第四章_Z變換

1、第4章 離散信號(hào)與系統(tǒng)電氣學(xué)院 李津蓉4.1 Z變換 一、Z變換的導(dǎo)出抽樣信號(hào)的拉氏變換抽樣信號(hào)的拉氏變換離散信號(hào)的離散信號(hào)的z變換變換)()()(sttxtxT ( )()() ()nnx ttnTx nTstnTs對(duì)對(duì) 取拉氏變換取拉氏變換)(stxss( )( )() ()nXsL xtLx nTstnTs( () )txsOtTs( () ) ( () )nTstnTsx On( ( ) )nx1 24.1 Z變換( )s()essnTsnXsx nTsj 為連續(xù)變量為連續(xù)變量，引入復(fù)變量引入復(fù)變量 e sTz ( () )( ( ) )nxnTx表示為表示為，將，將)()(| )(e

2、szXznxsXnnzsT )(nx)(txs 0)()(nnznxzX)(nx4.1 Z變換 二、Z變換的收斂域)(zX nnznx|)(|)(zX4.1 Z變換及其收斂域21),(NnNnx |0z nNnx1)(1|Rz Re(z)jIm(z)4.1 Z變換及其收斂域2)(Nnnx 2|0Rz nnx)(21|RzR Re(z)jIm(z)Re(z)jIm(z)4.1 Z變換 0 001)(nnn zznzXnn1)()(nO)(n 1 0001)(nnnu1111)(1321 zzzzzzzXnO)(nu112 31z極點(diǎn)極點(diǎn)1，零點(diǎn)，零點(diǎn)04.1 Z變換及其收斂域)()(nuanxn

3、 ( () )( ( ) )nun0cos az ( ( ) ) 0nnnzazXazzaz 111( () )( ( ) )nun0sin ( () )( ( ) ) ( () )1cos2coscos0200 zzzznunZ( () )( ( ) ) 1cos2sinsin 0200 zzznunZ4.2 Z反變換nknkmrmrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()(mn)azz )(),(1nuaazznn zzX)(iizzA zzX)(NNzzAzzAzzAzAzzX 22110)(的的系系數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)0 000 zabA處處的的留留

4、數(shù)數(shù)在在極極點(diǎn)點(diǎn)iz X(z)()(izziizzXzzA NriiirrzzAzAzzBzzBzzBzzX10121211)()()()(1)()(dd)!(1 1zzrjrjrjzzXzzzjrB)()()()()(11nrrzzzzzzzNzX 4.2 Z反變換 210)2()1()0(zxzxzx( ( ) )( ( ) ) 0nnznxzX( ( ) )nx級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列1|,)1()(2 zzzzX4.3 Z變換的性質(zhì)()()(),min(),max( )()()()( )()( )()( 22112121yxyxyyxxRRzRRzbYzaXnbynaxZR

5、zRzYnyZRzRzXnxZ則若 )()(zXzmnxZm 二位移性1.1.雙邊雙邊z變換變換處處收收斂斂域域：只只會(huì)會(huì)影影響響 zz,0nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 2.2.單邊單邊z z變換變換 10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ左移：左移： 1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ右移：右移：nO( ( ) )nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 )()()(zXnunxZ ：)()()(zXznumnxZm zzXznnxzXnxZd)(d)( )()( 則則若

6、若)()( zXdzdznxnmm ( () )為非零常數(shù)為非零常數(shù)則則若若aRazRazXnxaRzRzXnxZxxnxx 2121)( )()( ( ( ) )( ( ) ) )(lim)0( )(zXxnxZzXnxz ，則，則為單邊序列，為單邊序列，若若( ( ) )( ( ) ) )()1(lim)(lim )(1zXznxnxZzXnxzn 則則，為單邊序列，為單邊序列，若若例題2 zz2 z1 zz1 z( ( ) )n2( ( ) )n1( () )n5 . 05 . 0 zz5 . 0 z( ( ) )nx n終值終值( ( ) )zXROC無無有，有，1有，有，0( )nu

7、 n1z 無無2(1)zz ( () ) ( () ) )()()(*)( )()( )()( 2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 則則已知已知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分即即4.4 z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系 1z平面與平面與s平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系(j)jeeesssssTTTTze esTzsT 1s平面z平面-10左半平面映射于z平面的單位圓內(nèi)虛軸映射于z平面的單位圓上右半平面映射于z平面的單位圓外esTzs平面0aa1z平面-1a=a02

