相似矩陣與矩陣對角化

1、2009.7.224-1-1相似矩陣與相似變換的性質(zhì)相似矩陣與相似變換的性質(zhì)利用相似變換將方陣對角化利用相似變換將方陣對角化約當(dāng)矩陣的概念約當(dāng)矩陣的概念2009.7.224-1-2 設(shè)設(shè)A,B為為n階矩陣階矩陣,若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣P,使使記為記為 AB.則稱則稱B為為A的相似矩陣的相似矩陣,或稱矩陣或稱矩陣A與與B相似相似.A相似于相似于B,也稱矩陣也稱矩陣A經(jīng)過相似變換化為經(jīng)過相似變換化為B,而可逆矩陣而可逆矩陣P稱為將稱為將A變?yōu)樽優(yōu)锽的相似變換矩陣的相似變換矩陣. P-1AP=B (2.1)相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-3 . 2211121

2、1PAPPAPPAAP (1) 反身性反身性 A與與A本身相似本身相似(2) 對稱性對稱性 若若A與與B相似相似,則則B與與A相似相似.(3) 傳遞性傳遞性 若若A與與B相似相似, B與與C相似相似,則則A與與C相似相似.3. 若若A與與B相似相似, 則則Am與與Bm相似相似.(m為正整數(shù)為正整數(shù)).相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-4事實(shí)上事實(shí)上,因因AB, 則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣P,使使B=P-1AP于是于是 B2=(P-1AP)(P-1AP) =P-1A2P依此類推依此類推 Bm=P-1AmP .此結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法可以證此結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明

3、明若設(shè)若設(shè) AB, 且且(A)=a0+a1A +a2A2+ anAn ,則則 (B)=P-1(A)P 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-5 naaa00000021 mmmmnaaa00000021 naaa 00000021特別是特別是,當(dāng)當(dāng)A為對角矩陣時為對角矩陣時, 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-6若若n階矩陣階矩陣AB,則則A與與B有相同的多項(xiàng)式有相同的多項(xiàng)式,特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式,特征值特征值,秩秩,且可逆性相同且可逆性相同.若若AB, 則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣P,使得使得B=P-1AP(1) |B|=|P-1A

4、P|=|A|(2) 由于由于|B|=|A|,同時為同時為0或不為或不為0,故故A與與B同時同時可逆或不可逆可逆或不可逆.(3) 由于由于B=P-1AP,則則A與與B相同的秩相同的秩.(4) 由于由于|B-E|=|P-1AP- P-1(E)P|=|P-1(A-E)P|=|A-E|所以所以A與與B有相同的特征多項(xiàng)式與特征值有相同的特征多項(xiàng)式與特征值.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-7 n 21若若n階方陣階方陣A與對角陣與對角陣相似相似, ,則則1,2, ,n為為A的的n個特征值個特征值. .若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣P,使使P-1AP=為對角矩陣為對角矩陣,則

5、有則有Ak=P kP-1 , (A)=P()P-1 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-8,其其中中,21 knkkk,)()()()(111 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-9對于對于n階矩陣階矩陣A,若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣P,使使P-1AP=為對角陣為對角陣,則稱將方陣則稱將方陣A對角化對角化.n階矩陣階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是與對角陣相似的充分必要條件是是矩陣是矩陣A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.假設(shè)假設(shè)A ,則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣P,使使P-1AP=于是有于是有 AP=P記記 P=(

6、1, 2, n) 其中其中 j (1,2, ,n)是矩陣是矩陣P第第j列構(gòu)成的列向量列構(gòu)成的列向量. 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-10 nnnA 212121, .,2211nn nnAAAA ,2121 ., 2 , 1niAiii nn ,2211 于是有于是有矩陣相等矩陣相等因因P可逆可逆,故故|P|0,于是于是j(j=1,2, ,n)均為非零均為非零向量向量,且且1, 2, n線性無關(guān)線性無關(guān).相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-11于是知于是知 1, 2, n是矩陣是矩陣A分別屬于分別屬于1,2, ,n的線性無關(guān)的特

