線線角-線面角的向量求法

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法線線角線線角,線面角線面角,二面角的求法二面角的求法問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根據(jù)據(jù)法法向向量量的的定定義義建建立立關(guān)關(guān)于于的的方方程程組組個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可?？伞？臻g空間“夾角夾角”問題問題1.異面直線所成角異面直線所成角設(shè)直線設(shè)直線, l

2、m的方向向量分別為的方向向量分別為, a b lamlamb 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , 則則, l m(0)2cosa ba b 例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中點(diǎn)、 ，11BDAF求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以點(diǎn)解：以點(diǎn)C C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) 則：則： Cxyz11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所

3、以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AFBDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF3010212)0,20(21ABn221212. 線面角線面角設(shè)設(shè)n為平面為平面 的法向量，直線的法向量，直線AB與平面與平面 所所成的角為成的角為 ，向量，向量 與與n所成的角為所成的角為 ，則則1AB2n而利用而利用 可求可求 ，從而再求出從而再求出 2.1nABnAB2cos2. 線面角線面角 ua ula 設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ， 平面平面 的法向量為的法向量為 ，且，且直

4、線直線 與平面與平面 所成的角為所成的角為 ( ), 則則a u l02 c o s,s inauuaau 1212例例3 3、 的棱長為 1.111.B CAB C求與 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系.11(010)則，- ， ，BC B 11 平面AB C的一個(gè)法向量為D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF練習(xí)： ABCD1A1B1C1D正方體正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為1。求職：求職： B1C1與平面與平面AB1C所成角

5、的正弦值所成角的正弦值練習(xí)： ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，解：設(shè)正方體棱長為解：設(shè)正方體棱長為1，1AB AD AA ， ，為單以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 則， ，1()ABCnxyz設(shè)為， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 則，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABC正方體正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為1。求職：求職： B1C1與平面與平面AB1C所成角的正弦值所成角的正弦值已知兩平面的法向量分別已知兩平