8、/sT0sT 4.4 z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系 結(jié)論：()()()(sXtxLetxFt當(dāng)s=j時(shí)，x(t)的拉氏變換即為傅氏變換( )()( ( )( )SnL x ttnTZ x nX z(j)jeeesssssTTTTze 當(dāng)不變時(shí)，變量z在半徑為 的圓周上移動(dòng)當(dāng)=0時(shí)，X(z)即為x(t)的理想抽樣信號(hào)的傅氏變換esT 4.5 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析與系統(tǒng)函數(shù) LTI離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述差分方程（N階）離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)x(n)y(n)MjjNiijnxbinya00)()(4.5 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析與系統(tǒng)函數(shù) 離散系統(tǒng)的圖形描述4.5 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析與系統(tǒng)函數(shù) 例

9、：列出系統(tǒng)差分方程4.5 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析與系統(tǒng)函數(shù) 差分方程的經(jīng)典解法（差分方程的經(jīng)典解法（齊次解齊次解 + 特解）特解）MjjNiijnxbinya00)()( )( )( )cy ny nB n 一、齊次解（令激勵(lì)部分為一、齊次解（令激勵(lì)部分為0）kAky)(假設(shè)：假設(shè)：0()0Niia y ni01110NNNNaaaa特征方程特征方程 ：求特征根：求特征根：N,21 特征根無重根：特征根無重根：nNNnncAAAny2211)( 特征根有重根：特征根有重根：112111( )()KncKnnKKNNy nAA nA nAA 【例【例 4-10】 求以下差分方程的齊次解形式。求以下差

10、分方程的齊次解形式。)()3(12)2(16) 1(7)(nxnynynyny 二、特解二、特解：( )( )( )cy ny nB n) 1()()2(2) 1(3)(nxnxnynyny2)(nnx1) 1(y1)0(y【例【例4-12】 求解差分方程，其中激勵(lì)函數(shù)，且已知4.5.3 z變換法離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)x(n)y(n)開始作用于系開始作用于系統(tǒng)的時(shí)間通常統(tǒng)的時(shí)間通常設(shè)定為設(shè)定為n=0其數(shù)值形式取決于兩方面：其數(shù)值形式取決于兩方面：x(n)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(-1), y(-2)根據(jù)系統(tǒng)的線性特性：根據(jù)系統(tǒng)的線性特性：)()()(nynynyzszi沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作

11、用，只沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（由起始狀態(tài)（n=-1,-2,時(shí)刻的時(shí)刻的系統(tǒng)輸出）所產(chǎn)生的響應(yīng)系統(tǒng)輸出）所產(chǎn)生的響應(yīng)起始狀態(tài)等于零，由起始狀態(tài)等于零，由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)產(chǎn)生的響應(yīng)4.5.3 z變換法 z變換法解差分方程：變換法解差分方程： 分別計(jì)算分別計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和和零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)的的Z變換變換 再通過再通過z反變換得到反變換得到零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和和零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng))()()(nynynyzsziNiiiNiilliizizazlyzazY001)()(00( )( )MjjjzsNiiib zYzX za

12、z響應(yīng)僅與系統(tǒng)的初始響應(yīng)僅與系統(tǒng)的初始狀態(tài)狀態(tài)y(-1), y(-2)有關(guān)有關(guān)響應(yīng)僅與系統(tǒng)的響應(yīng)僅與系統(tǒng)的輸入輸入x(n)有關(guān)有關(guān)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)，與差分方程對(duì)應(yīng)，與差分方程對(duì)應(yīng)，描述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。描述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。實(shí)際上是系統(tǒng)零狀態(tài)下的實(shí)際上是系統(tǒng)零狀態(tài)下的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)的的Z變換變換( )6 (1)8 (2)( )y ny ny nx n( )2( )nx nu n( 1)0y ( 2)1y 【例【例4-13】 求解差分方程，其中激勵(lì)函數(shù)，且已知4.5.4 系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1.H(z)的定義：的定義： 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z變換與系統(tǒng)輸入的變換與系統(tǒng)輸入

