地下建筑結(jié)構(gòu)-第03節(jié)-彈性地基梁

1、2021/3/271彈性地基梁理論彈性地基梁理論2021/3/2721. 概述概述定義定義: :彈性地基梁彈性地基梁, ,是指擱置在具有一定是指擱置在具有一定彈性地基彈性地基上上, ,各點與地基緊密相貼各點與地基緊密相貼的梁的梁 。如鐵路枕木、鋼筋如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎梁混凝土條形基礎梁, ,等等。等等。 作用作用: :通過這種梁通過這種梁,將作用在它上面的荷載將作用在它上面的荷載,分分布到較大面積的地基上布到較大面積的地基上,既使承載能力較低的地既使承載能力較低的地基基,能承受較大的荷載能承受較大的荷載,又能使梁的變形減小又能使梁的變形減小,提提高剛度降低內(nèi)力。高剛度降低內(nèi)力。202

2、1/3/2731. 概述概述地下建筑結(jié)構(gòu)的計算地下建筑結(jié)構(gòu)的計算,與彈性地基梁理論有密與彈性地基梁理論有密切關系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是切關系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是平放平放的的,也可以是也可以是豎放的豎放的,地基介質(zhì)可以是巖石、粘地基介質(zhì)可以是巖石、粘土等土等固體材料固體材料,也可以是水、油之類的也可以是水、油之類的液體介液體介質(zhì)質(zhì)。彈性地基梁是。彈性地基梁是超靜定超靜定梁梁,其計算有專門的其計算有專門的一套計算理論。一套計算理論。2021/3/2741. 荷載種類和組合荷載種類和組合彈性地基梁與普通梁的區(qū)別彈性地基梁與普通梁的區(qū)別: :u普通梁只在有限個支座處與基礎相連普通梁只

3、在有限個支座處與基礎相連, ,是有限個是有限個未知力未知力 , ,彈性地基梁具有無窮多個支點和無窮多個彈性地基梁具有無窮多個支點和無窮多個未知反力。未知反力。u超靜定次數(shù)是無限還是有限超靜定次數(shù)是無限還是有限, ,這是它們的一個主要區(qū)別這是它們的一個主要區(qū)別u普通梁的支座通?？醋鲃傂灾ё胀旱闹ёǔ？醋鲃傂灾ё? ,即可以略去地基即可以略去地基的變形的變形, ,只考慮梁的變形只考慮梁的變形, ,彈性地基梁則必須同時彈性地基梁則必須同時考慮地基的變形?？紤]地基的變形。u地基的變形是考慮還是略去地基的變形是考慮還是略去, ,這是它們的另一個這是它們的另一個主要區(qū)別。主要區(qū)別。 2021/3/2

4、752. 彈性地基梁的計算模型彈性地基梁的計算模型計算模型分類計算模型分類: :.1.1. 局部彈性地基模型局部彈性地基模型2. 2. 半無限體彈性地基模型半無限體彈性地基模型 2021/3/2761. 局部彈性地基模型 1867 1867年前后年前后, ,溫克爾（溫克爾（E.WinklerE.Winkler）假設）假設: :地基表面任一點的沉降與該點單位面積上所受的壓地基表面任一點的沉降與該點單位面積上所受的壓力成正比力成正比。即。即kpy 彈性底座圖3.1 局部彈性地基模型 （3-1） 2021/3/277優(yōu)點優(yōu)點: 可以考慮梁本身的實際彈性變形可以考慮梁本身的實際彈性變形,消除了反力直消

5、除了反力直線分布假設中的缺點。線分布假設中的缺點。1. 局部彈性地基模型缺點缺點: 沒有反映地基的沒有反映地基的變形連續(xù)性變形連續(xù)性,故溫克爾假設不故溫克爾假設不能全面反映地基梁的實際情況。能全面反映地基梁的實際情況。2021/3/2782. 半無限體彈性地基模型 把地基看作一個把地基看作一個均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無限體均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無限體（所謂（所謂半無限體是指占據(jù)整個空間下半部的物體半無限體是指占據(jù)整個空間下半部的物體,即上表面即上表面是一個平面是一個平面,并向四周和向下方無限延伸的物體）。并向四周和向下方無限延伸的物體）。 假設假設:優(yōu)點優(yōu)點:1、地基的連續(xù)整體性、地基的連續(xù)整體性;

