九年級總復習矩形大法

1、“矩形大法”學生也要進入期末復習了，我和同事今晚在這里也來交流復習一下“矩形大法”，也是我們這些學生向于特交的一份作業(yè)也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成這份作業(yè)講座中肯定有許多不完善的地方，有不妥的地方還請大家多多包涵，也真誠地希望大家提出來，我們一起研討！還有由于本人不會幾何畫板，所有的圖都不怎么漂亮，大家也就將就點看咯我們主要從三個方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本構(gòu)造三：“矩形大法”的實例應用一、矩形大法”的提出背景問題：我們?nèi)绾慰坍嬕粋€角大小呢？是的，角的大小有兩種刻畫方法：一種是傳統(tǒng)的、人人皆知的度數(shù)刻畫法；另一種是常被我們忽略的邊長刻畫法（即三

2、角函數(shù)值）。如果兩個角的大小是用度數(shù)體現(xiàn)的，那么這兩個角的和與差的度數(shù)能夠非常容易地計算出來。但如果兩個角的大小是采用邊長（即三角函數(shù)值）刻畫的，那么兩個角的和或差的大小是多少呢？自然，這兩個角和與差的大小也只能采用三角函數(shù)值刻畫。也許學習數(shù)學的人第一反應是馬上想到高中的兩角和與差的三角公式。但現(xiàn)在討論的背景是初中數(shù)學教學因此我們要回避用高中數(shù)學知識。作為南通人，我首先要提的就是南通2019年的28題第三問：不知大家第一次看到這道題的第一反應是什么？能否在短時間中用傳統(tǒng)方法解決？看到兩角和差關(guān)系這樣的條件想到什么？本題它有比較巧妙的求法，但要發(fā)現(xiàn)，還是需要一定的時間的。這里涉及到兩角和差關(guān)系，

3、需要說明的是，命題人員絕非希望你采用高中“兩角和與差的三角公式”去解決問題，這是由于：他們當初沒有意識到采用這樣的思考方法是合理的，而且只要方法得當，的確能夠解決問題。即使意識到了，他們認為因為初中不具備這樣的知識，有這樣的想法卻因為不具備的能力，從而無法解決原問題。最關(guān)鍵的原因是，由于命題人員想出了構(gòu)思極為巧妙，常人很難想到的解法。于是，這樣的考題在不知不覺中出現(xiàn)了，而且通常情況下，這樣的考題必定處于試卷中的難題位置那如果我們能有比較好的方法去破解這個和差關(guān)系，那不就可以不花多少時間直接攻破此題了呢！再譬如今年鹽城的中考題第3問：這題給出的答案也比較復雜，我想學生在短時間里容易找到點P的位置

4、卻不易求出點P坐標。那么這題究竟如何成功破解呢？而類似這樣的問題不管小題，大題，其實在中考中是比較多的?，F(xiàn)在的問題是，有些題目構(gòu)思非常巧妙，但采用“因果確定法”思考，面臨的困難就是：已知兩個角的大?。ㄟ呴L刻畫），最后只有在解決了這兩個角的和或差的問題后，才能真正解決原問題。那么有沒有既遵從原始的“因果確定法”的思考方法，又付出代價不大，同時還易于操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超綱”呢？這就讓人開始思考從比值刻畫一個角的大小，就得出現(xiàn)一個包含這個銳角的直角三角形。那么兩個角呢？就必須出現(xiàn)兩個直角三角形。最后還要有兩個角的和或差的大小的比值刻畫，即出現(xiàn)了第三個角，又必須出現(xiàn)一個含有這個

5、和角或差角的直角三角形。這樣就需要三個直角三角形，那么怎樣才能溝通彼此聯(lián)系呢？在平時的基本構(gòu)圖模型中有嗎？在這些想法的基礎(chǔ)上，朦朦朧朧地繼續(xù)探求構(gòu)造，最后終于產(chǎn)生了那個精妙絕倫的矩形一下子全部滿足了要求！為了在網(wǎng)絡(luò)上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本質(zhì)，于特將其取名為“矩形大法”。我們在課堂上有時為了表述的方便或激發(fā)學生的學習興趣和積極性，也可以一起命些名稱，不必太過計較說法，我的課堂里還有個“晨博公式”呢?。ǔ坎┦俏椰F(xiàn)在的一個學生名字）二、“矩形大法”的基本構(gòu)造下面我們以75，15這兩個特殊角為例聊聊矩形的構(gòu)造我們可以通過30與15的倍半角關(guān)系求出tan15的值，通過互余關(guān)系求出tan7

