地下建筑結(jié)構(gòu)-第03節(jié)-彈性地基梁

1、2021/3/271彈性地基梁理論彈性地基梁理論2021/3/2721. 概述概述定義定義: :彈性地基梁彈性地基梁, ,是指擱置在具有一定是指擱置在具有一定彈性地基彈性地基上上, ,各點(diǎn)與地基緊密相貼各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁的梁 。如鐵路枕木、鋼筋如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁混凝土條形基礎(chǔ)梁, ,等等。等等。 作用作用: :通過(guò)這種梁通過(guò)這種梁,將作用在它上面的荷載將作用在它上面的荷載,分分布到較大面積的地基上布到較大面積的地基上,既使承載能力較低的地既使承載能力較低的地基基,能承受較大的荷載能承受較大的荷載,又能使梁的變形減小又能使梁的變形減小,提提高剛度降低內(nèi)力。高剛度降低內(nèi)力。202

2、1/3/2731. 概述概述地下建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算地下建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算,與彈性地基梁理論有密與彈性地基梁理論有密切關(guān)系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是切關(guān)系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是平放平放的的,也可以是也可以是豎放的豎放的,地基介質(zhì)可以是巖石、粘地基介質(zhì)可以是巖石、粘土等土等固體材料固體材料,也可以是水、油之類的也可以是水、油之類的液體介液體介質(zhì)質(zhì)。彈性地基梁是。彈性地基梁是超靜定超靜定梁梁,其計(jì)算有專門的其計(jì)算有專門的一套計(jì)算理論。一套計(jì)算理論。2021/3/2741. 荷載種類和組合荷載種類和組合彈性地基梁與普通梁的區(qū)別彈性地基梁與普通梁的區(qū)別: :u普通梁只在有限個(gè)支座處與基礎(chǔ)相連普通梁只

3、在有限個(gè)支座處與基礎(chǔ)相連, ,是有限個(gè)是有限個(gè)未知力未知力 , ,彈性地基梁具有無(wú)窮多個(gè)支點(diǎn)和無(wú)窮多個(gè)彈性地基梁具有無(wú)窮多個(gè)支點(diǎn)和無(wú)窮多個(gè)未知反力。未知反力。u超靜定次數(shù)是無(wú)限還是有限超靜定次數(shù)是無(wú)限還是有限, ,這是它們的一個(gè)主要區(qū)別這是它們的一個(gè)主要區(qū)別u普通梁的支座通?？醋鲃傂灾ё胀旱闹ёǔ？醋鲃傂灾ё? ,即可以略去地基即可以略去地基的變形的變形, ,只考慮梁的變形只考慮梁的變形, ,彈性地基梁則必須同時(shí)彈性地基梁則必須同時(shí)考慮地基的變形。考慮地基的變形。u地基的變形是考慮還是略去地基的變形是考慮還是略去, ,這是它們的另一個(gè)這是它們的另一個(gè)主要區(qū)別。主要區(qū)別。 2021/3/2

4、752. 彈性地基梁的計(jì)算模型彈性地基梁的計(jì)算模型計(jì)算模型分類計(jì)算模型分類: :.1.1. 局部彈性地基模型局部彈性地基模型2. 2. 半無(wú)限體彈性地基模型半無(wú)限體彈性地基模型 2021/3/2761. 局部彈性地基模型 1867 1867年前后年前后, ,溫克爾（溫克爾（E.WinklerE.Winkler）假設(shè)）假設(shè): :地基表面任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)單位面積上所受的壓地基表面任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)單位面積上所受的壓力成正比力成正比。即。即kpy 彈性底座圖3.1 局部彈性地基模型 （3-1） 2021/3/277優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): 可以考慮梁本身的實(shí)際彈性變形可以考慮梁本身的實(shí)際彈性變形,消除了反力直消

5、除了反力直線分布假設(shè)中的缺點(diǎn)。線分布假設(shè)中的缺點(diǎn)。1. 局部彈性地基模型缺點(diǎn)缺點(diǎn): 沒有反映地基的沒有反映地基的變形連續(xù)性變形連續(xù)性,故溫克爾假設(shè)不故溫克爾假設(shè)不能全面反映地基梁的實(shí)際情況。能全面反映地基梁的實(shí)際情況。2021/3/2782. 半無(wú)限體彈性地基模型 把地基看作一個(gè)把地基看作一個(gè)均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無(wú)限體均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無(wú)限體（所謂（所謂半無(wú)限體是指占據(jù)整個(gè)空間下半部的物體半無(wú)限體是指占據(jù)整個(gè)空間下半部的物體,即上表面即上表面是一個(gè)平面是一個(gè)平面,并向四周和向下方無(wú)限延伸的物體）。并向四周和向下方無(wú)限延伸的物體）。 假設(shè)假設(shè):優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):1、地基的連續(xù)整體性、地基的連續(xù)整體性;

