自動(dòng)控制原理第七章z變換

1、 線性離散系統(tǒng)的分析與校正線性離散系統(tǒng)的分析與校正第七章第七章栗忍栗忍 83#D10383#D103p在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時(shí)間函數(shù)在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s);F(s);同樣同樣在線性在線性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)中，也可以對(duì)中，也可以對(duì)采樣信號(hào)采樣信號(hào)f f* *(t)(t)作拉氏作拉氏變換變換。課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)- z- z變換的定義變換的定義采樣信號(hào)采樣信號(hào)f f* *(t)(t)拉氏變換拉氏變換TSez 0kkF zf kT z *0kTSkL ftFsf kT e 栗忍栗忍 83#D10383#D103課前課前復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)-z -z變換的級(jí)數(shù)求和

2、法變換的級(jí)數(shù)求和法z z變換變換的級(jí)數(shù)求和法的級(jí)數(shù)求和法 0kkF zf kT z 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z例例 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f f（t t）的）的z z變換變換000)(ttetfat栗忍栗忍 83#D10383#D103 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z0,1,2,kekTfakT)(aT1aT33aT22aT1aT0kkakTatezzze11zezeze1zeeZzF)(解：解：課前課前復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)- -級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1 z7.1 z變換與反變換變換與反變換1.

3、1. z z變換部分分式法變換部分分式法2. 2. z z變換留數(shù)法變換留數(shù)法3. 3. z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)4. 4. z z反變換方法反變換方法（部分分式、冪級(jí)數(shù)法、留數(shù)法）（部分分式、冪級(jí)數(shù)法、留數(shù)法）栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法p設(shè)連續(xù)信號(hào)設(shè)連續(xù)信號(hào)f(t)f(t)沒(méi)有直接給出，但給出了沒(méi)有直接給出，但給出了f(t)f(t)的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)，求它所對(duì)應(yīng)的求它所對(duì)應(yīng)的z z變換式變換式F(z)F(z)。首先為了進(jìn)行拉氏變換，將首先為了進(jìn)行拉氏變換，將F(s)F(s)寫(xiě)成部分分式之和的形式，

4、即寫(xiě)成部分分式之和的形式，即：niiissAsF1)(式中，式中，n n為為F(s)F(s)的極點(diǎn)數(shù)目；的極點(diǎn)數(shù)目；A Ai i為常數(shù)，為常數(shù)，S Si i為為F(s)F(s)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。然后，由拉氏反變換得出然后，由拉氏反變換得出f(t)f(t)為為nitsiieAtf1)( 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D103nitsiieAtf1)(對(duì)上式中的每一項(xiàng)，都可以利用指數(shù)函數(shù)的對(duì)上式中的每一項(xiàng)，都可以利用指數(shù)函數(shù)的z z變換直接寫(xiě)變換直接寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的出它所對(duì)應(yīng)的z z變換式，這樣就得到了變換式，這樣就得到了F(z)F(z)如下：如下：aTatezzeZzF)(n

5、iTsiiezzAzF1)(指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)z z變換變換niiissAsF1)(7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。niTsiiezzAzF1)()()(assasFaT-aT-2-aTaT-eze1ze1zezz1zzzF)()()(assassasF11)()(解：解：由由可得可得7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D

6、103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t) )的的z z變換。變換。解：解：22)(asasFjasjjasjasasF2/12/1)(2221111cos21sin11211121)(zaTzaTzzejzejzFjaTjaTsincosiei7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t) )的的z z變換。變換。解：解：) 1(1)(2sssF1) 1(1)

7、(32212sAsAsAsssF1)(021ssFsA1) 1(1)(02022ssssFsdsdA1)() 1(13ssFsA1111)(2ssssF12121112111)1 ()1 () 1(1111)1 ()(zezzTeezeTzezzTzzFTTTTT7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法p若已知連續(xù)函數(shù)若已知連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)及全部極點(diǎn)及全部極點(diǎn)s si i，則，則f(t)f(t)的的z z變