6、2、幾何物理上簡化模型、幾何物理上簡化模型 缺點缺點:1、地基土非連續(xù)、地基土非連續(xù);2、地基土非均質(zhì)、地基土非均質(zhì);2021/3/279圖3.2 彈性地基梁的受力和變形2021/3/27103.3.彈性地基梁的撓度曲線微分方程彈性地基梁的撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解式及其初參數(shù)解 基本假設基本假設: :2021/3/27111.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 圖3.3 彈性地基梁的微元分析 左圖所示為局部彈性地基梁上的長為l、寬度為b單位寬度1的等截面直梁,在荷載 及Q作用下,梁和地基的沉陷為 ,梁與地基之間的反力為 。 在局部彈性地基梁的計算中,通常以沉陷函數(shù) 作為基本未知量,地基梁在外

7、荷載 、 Q作用下產(chǎn)生變形,最終處于平衡狀態(tài),選取坐標系xoy,外荷載,地基反力,梁截面內(nèi)力及變形正負號規(guī)定如右圖所示。 xq xy x xy xq2021/3/27121.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 為建立 應滿足的撓曲微分方程,在梁中截取一微段 ,考察該段的平衡有: xyxd0)()(xxdqkydxdQQQ得: 0M2)()()(2)(dxqddQQdMMMxx02)(2dxdxdMQ xqkydxMddxdQ22, 0Y得：)(xqkydxdQ化簡得： 將上式對于x求導得:略去二階微量得:（3-2） （3-3） （3-4）2021/3/2713 如果梁的撓度已知,則梁任意截面的轉(zhuǎn)角

8、Q,彎矩M,剪力Q可按材料力學中的公式來計算,即:1.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 22332424443.53.5,3.43.6xdydxdd yMEIEIdxdxdMd yQEIdxdxd Md yEIdxdxd yEIkyqdx 由式有代入式得此即為彈性地基梁的撓曲微分方程式2021/3/2714令 , 若地基梁寬度為b,則有 2. 對應齊次微分方程的通解 上面推導得彈性地基梁的撓曲微分方程式是一個四階常系數(shù)線性非齊次微分方程,令式中 oqx,即得對應齊次微分方程:044 kydxydEI由微分方程理論知,上述方程的通解由四個線性無關的特解組合而成。為尋找四個線性無關的特解,令rxey

9、并代入上式有:由復數(shù)開方根公式得:3 , 2 , 1 , 042sin424kkikCOSEIKrk4EIK4EIKb 是與梁和地基的彈性性質(zhì)相關的一個綜合參數(shù),反映了地基梁與地基的相對剛度,對地基梁的受力特性和變形有重要影響,通常把稱為特征系數(shù)，稱為換算長度。（3.7）（3.8）（3.9）EIK4或sincos4iEIKl2021/3/2715常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程2021/3/2716一般形式01)1(1)(ypypypynnnn(8)二階0 qyypy(9)設想(9)有形式解 y = erx (為什么為什么?)2021/3/2717(10)r2 + pr + q =

10、 0故有(10)式稱為(9)的特征方程, 分三種情形討論(i) = p2 4q 0, (10)有兩個不等實根 r1, r2.,)9(, 2121的二個線性無關的解是則xrxreyey(9)的通解為xrxreCeCy2121 代入得(r2 + pr + q ) erx = 02021/3/2718(ii) = 0, r1= r2( = r)此時 y1 = erx . xyeyyxpd21d12xeeerxpxrxd2xeeprrxd)2(xerx(9)的通解為rxexCCy)(212021/3/2719(iii) 0, r1,2 = i 為一對共軛復根.得(9)的兩個復數(shù)形式的解Y1 = e(