6、2、幾何物理上簡(jiǎn)化模型、幾何物理上簡(jiǎn)化模型 缺點(diǎn)缺點(diǎn):1、地基土非連續(xù)、地基土非連續(xù);2、地基土非均質(zhì)、地基土非均質(zhì);2021/3/279圖3.2 彈性地基梁的受力和變形2021/3/27103.3.彈性地基梁的撓度曲線微分方程彈性地基梁的撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解式及其初參數(shù)解 基本假設(shè)基本假設(shè): :2021/3/27111.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 圖3.3 彈性地基梁的微元分析 左圖所示為局部彈性地基梁上的長(zhǎng)為l、寬度為b單位寬度1的等截面直梁,在荷載 及Q作用下,梁和地基的沉陷為 ,梁與地基之間的反力為 。 在局部彈性地基梁的計(jì)算中,通常以沉陷函數(shù) 作為基本未知量,地基梁在外

7、荷載 、 Q作用下產(chǎn)生變形,最終處于平衡狀態(tài),選取坐標(biāo)系xoy,外荷載,地基反力,梁截面內(nèi)力及變形正負(fù)號(hào)規(guī)定如右圖所示。 xq xy x xy xq2021/3/27121.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 為建立 應(yīng)滿足的撓曲微分方程,在梁中截取一微段 ,考察該段的平衡有: xyxd0)()(xxdqkydxdQQQ得: 0M2)()()(2)(dxqddQQdMMMxx02)(2dxdxdMQ xqkydxMddxdQ22, 0Y得：)(xqkydxdQ化簡(jiǎn)得： 將上式對(duì)于x求導(dǎo)得:略去二階微量得:（3-2） （3-3） （3-4）2021/3/2713 如果梁的撓度已知,則梁任意截面的轉(zhuǎn)角

8、Q,彎矩M,剪力Q可按材料力學(xué)中的公式來(lái)計(jì)算,即:1.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 22332424443.53.5,3.43.6xdydxdd yMEIEIdxdxdMd yQEIdxdxd Md yEIdxdxd yEIkyqdx 由式有代入式得此即為彈性地基梁的撓曲微分方程式2021/3/2714令 , 若地基梁寬度為b,則有 2. 對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解 上面推導(dǎo)得彈性地基梁的撓曲微分方程式是一個(gè)四階常系數(shù)線性非齊次微分方程,令式中 oqx,即得對(duì)應(yīng)齊次微分方程:044 kydxydEI由微分方程理論知,上述方程的通解由四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解組合而成。為尋找四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,令rxey

9、并代入上式有:由復(fù)數(shù)開方根公式得:3 , 2 , 1 , 042sin424kkikCOSEIKrk4EIK4EIKb 是與梁和地基的彈性性質(zhì)相關(guān)的一個(gè)綜合參數(shù),反映了地基梁與地基的相對(duì)剛度,對(duì)地基梁的受力特性和變形有重要影響,通常把稱為特征系數(shù)，稱為換算長(zhǎng)度。（3.7）（3.8）（3.9）EIK4或sincos4iEIKl2021/3/2715常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程2021/3/2716一般形式01)1(1)(ypypypynnnn(8)二階0 qyypy(9)設(shè)想(9)有形式解 y = erx (為什么為什么?)2021/3/2717(10)r2 + pr + q =

10、 0故有(10)式稱為(9)的特征方程, 分三種情形討論(i) = p2 4q 0, (10)有兩個(gè)不等實(shí)根 r1, r2.,)9(, 2121的二個(gè)線性無(wú)關(guān)的解是則xrxreyey(9)的通解為xrxreCeCy2121 代入得(r2 + pr + q ) erx = 02021/3/2718(ii) = 0, r1= r2( = r)此時(shí) y1 = erx . xyeyyxpd21d12xeeerxpxrxd2xeeprrxd)2(xerx(9)的通解為rxexCCy)(212021/3/2719(iii) 0, r1,2 = i 為一對(duì)共軛復(fù)根.得(9)的兩個(gè)復(fù)數(shù)形式的解Y1 = e(

