快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“三角函數(shù)”-高中數(shù)學(xué)必修

1、快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“三角函數(shù)”-高中數(shù)學(xué)必修4一、 本單元概述數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，簡(jiǎn)單說就是研究“數(shù)”與“形”。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究的非常重要的思想和方法。必修1中，在初中已學(xué)的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)”的基礎(chǔ)是，進(jìn)一步了解了函數(shù)的概念和作用，并研究了“指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”?？梢钥吹?，這幾種函數(shù)，都是從“代數(shù)角度”進(jìn)行命名的，并將這些“代數(shù)表達(dá)”，通過平面直角坐標(biāo)系，得到了“函數(shù)圖像”。必修2中，用“數(shù)形結(jié)合”的“解析方法”，在平面直角坐標(biāo)系中，研究“直線、圓”，并得到“幾何圖形”的“代數(shù)表達(dá)”。通過已經(jīng)進(jìn)行過的“函數(shù)、解析幾何”的學(xué)習(xí)，我們

2、應(yīng)該深深體會(huì)到以下兩點(diǎn)：1、“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)。2、要緊抓住代數(shù)表達(dá)式中的“參數(shù)”，和圖形的“要素”。靈活運(yùn)用這兩點(diǎn)，就能把“代數(shù)問題”和“幾何問題”融會(huì)貫通，這才是“真正的數(shù)學(xué)”?？吹健叭呛瘮?shù)”這個(gè)名稱，可以想到，這是函數(shù)是從“幾何角度”進(jìn)行命名的。這與已經(jīng)學(xué)過的用“代數(shù)角度”命名的函數(shù)是不同的。所以，研究三角函數(shù)，重在“圖形”?？磮D形的“要素”是什么？對(duì)于三角函數(shù)，我們并不陌生，在初中時(shí)我們就已經(jīng)接觸并學(xué)習(xí)過了。不過，那時(shí)的學(xué)習(xí)，并沒有體現(xiàn)三角函數(shù)的“函數(shù)性質(zhì)”，基實(shí)質(zhì)只是“用符號(hào)表達(dá)”直角三角形的“三邊比”?！叭叡取闭恰爸苯侨切巍边@一圖形的“幾何要素”。二、 取消“角”的限制由

3、于初中時(shí)，只是研究直角三角形，所以對(duì)于三角函數(shù)的“角”，給予了限制，只限于“銳角”?，F(xiàn)在，我們?cè)偕钊胙芯咳呛瘮?shù)，就要將“角”進(jìn)行擴(kuò)展，“取消限制”；但“三邊比”將會(huì)繼續(xù)貫穿整個(gè)研究過程，這就是“要素”的作用?！敖恰?，我們從小學(xué)就已經(jīng)開始使用，小學(xué)時(shí)“角”的定義是：由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。學(xué)過旋轉(zhuǎn)后，到初中又給“角”下過一個(gè)定義：平面內(nèi)一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形。但當(dāng)時(shí)，只是對(duì)這個(gè)定義提到了一下，并沒有具體使用，因?yàn)槌踔泻托W(xué)一樣，也只是使用小于或等于180度的角，對(duì)于周角也只是有一個(gè)概念而已。現(xiàn)在，我們就使用“角”的旋轉(zhuǎn)定義，將角進(jìn)行擴(kuò)展，把初中、小學(xué)對(duì)角的限制，全部取消。1、先

4、規(guī)定旋轉(zhuǎn)的方向：以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)方向。這樣，就把角按旋轉(zhuǎn)方向分為了“正角、零角、負(fù)角”三類。2、旋轉(zhuǎn)角度完全取消限制?？梢匀我庑D(zhuǎn)N圈。但要注意，由于取消限制，對(duì)于“角”，就不能根據(jù)圖形，直接說出角的具體度數(shù)了。因?yàn)?，高中的“角”要說具體度數(shù)，一要知道旋轉(zhuǎn)方向，二要知道旋轉(zhuǎn)圈數(shù)。那么，怎么直接描述“角”的圖形呢？高中的“角”，根據(jù)圖形，只能確定“終邊的位置”，而不能確定角度。因此，使用描述位置的最佳工具“平面直角坐標(biāo)系”，將“始邊”統(tǒng)一為“x軸的非負(fù)半軸（含原點(diǎn)）”，“頂點(diǎn)”為“原點(diǎn)”，按“終邊”位置，將角分為：1、象限角。有第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角

