初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答第15講統(tǒng)計的思想方法

1、1第十五講統(tǒng)計的思想方法20世紀90年代，美國麻省理工學院教授尼葛洛龐帝寫過一本暢銷全球的數(shù)字化生存一書.事實上，我們的生活、工作離不開數(shù)據(jù)，要做到心中有數(shù)、用數(shù)據(jù)說話是信息社會對 人的基本要求.統(tǒng)計學是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的科學.隨機抽樣與統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計中最重要的思想方法，也是認識客觀世界的事物和現(xiàn)象的方法之一即用樣本的某種特征去估計總體的相應特征，用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律等特征估計總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律.【例題求解】【例1】 現(xiàn)有A,B兩個班級，每個班級各有45名學生參加一次測驗每名參加者可獲 得0,1,2,3,4,5,6,7,8,

2、9分這幾種不同的分值中的一種測試結(jié)果A班的成績?nèi)缦卤硭?，B班的成績?nèi)鐖D所示.(1)由觀察所得， _班的標準差較大；(2)若兩班合計共有60人及格，問參加者最少獲思路點撥對于(2)，數(shù)一數(shù)兩班在某一分數(shù)以上的人數(shù)即可，憑直覺與估計得出答案.注：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)，但是它們描述集中趨勢的側(cè)重點是不同的：(1)平均數(shù)易受數(shù)據(jù)中少數(shù)異常值的影響，有時難以真正反映“平均”；(2)若一組數(shù)據(jù)有數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)，則常用眾數(shù)來刻畫這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.【例2】已知數(shù)據(jù)X1、X2、X3的平均數(shù)為 a ,y1、y?、y的平均數(shù)為b，則數(shù)據(jù)2x13y1、2X23y2、2X33y3的

3、平均數(shù)為()2A.2a+3b B.- a b C.6a+9b D.2a+b3思路點撥運用平均數(shù)計算公式并結(jié)合已知條件導出新數(shù)據(jù)的平均數(shù).【例3】某班同學參加環(huán)保知識競賽將學生的成績(得分取整數(shù))進行整理后分成五組，繪成頻率分布直方圖(如圖)圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是1:3：6：4：2，最右邊一組的頻數(shù)是6結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問題：(1)該班共有多少名同學參賽？(2)成績落在哪組數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)最多，是多少？_分才可以及格.分數(shù)0123456789人數(shù)1357686432A班2(3)求成績在60分以上(不含60分)的學生占全班參賽人數(shù)的百分率.思路點撥 讀圖、讀懂圖，從圖中

4、獲取頻率、組距等相關(guān)信息.【例4】 為估計，一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.6 3.7 2.2 1.5 2.81.71.22.13.21.0(1)通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個營業(yè)日計算);(2) 2001年又劉該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個樣本飯店每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率(2001年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與1999年相同);(

5、3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套中小學生桌椅需木材0.07米3,求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學生桌椅計算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5克，所用木材的密度為0.5X103千克/米3;(4)假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做， 簡要地用文字表述出來.思路點撥用樣本的平均水平去估計總體的平均水平.注：(1)運用數(shù)學知識解決實際問題的過程是：從實際問題中獲取必要的信息一一分析處理有關(guān)信息一一建立數(shù)學模型一一解決這個數(shù)學問題.(2)通過圖表獲取數(shù)據(jù)信息，收集、整理分析數(shù)據(jù)，再運用統(tǒng)計量的意義去分析，這是 用統(tǒng)計的思想

6、方法解決問題的基本方式.思路點撥【例5】 編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中, 把這個彈珠從籃子A移到籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加3寸,B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加1，問原來在籃子A中有多少個彈珠?思路點撥用字母分別表示籃子A、B彈珠數(shù)及相應的平均數(shù)，運用方程、方程組等知識求 解.學歷訓練1.某校初二年級全體320名學生在電腦培訓前后各參加了一次水平相同的考試，考分都以 同一標準劃分成“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個等級.為了了解電腦培訓的效果，用抽簽 方式得到其中32名學生的兩次考試考分等級，所繪制的統(tǒng)計圖如圖所示