11、+ i)x,Y2 = e( i)x由疊加原理, 知2211YYyxexcosiYYy2212xexsin也是(9)的解, 且線性無(wú)關(guān),)sincos(21xCxCeyx 故(9)的通解為2021/3/2720特征根特征根方程的通解方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCCye )(21 一對(duì)共軛復(fù)根r1,2= i)sincos(e21xCxCyx兩個(gè)不等的實(shí)根r1, r2兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2=r( 0)例例7. 求解方程yy 6y = 0 的通解.解解:特征方程是r2 r 6 = 0其根r1=3, r2= 2是兩個(gè)相異實(shí)根, 故所求通解為 y = C1e3x + C2e2x.2021/

12、3/2721例例8. 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.解解:特征方程是4r2 +12r + 9 = 0.此方程有二重實(shí)根 .2321 rr故所求通解為.)(2321xexCCy2021/3/2722例例9. 求解方程 y6y+13y=0.解解:特征方程是 r2 6r + 13 = 0.其根 r1,2=32i為一對(duì)共軛復(fù)根,)2sin2cos(213xCxCeyx故所求通解為2021/3/2723特征根特征根對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特解對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特解(1) 單實(shí)根 rrxye,e1rxy r1,2=i(2) k重實(shí)根 r,e2rxxy ,e1rxkkxy(3)一對(duì)單復(fù)根,cose1x

13、yxxyxsine2 r =i(4)一對(duì)k重復(fù)根,cose1xyx( 0)( 0),12xyy ,11yxykk,sin1xeyxk,12kkxyy,112kkkyxy表表12-12021/3/2724例例10. 求解方程 y(4) 2y + 5y = 0.解解:特征方程為 r42r3+5r2=0.對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)的特解為y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解為).2sin2cos(4321xCxCexCCyx其根為r1= r2=0, r3,4=12i.2021/3/27252. 對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解 由上式（3.8）,分別令時(shí)k=1,2,3時(shí),即可

14、得四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,將其進(jìn)行組合并引入四個(gè)積分常數(shù),即得齊次微分方程式（3.7）的通解;xAxAexAxAeyxxsincossincos4321利用雙曲函數(shù)關(guān)系: ,xxech xsh x ech xsh x且令 42421332221121,2121,21BBABBABBABBA則有 xxshBxxshBxxchBxxchBysincossincos4321式中B1、B2、B3、及B4均為待定積分常數(shù)式（3.10）和式（3.11）均為微分方程（3.7）的通解,在不同的問(wèn)題中,有各自不同的方便之處。（3.10）（3.11）2021/3/2726（一）初參數(shù)法 3. 初參數(shù)解 由式（3.11

15、）,再據(jù)式（3.5）有xxshxxchBxxshxxchBxxshxxchBxxshxxchBEIQxxchBxxchBxxshBxxshBEIMxxchxxshBxxchxxshBxxshxxchBxxshxxchBxxshBxxshBxxchBxxchBycossinsincossincoscossin2cossincossin2sincoscossinsincoscossin2sincossincos432134321243214321（3.12） 式（3.12）中積分常數(shù)B1、B2、B3、B4的確定是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，梁在任一截面都有四個(gè)參數(shù)量，即撓度y、轉(zhuǎn)角 、彎矩M、剪力Q、而初始截面

16、（x=o）的四個(gè)參數(shù) 、 、 、 就叫做初參數(shù)。 oyooMoQ2021/3/2727 用初參數(shù)法計(jì)算了彈性地基梁的基本思路是,把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來(lái)表示,這樣做的好處是:l使積分常數(shù)具有明確的物理意義使積分常數(shù)具有明確的物理意義;l根據(jù)初參數(shù)的物理意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。根據(jù)初參數(shù)的物理意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。3. 初參數(shù)解 （二）用初參數(shù)表示積分常數(shù)（二）用初參數(shù)表示積分常數(shù)如圖3.4所示,梁左端的四個(gè)邊界條件（初參數(shù)）為oxoxoxoxQoQMoMoyoy （3.13） 將上式代入式（3.12）,解出積分常數(shù)得:2021/3/2728ooooooMEIBQEIBQEIByB3