5、。2、軸線角。有x軸線角、y軸線角。再進(jìn)一步分為x軸非負(fù)軸線角、x軸非正軸線角、y軸非負(fù)軸線角、y軸非正軸線角。高中的“角”，書寫表達(dá)，使用集合方式：x|x=0到正負(fù)360度范圍內(nèi)的確定度數(shù)+k360度，k為整數(shù)即角的研究，先考慮“一圈”范圍內(nèi)的情況，其結(jié)果為“所在集合”的“統(tǒng)一結(jié)果”。根據(jù)“數(shù)形結(jié)合”，同學(xué)們可以把“坐標(biāo)系“中“不同位置的角”分別用“集合形式”給予“代數(shù)表達(dá)”；同樣，看到“代數(shù)表達(dá)”，能快速、準(zhǔn)確地確定其在“坐標(biāo)系”中的“位置”。三、引入“弧度制”此前，我們所使用的“角”的度量制，稱為“角度制”。但是，“角度制”有兩個(gè)情況，使其使用受到了限制：1、角度制，來源于時(shí)鐘，因此與時(shí)

6、、分、秒一樣，采取60進(jìn)率，而我們計(jì)算中使用的是10進(jìn)制。2、角度制的結(jié)果是“數(shù)量”，而不是“數(shù)值”。為了解決這兩個(gè)限制因素，因此引入了“弧度制”。1弧度（1rad）=長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角57.3度。由此可知：1、弧度制，其實(shí)是用“長(zhǎng)度的比值”（弧長(zhǎng)l/半徑r），來表示角的大小，即一個(gè)角的弧度數(shù)的絕對(duì)值|=l/r（弧度數(shù)的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向或角度給定），其進(jìn)率自然就是10了。2、弧度制的結(jié)果，是“數(shù)值”，在明確表示角的情境下，弧度的單位（rad），自然省略。3、弧度制，是建立在旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上的，所以弧度制與扇形（圓當(dāng)作特殊扇形）的關(guān)系，非常密切。利用圓來研究角度時(shí)，使用弧度制將比角度制，方

7、便得多。（后面任意角的三角函數(shù)就要使用，在物理中研究圓周運(yùn)動(dòng)也要使用）弧度的定義，實(shí)質(zhì)是利用“圓周長(zhǎng)與半徑的比值”是一個(gè)“定值”（2），這樣建立弧度數(shù)2=360度，使角度制與弧度制得以互換。這樣我們就得到一些常用角的弧度數(shù)：180度=360度/2=2/2=，90度=360度/4=2/4=/2，60度=360度/6=2/6=/3，30度=360度/6=2/12=/6，120度=2/3，150度=5/645度=90度/2=/4，135度=90度+45度=3/4。所以，角的集合表達(dá)，在使用弧度制時(shí)為：x|x=0到正負(fù)2范圍內(nèi)的確定弧度數(shù)+2k，k為整數(shù)。對(duì)于角的集合表達(dá)，要切記：“不能搞兩個(gè)中國(guó)，可

8、以一國(guó)兩制”。即：角度制和弧度制，在解答的書寫中，兩種制度可以共存。但是，在同一個(gè)集合表達(dá)式中，不能同時(shí)出現(xiàn)。由以上關(guān)系，|=l/r，2=360度，可得出弧度制的扇形面積公式S扇形=rl/2。這個(gè)公式，實(shí)質(zhì)就是三角形面積公式，即扇形面積=以半徑為底、弧長(zhǎng)為高的三角形面積。這其實(shí)就是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”。在小學(xué)，學(xué)圓面積公式時(shí)，將圓割成若干等份的扇形，再將這些扇形拼裝成一個(gè)“長(zhǎng)方形”，這時(shí)，其實(shí)就把扇形當(dāng)作了三角形。四、說“周期” 高中的“角”擴(kuò)展到“任意角”后，其表達(dá)式必須使用集合形式，表達(dá)式的后綴“+360度”或“+2k”就是角的“周期”，即每轉(zhuǎn)一圈重合一次。 具有“周期性質(zhì)”的現(xiàn)象，

9、稱為“周期現(xiàn)象”。大家可以興出很多實(shí)例。 具有“周期性”的函數(shù)，稱為周期函數(shù)。 對(duì)于y=f（x），在定義域內(nèi)，f（x+T）=f（x）都成立（T為非零常數(shù)），則y=f（x）為周期函數(shù)，周期為T。 簡(jiǎn)記為：f（x+T）=f（x）是周期函數(shù)。這個(gè)“代數(shù)”表達(dá)對(duì)就的“圖形”表達(dá)是什么？ 是“平移”，即函數(shù)圖像沿x軸方向最少平移T的長(zhǎng)度，就與原圖像重合，就是周期為T的周期函數(shù)。 由周期函數(shù)的最通用表達(dá)形式，通過“代數(shù)”或“圖形”變化，可得到幾種常見形式： 1、由“負(fù)負(fù)得正”，可得f（x+A）=-f（x+B）表示周期為2（A-B）的周期函數(shù)。 2、由“倒數(shù)的倒數(shù)是自己”，可得f（x+a）=1/f（x+B）