7、.試結(jié)合圖示信息 回答下列問題：(1)這32名學生培訓前考分的中位數(shù)所在的等級是 _ ，培訓后考分的中位數(shù)所在的等級是_ .(2)這32名學生經(jīng)過培訓，考分等級“不合格”的百分比由下降到_ .(3)估計該校整個初二年級中，培訓后考分等級為“合格”與“優(yōu)秀”的學生共有_ 名.(4)你認為上述估計合理嗎？理由是什么？答：_ ，理由_ .2.某商店3、4月份出售同一品牌各種規(guī)格的空調(diào)銷售臺數(shù)如下表:根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答:(1)商店平均每月銷售空調(diào) _(臺)；(2)商店出售的各種規(guī)格的空調(diào)中，眾數(shù)是 _(匹);在研究6月份進貨時，商店經(jīng)理決定(匹)的空調(diào)要多進;3.為了了解某中學初三年級250名學生升學考

8、試的數(shù)學成績， 從中抽取了50名學生的數(shù)學成績進行分析，求得 X樣本=94.5 .下面是50名學生數(shù)學成績的頻率分布表：分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率60.570.5正3a70.580.5正正60.1280.590.5正正90.18(匹)的空調(diào)要少進.490.5100.5正正正正170.34100.5110.5正正b0.2110.5120.5正50.1合計501根據(jù)題中給出的條件回答下列問題：（1）_在這次抽樣分析的過程中，樣本是 _ ;（2）_頻率分布表中的數(shù)據(jù) a=，b=；（3）_估計該校初三年級這次升學考試的數(shù)學平均成績約為 _ 分；（4）_耷這次升學考試中，該校初三年級數(shù)學成績在90.5100.

9、5范圍內(nèi)的人數(shù)約為 _ 人.4小明測得一周的體溫并登記在下表（單位：C）星期日-一-二二三四五六周平均體溫體溫36.636.737.037.336.937.136.9其中星期四的體溫被墨跡污染，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得此日的體溫是（）A.36.?CB.36.8CC.36.9CD.37.OC5甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參加學生每分鐘輸入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后 填入下表：班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均字數(shù)甲55149191135乙55151110135某同學根據(jù)上表分析得出如下結(jié)論：甲、乙兩班學生成績的平均水平相同；乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字數(shù)150個為優(yōu)秀）；甲班的成績的波

10、動情況比 乙班的成績的波動大，上述結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.6今年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制.下圖是某同學記載的5月1日至30日每天全國的SARS新增確診病例數(shù)據(jù)圖，將圖中記載的數(shù)據(jù)每5天作為一組，從左至右分為第一組至第六組，下列說法：第一組的平均數(shù)最大，第六組的平均數(shù)最小；第二組的中位數(shù)為138;第四組的眾數(shù)為28;其中正確的有（）A.0個B.1個C.2個D.3個57.某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù) 基本不變.有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：6ABCDE原價（元）1010152025現(xiàn)價（元）（元

11、）551G2530平均日心阡人11232（1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平問風景區(qū) 是怎樣計算的？（2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了 約9.4%.問游客是怎樣計算的？（3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？&甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示.甲：4乙（1）請?zhí)顚懴卤砥骄鶖?shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)以上次數(shù)甲71.21乙5.4（2）請從下列四個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析.1從平均數(shù)和方差相結(jié)合看；2從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）；3從平均數(shù)和命中9環(huán)以

12、上次數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）4從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力）9明湖區(qū)一中對初二年級女生仰臥起坐的測試成績進行統(tǒng)計分析，將數(shù)據(jù)整理后，畫出如 下頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第六小組的頻率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05,第五小組的頻數(shù)是36,根據(jù)所給的圖填空：（1）第五小組的頻率是 _，請補全這個頻率分布圖；參加這次測試的女生人數(shù)是 _ ;若次數(shù)在24（含24次）以上為達標（此標準為中考育標準），則該校初二年級女生的達標率為 _ .請你用統(tǒng)計知識，以中考體育標準對明湖區(qū)十二所中學初二女生仰臥起坐成績的達標率 作一個估

13、計.710.我國于2000年11月1日起進行了第五次全國人口普查的登記工作，據(jù)第五次人口普查，我國每10萬人中擁有各種受教育程度的人數(shù)如下：具有大學程度的為3611人；具有高中程度的為11146人；具有初中程度的為33961人；具有小學程度的為35701人.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下表：受教育程度每10萬人中所占百分比（a %）（a 精確到0.01）大學程度高中程度初中程度小學程度（2）以下各示意圖中正確的是（）.（將正確示意圖數(shù)字代號填在括號內(nèi)）項目ABCDEF投資（億元）526468收益（億元）0. 550. 40. 60. 40. 9l如果要求所有投資的項目的收益總額不得低于1.6億元，那

