初等數(shù)論研究數(shù)的規(guī)律

1、20212725984王濤不定方程論不定方程王濤20212725984摘要：不定方程是數(shù)論的一個分支,它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容.所謂不定方程是指解的范圍為整婺、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組,其未知數(shù)的個數(shù)通常多于方程的個數(shù).正文：初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律,特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支.它是數(shù)論的一個最古老的分支.它以算術(shù)方法為主要研究方法,主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、同余理論、連分?jǐn)?shù)理論和某些特殊不定方程.換言之,初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論.另外還有解析數(shù)論用解析的方法研究數(shù)論.、代數(shù)數(shù)論用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論.初等數(shù)論已經(jīng)有2000年的歷史,公元前300年,歐幾里得發(fā)現(xiàn)

2、了素數(shù)是數(shù)論的基石,他自己證實了有無窮多個素數(shù).公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼創(chuàng)造了一種篩法.2000年來,數(shù)論學(xué)的一個最重要的任務(wù),就是尋找一個可以表示所有素數(shù)的統(tǒng)一公式,或者稱為素數(shù)普遍公式,為此,人類消耗了巨大的心血.彳爰來發(fā)現(xiàn)埃拉托塞尼篩法可以轉(zhuǎn)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)初就研究過假設(shè)干這類方程,所以不定方程又稱丟番圖方程,是數(shù)論的重要分支學(xué)科,也是歷史上最活潑的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一.不定方程的內(nèi)容十分豐富,與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系.1969年,莫德爾較系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果.了指標(biāo)和估計問題一一表示論的雛形.不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟

3、番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程.Diophantus,古代希臘人,被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖,流傳下來關(guān)于他的生平事跡并不多.今天我們稱整系數(shù)的不定方程為 Diophantus方程,內(nèi)容主要是探討其整數(shù)解或有理數(shù)解.他有三本著作,其中最有名的是?算術(shù)?,當(dāng)中包含了189個問題及其答案,而許多都是不定方程組變量的個數(shù)大于方程的個數(shù)或不定方程式兩個變數(shù)以上.丟番圖只考慮正有理數(shù)解,而不定方程通常有無窮多解的.研究不定方程要解決三個問題：判斷何時有解.有解時決定解的個數(shù).求出所有的解.中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元5世紀(jì)的張

4、丘建算經(jīng)?中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.百雞問題說:“雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一.百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何？.設(shè)x,y,z分別表雞翁、母、雛的個數(shù),那么此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x,y,z,這是一個三元不定方程組問題.根底知識1.不定方程問題的常見類型：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的個數(shù)(有限個還是無限2 .解不定方程問題常用的解法:(1)代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等;(2)不等式估算法： 利用不等式等方法,確定出方程中某些變量的范圍,進(jìn)而求

5、解；(3)同余法： 對等式兩邊取特殊的模(如奇偶分析),縮小變量的范圍或性質(zhì),得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；(4)構(gòu)造法： 構(gòu)造出符合要求的特解,或構(gòu)造一個求解的遞推式,證實方程有無窮多解；(5)無窮遞推法.一次不定方程二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c.其中a,b,c是整數(shù),ab中0此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a、b的最大公約數(shù)整除co假設(shè)a、b互質(zhì),即它們的最大公約數(shù)為1,(x0,y0)是 所 給 方 程 的 一 個 解 , 那 么 此 方 程 的 解 可 表 為(x=x0-bt,y=y0+at)|t為任意整數(shù).S(2)元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+asxs=

6、n0a1,as,n為整數(shù),且alasQ此方程有整數(shù)解的充分必要條件是al,as的最大公約數(shù)整除n.埃拉托塞尼篩法產(chǎn)生的素數(shù)普遍公式是一次不定方程公元前300年,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質(zhì)是素數(shù),他自己證實了有無窮多個素數(shù),公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法：一 要得到不大于某個自然數(shù)N的所有素數(shù),只要在2-N中將不大于的素數(shù)的倍數(shù)全部劃去即可后來人們二將上面的內(nèi)容等價轉(zhuǎn)換：如果N是合數(shù),那么它有一個因子d滿足1dwVN?根底數(shù)論?13頁,U杜德利著,上暹科技出版社.三再將二的內(nèi)容等價轉(zhuǎn)換：假設(shè)自然數(shù)N不能被不大于根號MN的任何素數(shù)整除,那么N是一個素數(shù)見代數(shù)學(xué)辭典上

7、海教育出版社1985年.屜部貞世朗編.259頁.四上面這句話的漢字可以等價轉(zhuǎn)換成為用英文字母表達(dá)的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=pkmk+ak.1其中p1,p2,.,pk表示順序素數(shù)2,3,5,.awQ即N不能是2m+0,3m+0,5m+0,pkm+0形.假設(shè)N-此尸=2她=/+ ,其中值： 小二0叮=1的一組特解,為此對37,107運用輾轉(zhuǎn)相除法：1口7=2切討3,37=1x33+45/431將上述過程回填,得：1-33-x4-37-4-8x4-37-?x4-37-5x(37-33)-3x33-8x37x(107-2x37)-8x37=?107-26x37=37x(-26)+107x5由此可知,9是方程6+1叮了 7 的一組特解,于是&=乃位皿=-651,匕=25=225是方程 67 吸=乃的一組特p-650+107?解,因此原方程的一切整數(shù)解為：1八225-6.例2,求不定方程7M+L,213的所有正整數(shù)解.解：用原方程中的最小系數(shù)7去除方程的各項,并型產(chǎn)=30%+亨移項得:由于“是整數(shù),故X 也一