10、表示周期為2（A-B）的周期函數(shù)。 3、由“沿互相平行的對(duì)稱軸，軸對(duì)稱兩次，變成平移”，可得f（x+A）和f（x+B）都是偶函數(shù)或關(guān)于x=D對(duì)稱，則該函數(shù)是周期函數(shù)。 五、正式說說“三角函數(shù)” 在初中，已經(jīng)知道，對(duì)于銳角：sin（正弦值）=對(duì)邊/斜邊， cos（余弦值）=鄰邊/斜邊，cos= sin（90度-）tan=（正切值）=對(duì)邊/鄰邊，cot（余切值）=鄰邊/對(duì)邊，tan·cot=1，tan=sin/ cos，cot=1/ tan= cos/ sin，并由勾股定理得sin2+ cos2=1。這些三角函數(shù)值，就是直角三角形的“三邊比”，只要知道一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，就可得到“三

11、邊比”，即這個(gè)角的其余三角函數(shù)值，也就都可知了。根據(jù)數(shù)學(xué)的“通用性”，以上規(guī)則，在任意角的三角函數(shù)中，繼續(xù)有效，只是在說法上有所調(diào)整。我們?cè)趯W(xué)“直線方程”時(shí)，知道直線的斜率k=tan。而tan=sin/cos，即相當(dāng)于直線上的點(diǎn)坐標(biāo)可以是（sin，cos）。為了使這個(gè)想法得到實(shí)現(xiàn)，我們要取直線上的一個(gè)“定點(diǎn)”：表示“角的終邊”的射線上，取“到原點(diǎn)距離為1的點(diǎn)”，則該點(diǎn)坐標(biāo)為（sin，cos）。用旋轉(zhuǎn)的角度表述，就是：以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑，做“單位圓”，任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（sin，cos）。以上表示方法，就是將銳角三角形函數(shù)中的“斜邊”固定為“1”，則sin就是“對(duì)邊”（縱坐標(biāo)

12、，簡(jiǎn)稱“豎”），cos就是“鄰邊”（橫坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱“橫”），則tan= sin/cos=“豎”/“橫”。確定了，三角函數(shù)值的“代數(shù)”和“圖像”表達(dá)，再來確定“函數(shù)”。將表示“三角函數(shù)值”的表達(dá)式，寫成函數(shù)的形式。即y= sinx、y=cosx、y=tanx等，就是“三角函數(shù)”。由“角的周期性”，可知“三角函數(shù)”一定都是“周期函數(shù)”。除了和以前一樣，要研究函數(shù)性質(zhì)：1、圖像。（與函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)）2、定義域。（與圖像的橫向范圍對(duì)應(yīng)）3、值域。（與圖像的縱向范圍對(duì)應(yīng)）4、奇偶性。（與圖像的對(duì)稱性對(duì)應(yīng)）5、單調(diào)性。（與圖像的“升”、“降”、“拐點(diǎn)頂點(diǎn)”對(duì)應(yīng)）還要加上：6、周期性。（與圖像的平移或有兩條以

13、上對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)）由于“三角函數(shù)”實(shí)質(zhì)是“三角函數(shù)值的變化”，所以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，要利用好“單位圓”。由于“角的終邊”由“原點(diǎn)”和“單位圓上的點(diǎn)”確定，而“原點(diǎn)”固定，所以研究時(shí)，可以“角的終邊”簡(jiǎn)化為“單位圓上的點(diǎn)”。由于“余弦函數(shù)”可以轉(zhuǎn)化為“正弦函數(shù)”（ cos= sin（90度-），“正切函數(shù)”則“正弦、余弦”決定（tan= cos/ sin），所以，以研究“正弦”為重點(diǎn)，“余弦、正切”也就隨之而出了。由于“單位圓上的點(diǎn)”的“縱坐標(biāo)”就是“sin”，所以研究“正弦值的變化”，就是研究“單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化情況”。從“單位圓”與“x軸正方向”的交點(diǎn)（零角）開始，沿“逆時(shí)針方向”（角