17、4333212141214121（3.14） 3. 初參數(shù)解 再將式（3.14）代入式（3.12）,并注意 ,則有44EIkb1433222143323223144322142214222221ooooooooooooooooQMbkbkyQQMbkbkyMbkQbkMybkQbkMyy（3.15） 2021/3/27293. 初參數(shù)解 xxshxxchxxshxxshxxchxxchcossinsincossincos43213423124122dddddddd其中 、 、 、 及稱為雙曲線三角函數(shù),它們之間有如下微分關(guān)系:12342021/3/27303. 初參數(shù)解 2021/3/2731

18、 式（3.7）等價(jià)于地基梁僅在初參數(shù)作用下的撓曲微分方程,式（3.6）等價(jià)于地基梁既有初參數(shù)作用,又有外荷載作用的撓曲微分方程,其特解項(xiàng)就是僅在外荷載作用下引起的梁撓度的附加項(xiàng)。下面根據(jù)梁上作用的各種形式荷載分別加以討論。4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （一）集中荷載作用的特解項(xiàng)（一）集中荷載作用的特解項(xiàng)1、集中力作用的特解項(xiàng)。、集中力作用的特解項(xiàng)。 如圖3.5為一彈性地基梁,O端作用有初參數(shù) 、 、 、 ,A點(diǎn)有集中力p。設(shè)y1為OA段的撓度表達(dá)式,y2為AB段的撓度表達(dá)式,由梁上無(wú)分布荷載作用,故OA和AB段的撓曲微分方程分別為oyooMoQ圖3.5 集中力作用于地基梁44114442

19、2443.1643.16d yyoadxd yyobdx2021/3/27324. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 其中pxxx式（3.16a）的解可用梁端初參數(shù)來(lái)表示,即432211221bkQbkMyyoooo（3.17） 式（3.16b）的解可用初參數(shù)作用下的解y1與集中力pi單獨(dú)作用下引起的附加項(xiàng)疊加,即 將式（3.18）代入式（3.16b）,并注意式（3.16a）有ypyy12oyxdypdp4444（3.19） 比較式（3.16a）和式（3.16b）知,式（3.19）解的形式與式 （3.17）相同,不同之處是將x換為 ,四個(gè)初參數(shù)應(yīng)解釋為 處的突變撓度 ,轉(zhuǎn)角 ,彎矩 ,剪力 ,故有

20、 xpxx 1Ay1A1AM1AQpApApApApxxbkQxxbkMxxxxyy413212111221（3.20）2021/3/27334. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有1111,AAAyMAo Qpi 代入式（3.20）,并據(jù)式（3.5）得pxxpxxpxxpxxpxxpiQpiMbkpibkpiypppp1232422（3.21） 當(dāng) 時(shí),取特解項(xiàng)為零。xpx2021/3/27344. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 2、集中力偶、集中力偶mi作用的特解項(xiàng)。作用的特解項(xiàng)。 由pi作用下特解項(xiàng)的推導(dǎo)結(jié)果可知,撓度附加項(xiàng)形式與初參數(shù)Q。作用下的撓度相同,只

21、是坐標(biāo)起點(diǎn)與符號(hào)不同。同理,在集中力偶mi作用下?lián)隙雀郊禹?xiàng)與初參數(shù)M。作用下?lián)隙纫簿哂邢嗤男问?如圖3.6所示,Mo=Mi,故有mxxmxxmxxmxxmxxmiQmiMbkmibkmymmmm41233222（3.22） 當(dāng) 時(shí),取特解項(xiàng)為零。mxx2021/3/27354. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （二）分布荷載作用下的特解項(xiàng)（二）分布荷載作用下的特解項(xiàng) 分布荷載可分解成多個(gè)集中力,按集中力求特解項(xiàng),為此,在x截面左邊,離端點(diǎn)的距離為u處取微段du,微段上荷載為qdu,此微荷載在它右邊的截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為（如圖3.7）而x截面以左所有荷載引起的特解項(xiàng)為 uxbkqdudy4

22、22duuxxxqabkqy42（3-23）下面討論分布荷載的幾種特殊情況。2021/3/27364. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 1、均布荷載、均布荷載 如圖3.7,荷載均布于ab段,對(duì)于oa段顯然沒有附加項(xiàng),當(dāng) 時(shí),積分限是 ,由式（3.23）及式（3.5）有baxxxxxa,aaaaxxqxxqxxqxxqqQqMbkbkqy222412221（3.24）當(dāng) 時(shí),積分限是（xa、xb）,由式（3.23）及式(3.5)有bxx ababababxxxxqxxxxqxxxxqxxxxqqQqMbkbkqy2223324411222（3.25） 2021/3/27374. 彈性地基梁撓曲微分