6、5的值。那如果利用30，45這兩角的和差關(guān)系又該怎樣構(gòu)圖表示出75與15的正切值呢？1、先思考75即45與30和的構(gòu)造：根據(jù)剛才的闡述，我們究竟該如何用比值來刻畫45，30，以及75這三個角呢？2、15即45與30差的構(gòu)造剛才兩角和是在一個角的基礎(chǔ)上向外“擴張”，現(xiàn)在是兩角差，該如何構(gòu)造呢？3、已知即構(gòu)圖說明借用上次紀博士講座中的圖：現(xiàn)在如何用矩形構(gòu)造呢？【江蘇蘇曉藝 向外作是求和，向里作是求差】總結(jié)的好！這里我們可以仿照上面的15，75，的構(gòu)造，得到如下的構(gòu)圖從這里可以看出“12345”顯然可以看成是“矩形大法”的一個特殊運用掌握了矩形大法，要解釋為什么有：“1/2”“1/3”45，“1/2

7、”“1/2”“4/3”等，就顯得非常容易了哦！其基本步驟是：構(gòu)直角，框矩形，用相似，表線段。下面先來幾個小題，熱下手哦！1、如果是填空或選擇的小題，那就可秒了哈解法二：根據(jù)等邊三角形的特殊性，作AB邊上的高，過垂足構(gòu)一線三直角框矩形也是比較方便的。4、先來看一道2019淄博中考題的第三問本題中求ODB的正切值的關(guān)鍵是什么呢？本題中求ODB的正切值，一邊OD確定，所以只要確定點B的坐標即可。這題就和上一個小題一樣了。這里既可以看成OAC+60角，也可以是OCA+60角的和差關(guān)系，可構(gòu)如下圖：5、再來個中考小題這里求出F（7,1），知tanFOA=，P在射線OF上，所以增量巧設(shè)P點左標為（7m,m

8、）,將其代入解析式即可。現(xiàn)在我們再回過頭來看南通的這道中考題：現(xiàn)在看到“DAODPO，”這個條件，有想法了嗎？根據(jù)DPO=DAO現(xiàn)在估計很多朋友在“施法”框矩形了！而DF=4，所以FP=18，所以P點坐標為（19,0）或（-17,0）如果在原圖外另構(gòu)圖的話，那是不是分分鐘的事情呢！即使我們不向?qū)W生介紹這種方法，作為教師掌握了這個“大法”，當學生來問你題時，你能快速地報出答案，那學生豈不對你佩服的五體投地呢！在原圖上就可以如上構(gòu)圖利用平行關(guān)系可知GDO=DOX=tan=4，在GDO內(nèi)部過點O作垂線構(gòu)造tanEDO=tanDAO=2的直角三角形,所以兩陰影的三角形的相似比為1:2，則可表示出矩形FDGH邊上各部分線段長，可得P點坐標為（-17,0）再根據(jù)對稱性得另一點坐標（19,0）除了這種矩形構(gòu)造，我們還可以構(gòu)造更具一般性的矩形。本想靜靜地學習，發(fā)現(xiàn)實在不行。黃萍老師是一位優(yōu)秀的數(shù)學老師，其他老師能否靜靜聆聽講解呢？您上課講的時候?qū)W生也講，有何效率？有問題能否課后問？得罪了。這里由于題中D點的坐標特征，利用tanDOF=4，命題人存在構(gòu)思巧妙的方法倘若我們沒有發(fā)現(xiàn)這一點呢？但這里用“矩形大法”，我們可以無視這個條件譬如把“tan4”改成3也許原先的巧妙構(gòu)思就不再可以了，而“矩形大法”