14、的正方向）走，可看到“單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化情況”（正弦值的變化）：1、x軸正半軸，正弦值為0。2、第一象限，正弦值為“正”、“升”，且升的情況是“先快后慢”，即“先陡后平”的一條曲線。3、y軸正半軸，正弦值為1。4、第二象限，正弦值“正”、“降”，且與第一象限情況“軸對(duì)稱”。5、x軸負(fù)半軸，正弦值為0，與x軸正半軸情況“軸對(duì)稱”。6、第三象限，正弦值“負(fù)”、“降”，且與第二象限情況“中心對(duì)稱”。7、y軸負(fù)半軸，正弦值為-1，且與y軸正半軸情況“中心對(duì)稱”。8、第四象限，正弦值“負(fù)”、“升”，且與第三象限情況“軸對(duì)稱”、與第一象限情況“中心對(duì)稱”。由此，可知“正弦函數(shù)”有以下性質(zhì)：1、圖像是

15、一條“周期性曲線”，既又是“軸對(duì)稱圖形”又是“中心對(duì)稱圖形”，且有多條對(duì)稱軸。2、定義域?yàn)镽，即單位圓上的點(diǎn)，沒有位置限制。3、值域-1，1：A、位于y軸正半軸時(shí)，縱坐標(biāo)有最大值為1；當(dāng)x=/2+2k時(shí)，ymax=1。 B、位于y軸負(fù)半軸時(shí)，縱坐標(biāo)有最小值為-1；當(dāng)x=-/2+2k時(shí)，ymin=1。4、周期T=2，即走一圈是一個(gè)最小正周期。5、奇函數(shù)。即第一象限與第四（負(fù)第一）象限情、第二象限與第三（負(fù)第二）象限情況中心對(duì)稱。6、在第一、第四（負(fù)第一）象限“升，在-/2+2k，/2+2k是增函數(shù)； 在第二、第三象限“降“，在/2+2k，3/2+2k是減函數(shù)。由于“正弦函數(shù)”圖像，是一條曲線，就

16、只能取幾個(gè)“特殊點(diǎn)”，再按變化趨勢(shì)，用光滑曲線進(jìn)行連接。一般取五點(diǎn)，即正弦值分別為-1，0，1的點(diǎn)，這稱為“五點(diǎn)法”。作出一個(gè)周期的圖像后，平移多次，即為正弦函數(shù)圖像。觀察圖像，可得出，1、當(dāng)y=1和y=-1時(shí)，即x=/2+2k和x=-/2+2k都圖像的對(duì)稱軸。2、當(dāng)y=0時(shí)，即x=k時(shí)，都圖像的中心對(duì)稱點(diǎn)。3、正弦函數(shù)圖像是一個(gè)“振動(dòng)波”，值域是“振幅”，周期是“頻率”。這將在物理中進(jìn)行應(yīng)用。參照研究“正弦函數(shù)”的方法，可自行得出“余弦函數(shù)”、“正切函數(shù)”的性質(zhì)。六、利用“單位圓”進(jìn)行誘導(dǎo) 由于“單位圓上的點(diǎn)”具有“軸對(duì)稱”、“中心對(duì)稱”等特點(diǎn)，利用“單位圓”就可對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行“誘導(dǎo)”。 1

17、、關(guān)于x軸對(duì)稱“縱反橫不變”，可得sin（-）=-sin，cos（-）=cos。 2、關(guān)于y軸對(duì)稱“縱不變橫反”，可得sin（-）=sin，cos（-）=-cos。 3、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱“縱橫都反”，可得sin（+）=-sin，cos（+）=-cos。 4、關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí)互余（橫縱互換），可得sin（/2-）=cos，cos（/2-）=sin。 5、90度旋轉(zhuǎn)時(shí)（橫縱互換且橫要換號(hào)），即關(guān)于y=x對(duì)稱后再關(guān)于y軸對(duì)稱，可得sin（/2+）=cos，cos（/2+）=-sin。 6、利用周期，可得“加、減周期等于自己”。 所以，對(duì)于“誘導(dǎo)公式”千萬別記，只要懂得“圓”的“對(duì)稱性”和“周期性”，就可用“單位圓”，快速、準(zhǔn)確地將“任意角的三角函數(shù)”一步“化簡(jiǎn)到位”。七、最后說一下“三角函數(shù)”的“參數(shù)” “標(biāo)準(zhǔn)”正弦函數(shù)，加上參數(shù)后，“完整形式”為y=Asin（x+）。 對(duì)于參數(shù)“A”，最好理解，控制“值域”，即y=Asinx的值域?yàn)?A，A。 對(duì)于參數(shù)“”，也較好理解，控制“周期”，即y=Asin（x）的周期T=2/。如：sin2x 的周期只能是，再乘參數(shù)“2”后，正弦的原始周期還是2。對(duì)于參數(shù)“”，就要先變形再理解了，形式是類似于“函數(shù)圖像的橫向平稱”，但“橫向平移”時(shí)，只能是“獨(dú)獨(dú)的x”+“平移量”，所以將y=