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1、 命題與證明第2章 三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第3課時(shí) 命題的證明1.了解證明的基本步驟和書寫格式;(重點(diǎn))2.掌握反證法證明的基本步驟和格式;(難點(diǎn))3.掌握三角形外角和定理的證明,并能進(jìn)行簡單的運(yùn)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課觀察與思考問題:在一個(gè)三角形花壇的外圍走一圈,在每一個(gè)拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個(gè)角度(1,2,3),那么回到原來位置時(shí)(方向與出發(fā)時(shí)相同),一共轉(zhuǎn)了多少度?123實(shí)質(zhì)就是求這個(gè)三角形的外角和.講授新課講授新課證明的一般步驟一活動(dòng)1:采用剪拼的方法,猜測(cè)“三角形的外角和”等于多少度.猜測(cè):三角形的三個(gè)外角之和等于360.活動(dòng)2:采用度量的方法,猜測(cè)“三角形的外角和”
2、等于多少度.猜測(cè):三角形的三個(gè)外角之和等于360.018015012090603031201801501209060300180150120906030 從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360,但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角,只是接近周角;分別度量這三個(gè)角后再相加,結(jié)果可能接近360,但不能很準(zhǔn)確地都得到360.思考:怎么證明“三角形的外角和為360”呢? 已知:如圖,BAF,CBD和ACE分別是ABC的三個(gè)外角.求證:BAF+CBD+ACE=360.證明猜想證明:如圖, BAF=2+3,BAF+CBD+ACE=2(1+2+3).CBD=1+3,ACE=1+2,1+2+3=180(
3、三角形內(nèi)角和定理), BAF+CBD+ACE =2180=360.證明與圖形有關(guān)的命題時(shí),一般有以下步驟:第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形通過分析,找出證明的途徑總結(jié)歸納例1 已知:如圖,在ABC中,B=C,點(diǎn)D在線段BA 的延長線上,射線AE平分DAC.求證:AEBC.證明:DAC =B +C(三角形外角定理),B=C(已知), DAC=2B(等式的性質(zhì)).又AE平分DAC(已知),DAC=2DAE(角平分線的定義)DAE=B(等量代換).AEBC(同位角相等,兩直線平行)典例精析例2 已知:A,B,C是ABC的內(nèi)角.求證:A,B,
4、C中至少有一個(gè)角大于或等于60.解析:這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”,也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)” “有兩個(gè)” “有三個(gè)”這三種情況. 如果直接來證明,將很繁瑣,因此,我們將從另外一個(gè)角度來證明.反證法二證明:假設(shè)A,B,C 中沒有一個(gè)角大于或等于60,即A60,B60,C60,則A+B+C180.這與“三角形的內(nèi)角和等于180”矛盾,所以假設(shè)不正確.因此,A, B, C中至少有一個(gè)角大于或等于60. 像這樣,先假設(shè)命題不成立,然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論,通過推理導(dǎo)出矛盾,從而得出假設(shè)不成立,即所證明的命題正確,這種證明方法稱為反證法. 反證法是一種間接證明的方法,其基本的思路可歸結(jié)為“否定
5、結(jié)論,導(dǎo)出矛盾,肯定結(jié)論”.總結(jié)歸納應(yīng)用反證法的情形:(1) 直接證明困難;(2) 需分成很多類進(jìn)行討論;(3) 結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” 的一類命題; (4) 結(jié)論為 “唯一”類命題.用反正法證明時(shí),導(dǎo)出矛盾的幾種可能:(1)與原命題的條件矛盾;(3)與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾;(2)與假設(shè)矛盾;(4)與客觀事實(shí)矛盾.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是()A兩個(gè)內(nèi)角是直角B有三個(gè)內(nèi)角是直角C至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角D沒有一個(gè)內(nèi)角是直角練一練C【解析】“最多只有一個(gè)”即為“至多一個(gè)”,反設(shè)應(yīng)為“至少有兩個(gè)”,故應(yīng)選C.原詞語 否定詞 原詞語 否定詞 等于任意的是
6、 至少有一個(gè) 都是 至多有一個(gè) 大于 至少有n個(gè) 小于 至多有n個(gè) 對(duì)所有x成立對(duì)任何x不成立不是不都是不大于 不小于一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有(n-1)個(gè)至少有(n+1)個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x,成立不等于某個(gè)填一填當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)1. 在括號(hào)內(nèi)填上理由.已知:如圖,A+B= 180.求證:C+D= 180.證明:A+B= 180(已知), ADBC( ). C+D= 180 ( ).同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)2應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,要把下列哪些作為條件使用 ()結(jié)論相反判斷,即假設(shè)原命題的結(jié)論公理、定理、定義等原命題的條件ABC DC3. 已知:如圖,直線AB,CD被直線MN所截,1=2.求證:2=3,3+4=180.證明: 1=2, 2 =3(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)3+4=180(兩直線平行, 同旁內(nèi)角互補(bǔ)). ABCD(同位角相等,兩直線平行)4. 已知:如圖,AB與CD 相交于點(diǎn)E. 求證:A+C=B+D.證明: AB與CD 相交于點(diǎn)E , AEC=BED (對(duì)頂角相等),又 A+C +AEC =B+D +BED =180(三角形內(nèi)角和等于180),A+
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