8、換可用留數(shù)計(jì)算法求取，即：變換可用留數(shù)計(jì)算法求取，即：iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(栗忍栗忍 83#D10383#D103式中式中 ， 為為F(s)F(s)的的n n1 1個(gè)單極點(diǎn)；個(gè)單極點(diǎn)；), 2 , 1(1nisi), 2, 1(11nnnisi 為為F(s)F(s)的的n-nn-n1 1個(gè)重極點(diǎn)個(gè)重極點(diǎn)； 為重極點(diǎn)為重極點(diǎn) 的階數(shù)；的階數(shù)；T T為采樣周期；為采樣周期；iris sRe 為極點(diǎn)為極點(diǎn) 處的留數(shù)。處的留數(shù)。iss iiiiiissnnisT

9、rirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。)()(assasFassTssTassTisssTnizeassaaszeassaszeassaszesFszFi101, 01211111)()(11)(11)(Re11)(Re)()1)(1 ()1 (111111111zezzezez

10、aTaTaT解：解：7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。解：解：22)(asasFisssTnizesFszF1111)(Re)(jassTizeasas1222111Re21111)cos2(1)(sin11211121zzaTzaTzejzejjaTjaTjassTjassTzeasajaszeasajas12212211)(11)(7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D1

11、0383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。解：解：2)(1)(assF2112111221211111)(1)()!12(111)(1Re11)(Re)(zezTezezTezeasasdsdzeasszesFszFaTaTassTsTassTassTsssTi7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z變換變換)(t)(1 tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22s

12、s11zz2)1(zzT32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)1 1 線性定理線性定理)()(zFtfZ若若)()(zGtgZ)()()(tgtftx)()()(zGzFzX相加與相乘相加與相乘乘以乘以 后的后的z z變換？變換？k)()(1zFkfZk)()()()(1010zFzkfzkfkfZkkkkkk證明證明： 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D1032. 2.實(shí)數(shù)平移定理（位移定理）實(shí)數(shù)平移定理（

13、位移定理）0)(0)()()(knknkkznTkTfzznTkTfnTtfZ證明：證明：)()(zFznTtfZn10)()()(nkknzkTfzFznTtfZnkm令令)()()(zFzzmTfznTtfZnnmmn滯后滯后超前超前 0kkF zf kT z7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：求例：求 、 、 和和 的的z z變換。變換。) 1( kf)2( kf)(nkf)(nkf 是向左移了是向左移了n n個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間超前超前）)(nkf)(nkf)0()()1(zfzzFk

14、fZ) 1 ()0()()2(22zffzzFzkfZ) 1()2() 1 ()0()()(21nzffzfzfzzFznkfZnnnn)()(zFznkfZn 是向右移了是向右移了n n個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間個(gè)采樣周期的序列（時(shí)間滯后滯后）7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z3. 3.復(fù)數(shù)平移定理復(fù)數(shù)平移定理)()(zFtfZ證明：證明：)()()()(00aTkkaTkkakTatzeFzekTfzekTftfeZ)()(aTatzeFtfeZ7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383

15、#D103 0kkF zf kT z 例例 ：求：求 的的z z變換。變換。atte 211)1 (zTztZ211)1 (zezTeteZaTaTat7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z4. 4.初值定理初值定理)()(zFtfZ存在)(limzFz)(lim)0(zFfz5. 5.終值定理終值定理)()1 (lim)(lim)(11zFzkffzk 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)k0k0時(shí)時(shí)f(k)=0f(k)=0，它的，它的z z變換變換F(z)F(z)的所有極點(diǎn)都在的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，可能的例外是在單位圓上單位圓內(nèi)，可能的例外

16、是在單位圓上z=1z=1處有單極點(diǎn)。處有單極點(diǎn)。7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：如果例：如果 的的z z變換由下式給出，試確定其初始值變換由下式給出，試確定其初始值f(0)f(0)。)(tf)1)(1 ()1 ()(111zezzezFTT0)1)(1 ()1 (lim)(lim)0(111zezzezFfTTzz例：用終值定理確定下式的終值例：用終值定理確定下式的終值f( f( ) )。111111)(zezzFT1)111lim)1111)(1 (lim)()1 (lim)(111111111zezzezzz

