解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題-自己總結(jié)的

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題一、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)1、正弦定理及其變形abc2R (R為三角形外接圓半徑）sin Asin Bsin C（1） a 2R sin A, b2R sin B,c2R sin C (邊化角公式）（2）sin Aa,sin Bb ,sin Cc(角化邊公式）2R2R2Rasin Aasin Absin B（3）a : b : c sin A :sin B :sin C (4),c,csin Cbsin Bsin C2、正弦定理適用情況：（ 1）已知兩角及任一邊（ 2）已知兩邊和一邊的對(duì)角（需要判斷三角形解的情況）已知 a， b 和 A，求 B 時(shí)的解的情況

2、:如果 sin Asin B ，則 B 有唯一解；如果 sin Asin B1 ，則 B有兩解；如果 sin B1，則 B 有唯一解；如果sin B 1，則 B 無(wú)解 .3、余弦定理及其推論cos Ab2c2a2a2b222bc cos A2bcca2c2b2b2a2c22ac cos BcosBc2a2b22ab cosC2aca2b2c2cosC2ab4、余弦定理適用情況：（ 1）已知兩邊及夾角； （ 2）已知三邊 .5、常用的三角形面積公式（ 1） S（ 2） SABCABC1底高 ；21 ab sin C1 bc sin A 1 ca sin B （兩邊夾一角） .2226、三角形中常

3、用結(jié)論（1） ab c, bca, acb(即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）；（2） 在ABC中， ABabsin Asin B(即大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊） .tan( A B)tan C（ ）在中，ABC，所以 sin( AB) sin C ； cos( A B)cosC ；.3ABCsin A Bcos C , cos ABsin C .2222名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)二、典型例題題型 1 邊角互化例 1在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ，則角 C 的度數(shù)為【解析】由正弦定理可得 a : b : c3 : 5: 7 ， , 令 a、b、

4、c 依次為 3、5、7 ，則 cosC = a2b2c2= 325272=12ab2 352因?yàn)?0C，所以 C23例 2若 a 、 b 、 c 是ABC 的三邊， f ( x)b 2 x 2(b 2c 2a2 ) x c 2，則函數(shù) f ( x) 的圖象與 x 軸 ( )A、有兩個(gè)交點(diǎn)B、有一個(gè)交點(diǎn)C、沒(méi)有交點(diǎn)D 、至少有一個(gè)交點(diǎn)【解析】由余弦定理得b2c2a22bc cos A ，所以f (x)b2 x22bc cos A xc2=(bxc cos A)2c2c2 cos2A ，因?yàn)?cos2 A1, 所以 c2c2 cos2 A 0，因此f ( x)0 恒成立，所以其圖像與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)

5、。題型 2三角形解的個(gè)數(shù)例 3在ABC 中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是( )A、 a7 ， b14， A30 ；B、 b25 ， c30，C 150C、 b4 ， c5 ， B30 ；D、 a6 ， b3，B 60；。題型 3面積問(wèn)題例 4ABC 的一個(gè)內(nèi)角為 1200 ，并且三邊構(gòu)成公差為4 的等差數(shù)列，則ABC 的面積為【解析】設(shè) ABC的三邊分別： x4, x, x 4 ，C=120°，由余弦定理得：( x4) 2(x4)2x22x(x4) cos1200 ，解得： x 10 ， ABC 三邊分別為 6、 10、 14，S ABC1 ab sin C1 61031

6、53 .222題型 4判斷三角形形狀例 5在ABC 中，已知 (a2b2 ) sin( AB)(a2b2 ) sin( A B) , 判斷該三角形的形狀?！窘馕觥堪岩阎仁蕉蓟癁榻堑牡仁交蚨蓟癁檫叺牡仁?。方法一： a2 sin( AB)sin( AB)b2 sin( A B)sin( AB)2a2 cos Asin B2b2 cos B sin A由正弦定理，即知sin 2 A cos Asin B sin 2 B cos B sin Asin Asin B(sin A cos A sin B cosB)0sin 2Asin2B由 02A,2B 2，得2 A2B或 2 A2B,即ABC 為等腰

7、三角形或直角三角形.名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)方法二： 同上可得 2a2 cos Asin B2b2 cos B sin A由正、余弦定理，即得：a2b b2c2a2b2a a2c2b22bc2aca2 (b2c2a2 ) b2 (a2c2b2 )即 (a2b2 )(c2a2b2 ) 0a b或 c2a2b2,即ABC 為等腰三角形或直角三角形.【點(diǎn)撥】 判斷三角形形狀問(wèn)題，一是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過(guò)因式分解等方法化簡(jiǎn)得到邊與邊關(guān)系式，從而判斷出三角形的形狀；（角化邊）二是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變形以及三角形內(nèi)

8、角和定理得到內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀。（邊化角）題型 5 正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用例 6在ABC 中， a,b, c 分別為角 A.B, C 的對(duì)邊，且 sin Asin Cpsin B( pR) 且 ac1 b25 , b4（1）當(dāng) p1時(shí)，求 a,c 的值；4（2）若角 B 為銳角，求p 的取值范圍。【解析】（1）由題設(shè)并由正弦定理，得a c51，解得， a11, c1, ac41,c或 a44411（ 2）由余弦定理， b2a2c22ac cos B = (ac)22ac 2ac cos Bp 2b2b2b2 cos B即 p2 31 cos B ，因?yàn)?0( 3 ,2

9、) ，由題設(shè)知 p22cosB1，所以 p20，222所以6p2 .2三、課堂練習(xí)：1、滿足 A45 ， c6 ， a2的ABC 的個(gè)數(shù)為 m ，則 am 為 .25,b5 3，A30，解三角形。、已知 a名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)3、在ABC 中，已知 a4 cm ， bx cm ， A 60，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則 x 的取值范圍是 ( )A、 x4B、 0 x 4C、 4 x83833D、 4 x34、在ABC 中，若 S1 ( a2b2c2 ), 則角 C.45、設(shè) R 是ABC 外接圓的半徑，且2R(sin 2 Asin 2 C )(2ab) sin B ，試求ABC 面積的最大

10、值。6、 在ABC 中， D 為邊 BC 上一點(diǎn)， BD335， cos ADC3， sin B，求 AD.1357、在ABC 中，已知 a,b,c 分別為角 A, B, C 的對(duì)邊，若 acos B ，試確定ABC 形狀。bcos A名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)8、在ABC 中， a,b, c 分別為角 A, B, C 的對(duì)邊，已知 cos A 2cos C2c acos Bb（ 1）求 sin C ； sin A（2）若 cos B1 , b 2, 求ABC 的面積。4四、課后作業(yè)1、在 ABC 中，若 ( abc)( bc a)3bc ，且 sin A 2 sin B cosC ，則 ABC 是A、等邊三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、 ABC 中若面積 S=1 (a2b2c 2 ) 則角 C43、清源山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景名勝區(qū)，山頂有一鐵塔AB ，在塔頂 A 處測(cè)得山下水平面上一點(diǎn)C 的俯角為，在塔底 B 處測(cè)得點(diǎn) C 的俯角為，若鐵塔的高為 h m ，則清源山的高度為m 。A、 h sincosB、 h cossinsin()sin()C、 h sinsinD、 h coscossin()