7、征向量的線性無關(guān)的特征向量.上述過程均可逆上述過程均可逆,故充分性得證故充分性得證.由證明過程知由證明過程知 矩陣矩陣P的列向量的列向量i是是A的的屬于特征值屬于特征值i的特征向量的特征向量.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-122009.7.224-1-132009.7.224-1-14解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng)1=2= 2時時,有有(A-2E)x=0當(dāng)當(dāng)3=-7時時,有有(A+7E)x=0得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-15因因所以所以1, 2, 3線性無關(guān)線性無關(guān).故故A有有3個個線性無關(guān)的特征向

8、量線性無關(guān)的特征向量,因而因而A可以可以對角化對角化.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-16(2) 求矩陣求矩陣A的特征值與特征向量的特征值與特征向量A的特征值的特征值 1=2=3=-1 當(dāng)當(dāng)1=2=3=-1時時,有有(A+E)x=0解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故故A不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-17A能否對角化？若能能否對角化？若能對角化對角化,則求出可逆矩陣則求出可逆矩陣P,使使P-1AP為對角陣為對角陣.A的特征值的特征值 1=2= 1,3=-2 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化

9、2009.7.224-1-18解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng)1=2= 1時時,有有(A-E)x=0當(dāng)當(dāng)3=-2時時,有有(A-2E)x=0得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-19因因所以所以1, 2, 3線性無關(guān)線性無關(guān).故故A有有3個個線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量,因而因而A可以可以對角化對角化.令令則有則有相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-20要相對應(yīng)要相對應(yīng) 即矩陣即矩陣P的列向量與對角陣中特征值的位置的列向量與對角陣中特征值的位置相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-

10、21 n階方陣階方陣A與對角矩陣相似的充分必要條件與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個是對于每一個ni重特征根重特征根i ,矩陣矩陣i E-A的秩為的秩為n-ni. 例例2中的方陣中的方陣A可對角化的理論依據(jù)可對角化的理論依據(jù).若求若求A50,只需利用只需利用A50=P-150P即可即可.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-22 在在n階矩陣階矩陣A=(aij)中中,如果如果aii=(i=1,2, ,n), aii+1=1 (i=1,2, ,n-1), aij= (ij, ji+1)稱此矩陣為約當(dāng)塊稱此矩陣為約當(dāng)塊.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化20

11、09.7.224-1-23若一個準(zhǔn)對角矩陣的主對角線上的各子塊均為若一個準(zhǔn)對角矩陣的主對角線上的各子塊均為約當(dāng)塊約當(dāng)塊,即即稱此矩陣為約當(dāng)矩陣稱此矩陣為約當(dāng)矩陣,或稱為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型或稱為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型. 對角矩陣可看成約當(dāng)矩陣對角矩陣可看成約當(dāng)矩陣,每一個約當(dāng)塊每一個約當(dāng)塊是一階矩陣是一階矩陣.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-24 3000013000001000011000011 200000120000012000000500000010000011任一個任一個n階矩陣階矩陣A,都存在可逆矩陣都存在可逆矩陣T,使使 即即 任一個任一個n階矩陣階矩陣A,都與都與n

12、階約當(dāng)矩陣階約當(dāng)矩陣J相似相似.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-25相似變換相似變換是對方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算是對方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算,它把它把A變成變成P-1AP,而可逆矩陣而可逆矩陣P稱為進(jìn)行這一變換的稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系相似是矩陣之間的一種關(guān)系,它具有很多良好的它具有很多良好的性質(zhì)性質(zhì),除了課堂內(nèi)介紹的以外除了課堂內(nèi)介紹的以外,還有：還有：(1)若若AB, 則則kAkB, k為常數(shù)為常數(shù)(1)若若AB, 而而f(x)是一多項(xiàng)式是一多項(xiàng)式, 則則f(A)f(B).相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-26,111111111 A.00100100 nB判斷矩陣判斷矩陣A與與B是否相似是否相似.相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化2009.7.224-1-27. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值為的特征值為因因解解使得使得矩陣矩陣存在可逆存在可逆是實(shí)對稱矩陣是實(shí)對稱矩陣又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )()det( 1 nnEB還可求