11、+ i)x,Y2 = e( i)x由疊加原理, 知2211YYyxexcosiYYy2212xexsin也是(9)的解, 且線性無關,)sincos(21xCxCeyx 故(9)的通解為2021/3/2720特征根特征根方程的通解方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCCye )(21 一對共軛復根r1,2= i)sincos(e21xCxCyx兩個不等的實根r1, r2兩個相等的實根r1=r2=r( 0)例例7. 求解方程yy 6y = 0 的通解.解解:特征方程是r2 r 6 = 0其根r1=3, r2= 2是兩個相異實根, 故所求通解為 y = C1e3x + C2e2x.2021/

12、3/2721例例8. 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.解解:特征方程是4r2 +12r + 9 = 0.此方程有二重實根 .2321 rr故所求通解為.)(2321xexCCy2021/3/2722例例9. 求解方程 y6y+13y=0.解解:特征方程是 r2 6r + 13 = 0.其根 r1,2=32i為一對共軛復根,)2sin2cos(213xCxCeyx故所求通解為2021/3/2723特征根特征根對應的線性無關的特解對應的線性無關的特解(1) 單實根 rrxye,e1rxy r1,2=i(2) k重實根 r,e2rxxy ,e1rxkkxy(3)一對單復根,cose1x

13、yxxyxsine2 r =i(4)一對k重復根,cose1xyx( 0)( 0),12xyy ,11yxykk,sin1xeyxk,12kkxyy,112kkkyxy表表12-12021/3/2724例例10. 求解方程 y(4) 2y + 5y = 0.解解:特征方程為 r42r3+5r2=0.對應線性無關的特解為y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解為).2sin2cos(4321xCxCexCCyx其根為r1= r2=0, r3,4=12i.2021/3/27252. 對應齊次微分方程的通解 由上式（3.8）,分別令時k=1,2,3時,即可

14、得四個線性無關的特解,將其進行組合并引入四個積分常數(shù),即得齊次微分方程式（3.7）的通解;xAxAexAxAeyxxsincossincos4321利用雙曲函數(shù)關系: ,xxech xsh x ech xsh x且令 42421332221121,2121,21BBABBABBABBA則有 xxshBxxshBxxchBxxchBysincossincos4321式中B1、B2、B3、及B4均為待定積分常數(shù)式（3.10）和式（3.11）均為微分方程（3.7）的通解,在不同的問題中,有各自不同的方便之處。（3.10）（3.11）2021/3/2726（一）初參數(shù)法 3. 初參數(shù)解 由式（3.11

15、）,再據(jù)式（3.5）有xxshxxchBxxshxxchBxxshxxchBxxshxxchBEIQxxchBxxchBxxshBxxshBEIMxxchxxshBxxchxxshBxxshxxchBxxshxxchBxxshBxxshBxxchBxxchBycossinsincossincoscossin2cossincossin2sincoscossinsincoscossin2sincossincos432134321243214321（3.12） 式（3.12）中積分常數(shù)B1、B2、B3、B4的確定是一個重要環(huán)節(jié)，梁在任一截面都有四個參數(shù)量，即撓度y、轉(zhuǎn)角 、彎矩M、剪力Q、而初始截面

16、（x=o）的四個參數(shù) 、 、 、 就叫做初參數(shù)。 oyooMoQ2021/3/2727 用初參數(shù)法計算了彈性地基梁的基本思路是,把四個積分常數(shù)改用四個初參數(shù)來表示,這樣做的好處是:l使積分常數(shù)具有明確的物理意義使積分常數(shù)具有明確的物理意義;l根據(jù)初參數(shù)的物理意義來尋求簡化計算的途徑。根據(jù)初參數(shù)的物理意義來尋求簡化計算的途徑。3. 初參數(shù)解 （二）用初參數(shù)表示積分常數(shù)（二）用初參數(shù)表示積分常數(shù)如圖3.4所示,梁左端的四個邊界條件（初參數(shù)）為oxoxoxoxQoQMoMoyoy （3.13） 將上式代入式（3.12）,解出積分常數(shù)得:2021/3/2728ooooooMEIBQEIBQEIByB3