23、方程的特解 當(dāng)荷載滿跨均布時(shí),積分限是（o、x）,故有232412221qQqMbkbkqyqqqq（3.26） 2、三角形分布荷載、三角形分布荷載如圖3.8所示,三角形荷載分布于ab段,有duxxququxbkya42 (3.27)2021/3/2738當(dāng) 時(shí),積分限為 ,由式（3.27）及式 （3.5）得4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 baxxxaaaaxxabqxxabqxxabqxxaabqxxqQxxqMbkxxqxxxxkqy32231221411121 （3.28）xxa,當(dāng) 時(shí)，積分限是 ，同理得bxx baxx ,abbabbabbabbxxxxxxababqxxxxxx

24、ababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxqQxxxxqMxxxxkqxxxxkqy33244321142212122122121（3.29）2021/3/2739當(dāng)三角形荷載布滿全跨時(shí),積分限是（o、x）有32431224121lqQlqMbklqxbklqyqqqq （3.30）3、梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)。、梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)。如圖3.9所示的地基梁在梯形荷載作用下的特解項(xiàng)只須把式(3.26)與式（3.30）兩式疊加即可。4. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 2021/3/27404. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 （三）彈性地基梁在（三）彈性地基梁在 、 、

25、 、 、 、 、 共同作用下共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń鈸锨⒎址匠痰耐ń鈕yooMoQpiMiqq 如圖3.10所示的彈性地基梁,同時(shí)作用有集中力、力偶、均布載、三角載時(shí),綜合各種荷載的影響,就可得出撓度的一般公式,進(jìn)行微分運(yùn)算后,還可得出轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力的一般公式,即圖3.9 梯形荷載作用于地基梁圖3.10 綜合荷載作用于地基梁2021/3/27414. 彈性地基梁撓曲微分方程的特解 式（3.31）中，當(dāng) ， 時(shí)，pi 、mi兩項(xiàng)取值為零。bxxmxx332411432224332221433214233232231421324421422224222421222222112222lqqm

26、ipQMbkbkyQlqqmipQMbkbkyMbklqbkqbkmipbkbkQbkMyxbklqbkqbkmibkpbkQyympmpmmxxxxiooooxxixxiooooxxxpxiooooxxxpxiooo（3.31）2021/3/27424.4.彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁短梁（又稱有限長(zhǎng)梁）（圖3.11（a）,當(dāng)彈性地基梁的換算長(zhǎng)度 時(shí),屬于短梁,它是彈性地基梁的一般情況。長(zhǎng)梁:無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.11（b）、半無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.11（c）。當(dāng)換算長(zhǎng)度 時(shí),屬于長(zhǎng)梁;若荷載作用點(diǎn)距梁兩端的換算長(zhǎng)度均 時(shí),可忽略該荷載對(duì)梁端的影響,這類梁稱為無(wú)限長(zhǎng)梁;若荷載作用

27、點(diǎn)僅距梁一端的換算長(zhǎng)度 時(shí),可忽略該荷載對(duì)這一端的影響,而對(duì)另一端的影響不能忽略,這類梁稱為半無(wú)限長(zhǎng)梁,無(wú)限長(zhǎng)梁可化為兩上半無(wú)限長(zhǎng)梁。剛性梁（3.11（b）,當(dāng)換算長(zhǎng)度 時(shí),屬于剛性梁。這時(shí),可認(rèn)為梁是絕對(duì)剛性的,即EI或20。 上節(jié)的結(jié)果,能直接用于計(jì)算各種幾何尺寸及彈性特征值 的彈性地基等截面直梁。在工程實(shí)踐中,經(jīng)計(jì)算比較及分析表明,可根據(jù)不同的換算長(zhǎng)度 ,將地基梁進(jìn)行分類,然后采用不同的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化。通常將彈性地基梁分為三種類型。l彈性地基梁的分類彈性地基梁的分類75. 2175. 275. 275. 212021/3/2743長(zhǎng)梁、短梁和剛性梁的劃分標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)梁的實(shí)際長(zhǎng)度與梁和地基長(zhǎng)