13、的z變換之變換之比比 單位沖激序列的響應(yīng)單位沖激序列的響應(yīng)h(n)的的z變換變換 2.H(z)的性質(zhì)：是的性質(zhì)：是z域上系統(tǒng)輸出與輸入之域上系統(tǒng)輸出與輸入之比，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入輸比，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入輸出無關(guān)出無關(guān) 3.H(z)與差分方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由系統(tǒng)的差與差分方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由系統(tǒng)的差分方程可直接列出分方程可直接列出H(z)形式形式例題( )x n( )(1)(2)( )y nay nby ncx n【例4-14】 若系統(tǒng)處于零狀態(tài)，且輸入信號(hào)為因果信號(hào)，求下列差分方程所描述的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)3,2,1abc 時(shí)，求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。1( )( )3nx

14、 nu n 1( )3( 1)( )( )3nny nu nu n( )H z【例4-16】 根據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出來求系統(tǒng)描述的問題稱為系統(tǒng)識(shí)別。已知當(dāng)一個(gè)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為，其輸出為，求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)h(n)。 4.5.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：輸入信號(hào)有界（系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：輸入信號(hào)有界（x(n)），輸），輸出信號(hào)也必定有界（出信號(hào)也必定有界（y(n)） 051015200240510152000.51系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)05101520-200200510152000.51系統(tǒng)系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)4.5.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系

15、統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件kkh)(系統(tǒng)系統(tǒng)0(n)0510152000.51h(n)4.5.5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性-1-1-111( )( )( )( )1-NNniiiiiiAh nZH zZA Pu nPz 由系統(tǒng)函數(shù)由系統(tǒng)函數(shù)H(z)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性h(n)是一系列指數(shù)序列的累加和，若要是一系列指數(shù)序列的累加和，若要h(n)收斂，則要求累收斂，則要求累加式中的每個(gè)指數(shù)序列加式中的每個(gè)指數(shù)序列Ai(Pi)n均為收斂序列，即均為收斂序列，即|Pi|1系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的H(z)的所有極的所有極點(diǎn)均在點(diǎn)均在z平面平面的單位圓之內(nèi)的單位圓之內(nèi)0RezjImz|z|=1024681012

16、-1-0.500.51nh(n)0Rez|z|=10246810120102030405060nh(n)jImz0Rez|z|=1jImz02468101200.20.40.60.81nh(n)單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的極點(diǎn)單位圓外單位圓外的極點(diǎn)的極點(diǎn)單位圓上單位圓上的極點(diǎn)的極點(diǎn)Ai(Pi)n 例：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性： )() 1()(nxnyny6 ( )(1)(2)( )y ny ny nx n4.6 離散信號(hào)與頻域分析 1.序列的離散時(shí)間傅立葉變換序列的離散時(shí)間傅立葉變換DTFT 定義：定義： 存在條件：存在條件：X(z)的收斂域包含單位圓，的收斂域包含單位圓，推論：對(duì)于右邊序列推論：對(duì)于右邊

17、序列x(n)u(n),其其Z變換變換 X(z)的極點(diǎn)的極點(diǎn)均小于均小于1nnznxnxZzX)()()(令變量令變量z僅在單位圓僅在單位圓|z|=1上變化上變化 jez()( ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e 1( )()()2jjjnx nIDTFT X eX eed4.6 離散信號(hào)與頻域分析 1.序列的離散時(shí)間傅序列的離散時(shí)間傅立葉變換立葉變換 特性()()( ( )( )()jj nnjjX eDTFT x nx n eX ee Z平面()()jjX eX e ( )() T=2的周期函數(shù)的周期函數(shù) 【例【例4-17】 求指數(shù)序列 的傅立葉變換。 ( )( ),1n

18、x na u na01(),11jnj njnX ea eaae ()1122222211()(1cos)sin1 2 cosjX eaaaa sin( )arctan1cosaa 2.DTFT的性質(zhì)（自學(xué)）的性質(zhì)（自學(xué)） 與z變換性質(zhì)相同，令變量jez3.系統(tǒng)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)零極點(diǎn)的關(guān)系 系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)頻率響應(yīng)：()()()jjjY eH eX e()()()jjjY eH eX earg()arg()arg()jjjY eH eX e3.系統(tǒng)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)零極點(diǎn)的關(guān)系 系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值特性與系統(tǒng)零極點(diǎn)的關(guān)系 當(dāng)ej越接近于零點(diǎn)zj，則 越小 當(dāng)ej越接近于零點(diǎn)zj，則 越大00()( )()MjjNiizZH zzP00()()()MjjjjNjiieZH eePjez)(jeH)(jeH【例【例 4-18】 已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)的圖形。)9 . 01)(9 . 01 (1)(11144zezezzHjj)(jeHMatla