17、4333212141214121（3.14） 3. 初參數(shù)解 再將式（3.14）代入式（3.12）,并注意 ,則有44EIkb1433222143323223144322142214222221ooooooooooooooooQMbkbkyQQMbkbkyMbkQbkMybkQbkMyy（3.15） 2021/3/27293. 初參數(shù)解 xxshxxchxxshxxshxxchxxchcossinsincossincos43213423124122dddddddd其中 、 、 、 及稱為雙曲線三角函數(shù),它們之間有如下微分關系:12342021/3/27303. 初參數(shù)解 2021/3/2731

18、 式（3.7）等價于地基梁僅在初參數(shù)作用下的撓曲微分方程,式（3.6）等價于地基梁既有初參數(shù)作用,又有外荷載作用的撓曲微分方程,其特解項就是僅在外荷載作用下引起的梁撓度的附加項。下面根據(jù)梁上作用的各種形式荷載分別加以討論。4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （一）集中荷載作用的特解項（一）集中荷載作用的特解項1、集中力作用的特解項。、集中力作用的特解項。 如圖3.5為一彈性地基梁,O端作用有初參數(shù) 、 、 、 ,A點有集中力p。設y1為OA段的撓度表達式,y2為AB段的撓度表達式,由梁上無分布荷載作用,故OA和AB段的撓曲微分方程分別為oyooMoQ圖3.5 集中力作用于地基梁44114442

19、2443.1643.16d yyoadxd yyobdx2021/3/27324. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 其中pxxx式（3.16a）的解可用梁端初參數(shù)來表示,即432211221bkQbkMyyoooo（3.17） 式（3.16b）的解可用初參數(shù)作用下的解y1與集中力pi單獨作用下引起的附加項疊加,即 將式（3.18）代入式（3.16b）,并注意式（3.16a）有ypyy12oyxdypdp4444（3.19） 比較式（3.16a）和式（3.16b）知,式（3.19）解的形式與式 （3.17）相同,不同之處是將x換為 ,四個初參數(shù)應解釋為 處的突變撓度 ,轉(zhuǎn)角 ,彎矩 ,剪力 ,故有

20、 xpxx 1Ay1A1AM1AQpApApApApxxbkQxxbkMxxxxyy413212111221（3.20）2021/3/27334. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 由A點的變形連續(xù)條件和受力情況有1111,AAAyMAo Qpi 代入式（3.20）,并據(jù)式（3.5）得pxxpxxpxxpxxpxxpiQpiMbkpibkpiypppp1232422（3.21） 當 時,取特解項為零。xpx2021/3/27344. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 2、集中力偶、集中力偶mi作用的特解項。作用的特解項。 由pi作用下特解項的推導結(jié)果可知,撓度附加項形式與初參數(shù)Q。作用下的撓度相同,只

21、是坐標起點與符號不同。同理,在集中力偶mi作用下?lián)隙雀郊禹椗c初參數(shù)M。作用下?lián)隙纫簿哂邢嗤男问?如圖3.6所示,Mo=Mi,故有mxxmxxmxxmxxmxxmiQmiMbkmibkmymmmm41233222（3.22） 當 時,取特解項為零。mxx2021/3/27354. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （二）分布荷載作用下的特解項（二）分布荷載作用下的特解項 分布荷載可分解成多個集中力,按集中力求特解項,為此,在x截面左邊,離端點的距離為u處取微段du,微段上荷載為qdu,此微荷載在它右邊的截面x處引起的撓度特解項為（如圖3.7）而x截面以左所有荷載引起的特解項為 uxbkqdudy4

22、22duuxxxqabkqy42（3-23）下面討論分布荷載的幾種特殊情況。2021/3/27364. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 1、均布荷載、均布荷載 如圖3.7,荷載均布于ab段,對于oa段顯然沒有附加項,當 時,積分限是 ,由式（3.23）及式（3.5）有baxxxxxa,aaaaxxqxxqxxqxxqqQqMbkbkqy222412221（3.24）當 時,積分限是（xa、xb）,由式（3.23）及式(3.5)有bxx ababababxxxxqxxxxqxxxxqxxxxqqQqMbkbkqy2223324411222（3.25） 2021/3/27374. 彈性地基梁撓曲微分

