錄取分?jǐn)?shù)線對(duì)應(yīng)的錄取分?jǐn)?shù)線對(duì)應(yīng)的Z值值，再根據(jù)再根據(jù)平均分，標(biāo)準(zhǔn)差平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，算出錄取分?jǐn)?shù)線的，算出錄取分?jǐn)?shù)線的原始分?jǐn)?shù)原始分?jǐn)?shù)X值值。由于由于錄取率為錄取率為25%，則正態(tài)曲線下對(duì)稱軸與過(guò)最低錄取，則正態(tài)曲線下對(duì)稱軸與過(guò)最低錄取線分?jǐn)?shù)的縱線所夾面積為線分?jǐn)?shù)的縱線所夾面積為0.5-0.25=0.25，查表，最近的，查表，最近的P=0.24857，對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的Z=0.67。因?yàn)?。因?yàn)閆XX，XXZ

45、將它變?yōu)榈玫肵=80+0.67*10=86.7，因此這次考試的最低錄取分，因此這次考試的最低錄取分?jǐn)?shù)線為數(shù)線為86.7分。分。例例11 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)生成績(jī)呈正態(tài)分布，參賽學(xué)生某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)生成績(jī)呈正態(tài)分布，參賽學(xué)生200人，平均分人，平均分66.78分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.19分，（分，（1）若表）若表?yè)P(yáng)前揚(yáng)前20名競(jìng)賽優(yōu)勝者，其最低分應(yīng)是多少？（名競(jìng)賽優(yōu)勝者，其最低分應(yīng)是多少？（2）某生）某生得得80分，他在參賽中排第幾名？分，他在參賽中排第幾名？解：（解：（1）已知優(yōu)勝者人數(shù)為）已知優(yōu)勝者人數(shù)為20人，總?cè)藬?shù)為人，總?cè)藬?shù)為200人，人，可求出優(yōu)勝者人數(shù)比率：可求出優(yōu)勝者人數(shù)比率：

46、20/200=0.1，下面屬于，下面屬于P-Z問(wèn)題。問(wèn)題。正態(tài)曲線下正態(tài)曲線下右側(cè)面積比率為右側(cè)面積比率為0.10,表中表中P值應(yīng)為值應(yīng)為0.5-0.1=0.4,查表，最近的查表，最近的P值為值為P = 0.39973，對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的Z值值為為1.28，所以，所以=78.54，所以優(yōu)勝者最低分?jǐn)?shù)應(yīng)是，所以優(yōu)勝者最低分?jǐn)?shù)應(yīng)是78.54 分分。19.9*28.178.66ZXX（2）求某生在參賽中排列的名次，就是求成績(jī)等于）求某生在參賽中排列的名次，就是求成績(jī)等于和高于他的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率，進(jìn)而求實(shí)際人數(shù)。和高于他的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率，進(jìn)而求實(shí)際人數(shù)。屬于屬于Z-P問(wèn)題。問(wèn)題。先求該生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)

47、分?jǐn)?shù)先求該生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)44.119.978.6680XXZ查正態(tài)分布表得，查正態(tài)分布表得，P1=0.42507，成績(jī)等于和高于該生，成績(jī)等于和高于該生的人數(shù)比率即曲線下的人數(shù)比率即曲線下右側(cè)面積右側(cè)面積，P2=0.5-P1=0.07493。即即200*0.07493=15（人）所以該生在參賽者中應(yīng)排在（人）所以該生在參賽者中應(yīng)排在第第15名。名。（三）確定按能力或成績(jī)等級(jí)分組的各組人數(shù)三）確定按能力或成績(jī)等級(jí)分組的各組人數(shù)v 假設(shè)學(xué)生假設(shè)學(xué)生成績(jī)成績(jī)呈呈正態(tài)分布正態(tài)分布，學(xué)生，學(xué)生能力能力也也呈呈正態(tài)分布正態(tài)分布，按，按成績(jī)等級(jí)或能力進(jìn)行分組成績(jī)等級(jí)或能力進(jìn)行分組，各組的人數(shù)各組的人數(shù)不應(yīng)

48、是均等不應(yīng)是均等的，而應(yīng)是的，而應(yīng)是中等能力、中等能力、中等等級(jí)中等等級(jí)的人數(shù)的人數(shù)多多,高能力與低能力組高能力與低能力組，高成高成績(jī)與低成績(jī)等級(jí)組績(jī)與低成績(jī)等級(jí)組的人數(shù)的人數(shù)少少?？梢岳谩？梢岳谜龖B(tài)正態(tài)分布理論分布理論解決此類問(wèn)題。解決此類問(wèn)題。例例12 某年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)后，擬按數(shù)學(xué)能力將學(xué)某年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)后，擬按數(shù)學(xué)能力將學(xué)生分成五個(gè)組。該次測(cè)驗(yàn)參加人數(shù)為生分成五個(gè)組。該次測(cè)驗(yàn)參加人數(shù)為300人，平均分為人，平均分為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為13.2分，問(wèn)各組人數(shù)及原始分?jǐn)?shù)區(qū)間分，問(wèn)各組人數(shù)及原始分?jǐn)?shù)區(qū)間都是怎樣的？都是怎樣的？ 解：在解：在正態(tài)分布正態(tài)分布下，下，99.

49、73%的數(shù)據(jù)在的數(shù)據(jù)在3之間，之間，全距為全距為66。若分成。若分成五五個(gè)等級(jí)組，按各組距相等，應(yīng)為個(gè)等級(jí)組，按各組距相等，應(yīng)為6/5=1.2 6/5=1.2 ，兩端組可延至正負(fù)無(wú)窮，因此各組測(cè)，兩端組可延至正負(fù)無(wú)窮，因此各組測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)區(qū)間界限依次為：驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)區(qū)間界限依次為：-1.8-1.8以下以下（第一（第一組），組），-1.8-1.80.60.6（第二組），（第二組），-0.6-0.6-0.6-0.6（第三組），（第三組），0.6-1.80.6-1.8（第四組），（第四組），1.81.8以上（第五組）。以上（第五組）。由標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)查表得各等級(jí)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線下面積比由標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)查表得各等級(jí)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線下面積比率分別為：率分別為：0.03593，0.23832，0.4515，0.23832，0.03593。 根據(jù)正態(tài)分布的軸對(duì)稱性，第一組與第五組人數(shù)根據(jù)正態(tài)分布的軸對(duì)稱性，第一組與第五組人數(shù)相等，應(yīng)為：相等，應(yīng)為：300*0.03593=11（人）。第二組與第（人）。第二組與第四組人數(shù)相等：應(yīng)為：四組人數(shù)相等：應(yīng)為：300*0,23832=71（人）。第（人）。第三組人數(shù)為：三