28、梁、短梁和剛性梁的劃分標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)梁的實(shí)際長(zhǎng)度與梁和地基的相對(duì)剛度之乘積的相對(duì)剛度之乘積,劃分的目的是為了簡(jiǎn)化計(jì)算。事實(shí)上劃分的目的是為了簡(jiǎn)化計(jì)算。事實(shí)上,長(zhǎng)梁和剛性長(zhǎng)梁和剛性梁均可按上一節(jié)介紹的公式進(jìn)行計(jì)算梁均可按上一節(jié)介紹的公式進(jìn)行計(jì)算,但長(zhǎng)梁、剛性梁與短梁相比有但長(zhǎng)梁、剛性梁與短梁相比有其自身的一些特點(diǎn)其自身的一些特點(diǎn),較短梁相比較短梁相比,計(jì)算可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。計(jì)算可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。2021/3/27441.1.長(zhǎng)梁的計(jì)算長(zhǎng)梁的計(jì)算 （一）無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力（一）無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力Pi的計(jì)算的計(jì)算 如圖3.12所示,梁上作用有集中力Pi,由于力作用點(diǎn)至兩端點(diǎn)均滿足 ,故把梁看作無(wú)限長(zhǎng)梁。又

29、因梁上分布荷載 ,為便于分析,現(xiàn)采用梁撓曲方程齊次解式的形式,即 由條件 ;又由對(duì)稱條件知: 考慮地基反力與外載Pi的平衡條件:75. 22 oqxxAxAexAxAeyxxsincossincos4321oAAoxy21:|有AAAoxdxdy43,|故kbPAPdxxxekbAiiox2sincos2式（3.10）可寫為xxekbPyxisincos2 （3.32）2021/3/2745最后可得無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力:1.1.長(zhǎng)梁的計(jì)算長(zhǎng)梁的計(jì)算 65827242iiiiPQPMkbPkbPy （3.33）其中 xxexsincos5xexxexexxxsinsincos

30、cos876對(duì)于梁的左半部分,只需將式（3.33）中Q和改變符號(hào)即可。2021/3/2746（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mimi作用下的計(jì)算作用下的計(jì)算 如圖3.13(a)所示無(wú)限長(zhǎng)梁,作和集中力偶,盡管mi作用點(diǎn)并不一定在梁的對(duì)稱截面上，但只要mi作用點(diǎn)到兩端滿足 ，則mi作用點(diǎn)，就可看作是梁的對(duì)稱點(diǎn)，因而可把梁分為兩根半無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.13(b)、（c）)。梁對(duì)稱截面上的反對(duì)稱條件為75. 22|ioxoxmMoy2021/3/2747 代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及 ,最后得無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的變形及內(nèi)力為:bkmAi2476538222iiiimQmMkb

31、mkbmy （3.34）對(duì)于左半部分,只需將上式中y與M變號(hào)即可。（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mimi作用下的計(jì)算作用下的計(jì)算 2021/3/2748（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算如圖（3.14）所示的半無(wú)限長(zhǎng)梁,梁端作用有初參數(shù),因 ,故可借助撓曲方程齊次解的結(jié)果,為了方便分析,采用式（3.11）的形式: oxqxxshBchBxxshBchBysincos4231由 代入上式得oyxoxshBxchBoxshBxchB4231故有B1=-B3,B2=-B42021/3/2749再由 得,oxoxQoQMoM22231222EIMBEIM

32、EIQBooo最后得 85786725621222ooooooooMQQMQMMQkMQbky （3.35）如梁端作用有初參數(shù) 、 ,則可得 、 與 、 之間的關(guān)系為oyooyooMoQoooooMQbkoMQbky2222（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算2021/3/2750（四）半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下的計(jì)算（四）半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下的計(jì)算 如圖3.15所示的半無(wú)限長(zhǎng)梁,作用分布荷載q、q,撓曲方程為式（3.7）。容易驗(yàn)證, 是式（3.7）的一個(gè)特解,故在梯形分布荷載作用下半無(wú)限長(zhǎng)梁任一截面的變形與內(nèi)力為:oQoMbklqqbitxbkqy （3.36） bkqyx2021/3/27512. 剛性梁的計(jì)算剛性梁的計(jì)算 如圖3.16所示的則性梁,梁端作用有初參數(shù) 和 ,并有梯形分布的荷載作用,顯然,地基反力也呈梯形分布,接靜定梁的平衡條件,可得剛性梁的變形與內(nèi)力為:oyoxqqxkxkxyQxqqxxkxkyMxyyooooooo2216262123232 （3.37） 2021/3