14、么，當選擇的投資項目是11.新華高科技股份有限公司董事會決定今年用供選擇（每個項目或者被全部投資，或者不被投資13億資金投資發(fā)展項目，現(xiàn)有6個項目可），各項目所需投資金額和預計年均收益如事故類型事故數(shù)量死亡人數(shù)（單位：人）死亡人數(shù)占各類事故總死亡人數(shù) 的百分比火災事故（不含森 林草原火災）54773610鐵路路外傷亡事故19621409工礦企業(yè)傷亡事故14171639道路交通事故11581517290合計1739672094812.新華社4月3日發(fā)布了一則由國家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理局統(tǒng)計的信息；2003年1月至2月全國共發(fā)生事故17萬多起，各類事故發(fā)生情況具體統(tǒng)計如下：（1）請你計算出各類事故死亡

15、人數(shù)占總死亡人數(shù)的百分比，填入上表（精確到0.01）；8時，投資的收益總額最大.(3)請根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識提出問題(不需要作解答，也不要解釋，但所提的問題應是利用表中所提供數(shù)據(jù)能求解的)13.將最小的31個自然數(shù)分成A、B兩組，10在A組中，如果把10從A組移到B組，則11A組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)增加-，B組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)也增加- 問A組中原有多少22個數(shù)？14.某次數(shù)學競賽共有15道題，下表是對于做對 n(n=0,1,215)道題的人數(shù)的一個統(tǒng)計，如果又知其中做對4道題和4道以上的學生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學生每人平均做對4道題，問這個表至少統(tǒng)計了多少人？n01

16、2312131415做對n道題的人數(shù)781021156319參考答案10【例輕事解】ft 1選A 3D鼻組頓tfc依次是3、g、18.12、6*共冇3+5+18+12 + 6 = 48名學生.直境落在抑.5數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)jft.事.人數(shù)為18人.60井比上的人數(shù)是*5,所占全班歩桂人數(shù)的百分率為囁亠的.73%.側(cè)4(1)7=2. O(iA縣2000年梢耗一猷性換子為2 X 600 X 350= 420000( ft)f12設平均毎年増任的百分率為*則2CH-0. 1 = LQ歸(負衙巴舍去” 相可生產(chǎn)桌為7260)t(4) . *設原來籃子A中有弾珠牛，則籃子対中有禪珠25-r)亍.貝設原來

17、A申彈珠號碼數(shù)的平均敕為宀出中涉球野碼數(shù) 的平均數(shù)為乩由聽犧得將、優(yōu)入.Wy(j- + S9)i-ySOJU)854. D 札 A 6.Dh(1)調(diào)整前馬的平均枷格均為藥元，平均日總收人持乎，t2)ift#i+原平均總收人1旳t千元幾理平均總收人口5干元人增怏/17109.4|1&U皿轄客的說祛數(shù)能反峽整廉實際乩(1略C2XDV平均tfc相同,ss,:.甲成績比己穗定.2T平均數(shù)相同+甲的申位數(shù)C乙的中位數(shù).乙的成績比甲好些3T平均戴相Rh侖中9環(huán)恩上的次牧甲比乙少匸乙的成績比甲好些甲的成績在平均數(shù)上下波動而乙處于上升勢頭.從第4次以后就段有比甲少的悄況發(fā)生+乙較有潛力一9,(1)0,

18、20I(2)180IS5MI(3)均為55%.10.(1)14+7T，祐1一劃=茹二!_T-r- a _ j _丄_4_ _ #+21“小I_ 330+4“ JP心于迪JT、+竝十“ +片=g 1*才尸I+工貳-*但吏岔=4E氣因而由、得330 + 62* = ZX8fi.M得A = 21+故A組中呢有22個數(shù)-由/計桓町知.僦對Qjgjfi憾的總?cè)松⑿?+ 8+10 + 21 = 4施人昇他門做對題目斂的J&和為7X0 + 8X1 + 10X2 + 21X 3=9)題打做對12-15逬題的總?cè)藬?shù)為15+6+S+l=25(人八他們做對EH tt的和為15*12十6* 13十$X 14 + 1 = 315Ifl).成廿心“工“分別4t亦做對0道.1道，“ +15適臨目的人數(shù).由題意得4些+5刃+“+持工遼=氣燈,+24 -H血 =”口 +工，-九 外十JTl十庇+ ” + 士w盤上+25 工川=1+2 +2一】$I=機丟 斗対十+卜町門4【氐+壯+ *出工1昇= 62“ -4