23、方程的特解 當荷載滿跨均布時,積分限是（o、x）,故有232412221qQqMbkbkqyqqqq（3.26） 2、三角形分布荷載、三角形分布荷載如圖3.8所示,三角形荷載分布于ab段,有duxxququxbkya42 (3.27)2021/3/2738當 時,積分限為 ,由式（3.27）及式 （3.5）得4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 baxxxaaaaxxabqxxabqxxabqxxaabqxxqQxxqMbkxxqxxxxkqy32231221411121 （3.28）xxa,當 時，積分限是 ，同理得bxx baxx ,abbabbabbabbxxxxxxababqxxxxxx

24、ababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxqQxxxxqMxxxxkqxxxxkqy33244321142212122122121（3.29）2021/3/2739當三角形荷載布滿全跨時,積分限是（o、x）有32431224121lqQlqMbklqxbklqyqqqq （3.30）3、梁全跨布滿梯形荷載的特解項。、梁全跨布滿梯形荷載的特解項。如圖3.9所示的地基梁在梯形荷載作用下的特解項只須把式(3.26)與式（3.30）兩式疊加即可。4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 2021/3/27404. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （三）彈性地基梁在（三）彈性地基梁在 、 、

25、 、 、 、 、 共同作用下共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń鈸锨⒎址匠痰耐ń鈕yooMoQpiMiqq 如圖3.10所示的彈性地基梁,同時作用有集中力、力偶、均布載、三角載時,綜合各種荷載的影響,就可得出撓度的一般公式,進行微分運算后,還可得出轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力的一般公式,即圖3.9 梯形荷載作用于地基梁圖3.10 綜合荷載作用于地基梁2021/3/27414. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 式（3.31）中，當 ， 時，pi 、mi兩項取值為零。bxxmxx332411432224332221433214233232231421324421422224222421222222112222lqqm

26、ipQMbkbkyQlqqmipQMbkbkyMbklqbkqbkmipbkbkQbkMyxbklqbkqbkmibkpbkQyympmpmmxxxxiooooxxixxiooooxxxpxiooooxxxpxiooo（3.31）2021/3/27424.4.彈性地基短梁、長梁及剛性梁彈性地基短梁、長梁及剛性梁短梁（又稱有限長梁）（圖3.11（a）,當彈性地基梁的換算長度 時,屬于短梁,它是彈性地基梁的一般情況。長梁:無限長梁（圖3.11（b）、半無限長梁（圖3.11（c）。當換算長度 時,屬于長梁;若荷載作用點距梁兩端的換算長度均 時,可忽略該荷載對梁端的影響,這類梁稱為無限長梁;若荷載作用

27、點僅距梁一端的換算長度 時,可忽略該荷載對這一端的影響,而對另一端的影響不能忽略,這類梁稱為半無限長梁,無限長梁可化為兩上半無限長梁。剛性梁（3.11（b）,當換算長度 時,屬于剛性梁。這時,可認為梁是絕對剛性的,即EI或20。 上節(jié)的結(jié)果,能直接用于計算各種幾何尺寸及彈性特征值 的彈性地基等截面直梁。在工程實踐中,經(jīng)計算比較及分析表明,可根據(jù)不同的換算長度 ,將地基梁進行分類,然后采用不同的方法進行簡化。通常將彈性地基梁分為三種類型。l彈性地基梁的分類彈性地基梁的分類75. 2175. 275. 275. 212021/3/2743長梁、短梁和剛性梁的劃分標準主要依據(jù)梁的實際長度與梁和地基長