17、FzfTzTzz7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103小結(jié)小結(jié)-z -z變換方法與性質(zhì)變換方法與性質(zhì)z z變換的部分分式法變換的部分分式法z z變換的留數(shù)法變換的留數(shù)法Z Z變換線性性質(zhì)變換線性性質(zhì)z z變換實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)位移定理變換實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)位移定理z z變換初值、終值定理變換初值、終值定理niTsiiezzAzF1)()()()(zGzFzX)()(aTatzeFtfeZ)(lim)0(zFfz)()1(lim)(11zFzfz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.57.1.5、z z反變換反變換p z z變換在離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉

18、氏變換在變換在離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉氏變換在連續(xù)控制相同中所起的作用是同樣的。連續(xù)控制相同中所起的作用是同樣的。z z反變換的符號(hào)為反變換的符號(hào)為 。F(z)F(z)的的z z反變換產(chǎn)生相應(yīng)的時(shí)間序列反變換產(chǎn)生相應(yīng)的時(shí)間序列f(k)f(k)。p注意：由注意：由z z反變換獲得的僅是在采樣瞬時(shí)的時(shí)間序反變換獲得的僅是在采樣瞬時(shí)的時(shí)間序列。因而，列。因而，F(xiàn)(z)F(z)的的z z反變換獲得的僅是單值的反變換獲得的僅是單值的f(k)f(k)，而，而不是單值的不是單值的f(t)f(t)。1Z栗忍栗忍 83#D10383#D103Z Z反變換的方法反變換的方法 1 1 部分分式部分分式法法（查表

19、法）（查表法） 2 2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)法法（綜（綜合除法）合除法） 3 3 留數(shù)法留數(shù)法（反演（反演積分法）積分法）栗忍栗忍 83#D10383#D103首先，對(duì)首先，對(duì)F(z)F(z)的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，并求其極點(diǎn)：的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，并求其極點(diǎn)：nmazazazbzbzbzbzFnnnnmmmm1111110)()()()(211110nmmmmpzpzpzbzbzbzbzFp注意：若分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)的話，那注意：若分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)的話，那么任何一個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)，都分別伴有共扼復(fù)數(shù)么任何一個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)，都分別伴有共扼復(fù)數(shù)的極點(diǎn)或零點(diǎn)。的極

20、點(diǎn)或零點(diǎn)。7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p當(dāng)當(dāng)F(z)F(z)的極點(diǎn)全部是低階極點(diǎn)，并且至少有一個(gè)零點(diǎn)的極點(diǎn)全部是低階極點(diǎn)，并且至少有一個(gè)零點(diǎn)是在坐標(biāo)原點(diǎn)（即是在坐標(biāo)原點(diǎn)（即bm=0bm=0）時(shí)，一般采用的反變換求）時(shí)，一般采用的反變換求解步驟是，用解步驟是，用z z去除去除F(z)F(z)表達(dá)式的兩端，然后將表達(dá)式的兩端，然后將F(z)/zF(z)/z展開(kāi)成部分分式。展開(kāi)后的展開(kāi)成部分分式。展開(kāi)后的F(z)/zF(z)/z，將是下列形式，將是下列形式nnpzapzapzazzF2211)(ipziizzFpza)(單極

21、點(diǎn)單極點(diǎn)7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若F(z)/zF(z)/z有多重極點(diǎn)，例如，在有多重極點(diǎn)，例如，在 處有二重極點(diǎn)處有二重極點(diǎn)且無(wú)其他極點(diǎn)，那么且無(wú)其他極點(diǎn)，那么F(z)/zF(z)/z將有如下形式：將有如下形式：12211)(pzcpzczzF1)(211pzzzFpzc二重極點(diǎn)二重極點(diǎn)1)(212pzzzFpzdzdc1pz 7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：試求例：試求F(z)F(z)反變換反變換f(k)f(k)。)2 . 0)(1(

