上海教育版高中數(shù)學一下52任意角的三角比教案

1、5.2(1) 任意角的三角比 上海市楊浦高級中學 方耀華一、教學內容分析通過平面直角坐標系定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個三角比，并利用與單位圓有關的線段，將前三個三角比的值分別用它們的幾何形式表示出來；接著著重研究正弦、余弦、正切這三個三角比的條件和其在各個象限的符號；并根據(jù)三角比的定義，得出“終邊重合的角的同一三角比的值相等”的結論及把此結論表示成為第一組誘導公式（公式一）二、教學目標設計(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；(2) 了解余切、正割、余割的定義；掌

2、握正弦、余弦、正切等三角比對角的條件要求；(3) 體會同一角三角比的值，不因在其終邊上取點的變化而變化，從而啟示在研究問題時，要能在千變萬化中，抓住事物的本質屬性，不被表面現(xiàn)象所迷惑三、教學重點及難點重點：任意角的三角比的定義難點：用單位圓中的有向線段表示角的正弦、余弦、正切值四、教學流程設計實例引入概念辨析鞏固練習總結提煉作業(yè)及反饋拓展與思考五、教學過程設計 一、情景引入回顧：在初中我們學習了銳角的三角比，它是在直角三角形的條件下，通過角的對邊、鄰邊與斜邊之間兩兩的比值來定義的.例如： 引入：前面我們對角的概念進行了擴充，并學習了弧度制，知道角的集合與實數(shù)集是一一對應的，在這個基礎上，今天我

3、們研究任意角的三角比.把銳角置于平面直角坐標系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限.易知在角的終邊上，設它的坐標為，它與原點的距離，可發(fā)現(xiàn)作為銳角的三角比能用其終邊上的點的坐標來定義，而這種定義方法可用于定義任意角的三角比.二、學習新課1、概念形成n 任意角的三角比定義設是一個任意角，在的終邊上任取一點（除原點），則與原點的距離，比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 比值叫做的正切 記作： 比值叫做的余切 記作： 比值叫做的正割 記作： 比值叫做的余割 記作： 提問：對于確定的角，這六個三角比值的大小與點在角終邊上的位置是否有關？利用相似三角形的知識

4、，可以得出對于確定的角，這六個三角比值的大小與點在角的終邊上的位置無關提問：根據(jù)這六個三角比的定義，是否對于任意的一個角，它的六個三角比都存在呢？(1) 當角的終邊在縱軸上時，即時，終邊上任意一點的橫坐標都為0，所以、無意義；(2) 當角的終邊在橫軸上時，即時，終邊上任意一點的縱坐標都為0，所以、無意義.從而有： 說明(1) 以后我們在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與軸的非負半軸重合.(2) 是角的終邊，至于是轉了幾圈，按什么方向旋轉的不清楚，也只有這樣，才能說明角是任意的.(3) 是個整體符號，不能認為是“”與“”的積，其余五個符號也是這樣.(4) 三角比值只與角的大小

5、有關.(5) 任意角三角比的定義與銳角三角比的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角比就包含了銳角三角比，實質上銳角三角比的定義與任意角的三角比的定義是一致的，銳角三角比是任意角三角比的一種特例. 所不同的是，銳角三角比是以邊的比來定義的，任意角的三角比是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的. 為了便于記憶，我們可以利用兩種三角比定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角比進行類比記憶.2、三角比的一種幾何表示（一）單位圓和有向線段(1) 單位圓：半徑等于單位長度1的圓叫做單位圓.(2) 有向線段（非嚴

6、格定義）：帶有方向的線段叫做有向線段.設任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，設它與角的終邊（當在第一、四象限角時）或其反向延長線（當為第二、三象限角時）相交于.規(guī)定：當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值； 當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值； 當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值；根據(jù)上面規(guī)定，則,利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線.如下圖3圖3由正弦、余弦、正切三角比的定義有這幾條與單位圓有關的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角的終邊在軸

7、上時，余弦線變成一個點，正切線則不存在例1：已知角的終邊經(jīng)過點，求的六個三角函數(shù)值.答： 提問：若將改為，如何求的六個三角函數(shù)值呢？（注意：分和兩種情況進行討論）例2：求下列各角的六個三角比值(1) (2) (3) 答：(1) ,不存在，不存在(2) 不存在,，不存在，.(3) ,，.例3：作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線(1) (2) 如圖，正弦線、余弦線、正切線分別為例4.求證：當為銳角時，證明：如右圖，作單位圓，當時作出正弦線和正切 線，連， 三、鞏固練習練習5.2（1）四、課堂小結（1）任意角的三角比的定義；（2）三角比的幾何表示三角函數(shù)線；（3）掌握分類討論的思想（主要對象限的討論）；（4）掌握數(shù)形結合的思想（對三角函數(shù)線的理解及其應用）；五、課后作業(yè)練習冊 P1517習題5.2 A組 1，2，3，9，10習題5.2 B組 1，4六、教學設計說明1、 由任意角的三角比的定義可知，若已知角終邊上一點，便可求出其各三角比的值，或通過三角比的定義，可知其二求其一（2）必須講清并強調這六個比值的大小都與點 在角的終邊上的位置無關，只與角的大小有關（3）教學中應注意，語言要準確嚴密 （4）教學中，應當引