28、梁、短梁和剛性梁的劃分標準主要依據(jù)梁的實際長度與梁和地基的相對剛度之乘積的相對剛度之乘積,劃分的目的是為了簡化計算。事實上劃分的目的是為了簡化計算。事實上,長梁和剛性長梁和剛性梁均可按上一節(jié)介紹的公式進行計算梁均可按上一節(jié)介紹的公式進行計算,但長梁、剛性梁與短梁相比有但長梁、剛性梁與短梁相比有其自身的一些特點其自身的一些特點,較短梁相比較短梁相比,計算可以進一步簡化。計算可以進一步簡化。2021/3/27441.1.長梁的計算長梁的計算 （一）無限長梁作用集中力（一）無限長梁作用集中力Pi的計算的計算 如圖3.12所示,梁上作用有集中力Pi,由于力作用點至兩端點均滿足 ,故把梁看作無限長梁。又

29、因梁上分布荷載 ,為便于分析,現(xiàn)采用梁撓曲方程齊次解式的形式,即 由條件 ;又由對稱條件知: 考慮地基反力與外載Pi的平衡條件:75. 22 oqxxAxAexAxAeyxxsincossincos4321oAAoxy21:|有AAAoxdxdy43,|故kbPAPdxxxekbAiiox2sincos2式（3.10）可寫為xxekbPyxisincos2 （3.32）2021/3/2745最后可得無限長梁右半部分的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力:1.1.長梁的計算長梁的計算 65827242iiiiPQPMkbPkbPy （3.33）其中 xxexsincos5xexxexexxxsinsincos

30、cos876對于梁的左半部分,只需將式（3.33）中Q和改變符號即可。2021/3/2746（二）無限長梁在集中力偶（二）無限長梁在集中力偶mimi作用下的計算作用下的計算 如圖3.13(a)所示無限長梁,作和集中力偶,盡管mi作用點并不一定在梁的對稱截面上，但只要mi作用點到兩端滿足 ，則mi作用點，就可看作是梁的對稱點，因而可把梁分為兩根半無限長梁（圖3.13(b)、（c）)。梁對稱截面上的反對稱條件為75. 22|ioxoxmMoy2021/3/2747 代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及 ,最后得無限長梁右半部分的變形及內(nèi)力為:bkmAi2476538222iiiimQmMkb

31、mkbmy （3.34）對于左半部分,只需將上式中y與M變號即可。（二）無限長梁在集中力偶（二）無限長梁在集中力偶mimi作用下的計算作用下的計算 2021/3/2748（三）半無限長梁作用初參數(shù)的計算（三）半無限長梁作用初參數(shù)的計算如圖（3.14）所示的半無限長梁,梁端作用有初參數(shù),因 ,故可借助撓曲方程齊次解的結(jié)果,為了方便分析,采用式（3.11）的形式: oxqxxshBchBxxshBchBysincos4231由 代入上式得oyxoxshBxchBoxshBxchB4231故有B1=-B3,B2=-B42021/3/2749再由 得,oxoxQoQMoM22231222EIMBEIM

32、EIQBooo最后得 85786725621222ooooooooMQQMQMMQkMQbky （3.35）如梁端作用有初參數(shù) 、 ,則可得 、 與 、 之間的關系為oyooyooMoQoooooMQbkoMQbky2222（三）半無限長梁作用初參數(shù)的計算（三）半無限長梁作用初參數(shù)的計算2021/3/2750（四）半無限長梁在梯形荷載作用下的計算（四）半無限長梁在梯形荷載作用下的計算 如圖3.15所示的半無限長梁,作用分布荷載q、q,撓曲方程為式（3.7）。容易驗證, 是式（3.7）的一個特解,故在梯形分布荷載作用下半無限長梁任一截面的變形與內(nèi)力為:oQoMbklqqbitxbkqy （3.36） bkqyx2021/3/27512. 剛性梁的計算剛性梁的計算 如圖3.16所示的則性梁,梁端作用有初參數(shù) 和 ,并有梯形分布的荷載作用,顯然,地基反力也呈梯形分布,接靜定梁的平衡條件,可得剛性梁的變形與內(nèi)力為:oyoxqqxkxkxyQxqqxxkxkyMxyyooooooo2216262123232 （3.37） 2021/3