22、10)(zzzzF2 . 05 .1215 .12)(zzzzF112 . 011115 .12)(zzzF11111zZkzZ2 . 02 . 01111, 2 , 1 , 02 . 015 .12)(kkfk0)0(f10) 1 (f12)2(f4 .12) 3(f48.12)4(f解：解：7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知例：已知z z變換變換)(1()1 ()(aTaTezzzezF式中，式中，a a為常數(shù)，且為常數(shù)，且T T為采樣周期，試用部分分式展開(kāi)法為采樣周期，試用部分分式展開(kāi)法求解它的求解它的z z反

23、變換反變換f(kT)f(kT)。aTezzzzF111)(111111)(zezzFaT11111zZakTaTezeZ1111, 2 , 1 , 01)(kekTfakT解：解：7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知例：已知z z變換變換2)2(2)(zzzzF求解它的求解它的z z反變換反變換f(kT)f(kT)。12112211121)(zzzzzzzzF注意：在注意：在z=0z=0處，處，F(xiàn)(z)F(z)有雙重極點(diǎn)。有雙重極點(diǎn)。00, 3 , 2 , 12211111kkzzZk7.1.57.1.5、z z反反變

24、換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1032121kzZ1111kzZ, 5 , 4 , 32002210121010100000)(11kkkkkfkk, 5 , 4 , 321 , 0210)(1kkkkfk7.1.57.1.5、z z反反變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法p把把F(z)F(z)展開(kāi)成展開(kāi)成z z-1 -1的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)，以獲取的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)，以獲取z z反變換。反變換。特點(diǎn)：在確定特點(diǎn)：在確定z z反變換閉合表達(dá)式較困難的場(chǎng)合，反變換閉合表達(dá)式較困難

25、的場(chǎng)合，以及以及只求取只求取f(k)f(k)的前幾項(xiàng)的前幾項(xiàng)時(shí)，直接除法是很有效的。時(shí)，直接除法是很有效的。kkkzkTfzTfzTffzkTfzF)()2()()0()()(210例：試求例：試求F(z)F(z)反變換反變換f(k)f(k)，k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4)2 . 0)(1(510)(zzzzF栗忍栗忍 83#D10383#D103)2 . 0)(1(510)(zzzzF21212 . 02 . 11510)(zzzzzF將將F(z)F(z)寫(xiě)成的寫(xiě)成的 多項(xiàng)式之比多項(xiàng)式之比1z21510 zz212 . 02 . 11zz32121210zzz432168.1

26、84 .181710zzzz32217 zz4324 . 34 .2017zzz434 . 34 .18zz54368. 308.224 .18zzz5468. 368.18zz654736. 3416.2268.18zzz7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103432168.184 .181710)(zzzzzF0)0(f10) 1 (f17)2(f4 .18) 3(f68.18)4(fp由上例可見(jiàn)，如果僅僅希望求取序列的前幾項(xiàng)，由上例可見(jiàn)，如果僅僅希望求取序列的前幾項(xiàng)，直接除法可用手算來(lái)實(shí)現(xiàn)。直接除法一般不產(chǎn)生直接除法可用手算來(lái)實(shí)

27、現(xiàn)。直接除法一般不產(chǎn)生f(k)f(k)的閉合表達(dá)式。的閉合表達(dá)式。7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若f(t)f(t)的的z z變換為變換為F(z)F(z)，則，則nizzkkizzFsdzzzFjkTf111)(Re)(21)()5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzFnizzkizzFskTf11)(Re)(215 . 0, 1)5 . 0)(1(5 . 0Reizkzzzs5 . 01)5 . 0)(1(5 . 0)5 . 0()5 . 0)(1(5 . 0) 1(zkzkzzzzzzzzk5 . 01例：例：)(5

28、 . 01)()()(*ttkTftfTkT7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：求例：求)()(2)(bzazzbazF的的z z反變換。反變換。nizzkizzFskTf11)(Re)(21,)()(2Reibazkbzazzbasbzkazkbzazzbabzbzazzbaaz)()(2)()()(2)()(2kkba )(2)()()(*tbatkTftfTkkT解：解：7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.77.1.7、關(guān)于、關(guān)于z z 變換的說(shuō)明變換的說(shuō)明 z z 變換是