導數(shù)在高中數(shù)學中的應用誤區(qū)(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上導數(shù)在高中數(shù)學中的應用誤區(qū)萬琨摘 要: 導數(shù)是高中數(shù)學新增內容,它是中學數(shù)學與高等數(shù)學的連接點,所以學好導數(shù)有利于高中畢業(yè)生進入高等學府后的再教育。但是從每年的高考試題分析來看,相當一部分的學生在有關導數(shù)的試題上失分較多，實際上這些試題并不太難.原因在哪里呢？本文試圖對近幾年出現(xiàn)的一些具體題型加以分析。關鍵詞: 導數(shù); 誤區(qū); 極值; 最值; 單調性1. 引言導數(shù)的思想最初是由法國著名的數(shù)學家費馬為研究極值問題提出來的。微積分是數(shù)學的重要分支，導數(shù)是微積分的一個重要的組成部分。一方面，不但數(shù)學的許多分支以及物理、化學、計算機、機械、建筑等領域將微積分視為基本數(shù)學工具，

2、而且，在社會、經(jīng)濟等領域中也得到越來越廣泛的應用。另一方面，微積分所反映的數(shù)學思想也是日常生活與工作中認識問題、研究問題所難以或缺的。在上個世紀，導數(shù)曾經(jīng)編入中學數(shù)學教材，但是由于教育改革，步入上個世紀九十年代，導數(shù)在中學數(shù)學教材中又刪去了。但是我們知道導數(shù)對于考察同學們的數(shù)學思維有著其他高中數(shù)學內容所無法替代的作用。因此隨著時代的發(fā)展，隨著經(jīng)建設的日益提高、隨著高校對人才的選拔需、隨著新課程改革的進一步深入、隨著西方的現(xiàn)代教育思想的引如、隨著體現(xiàn)教育以人為本的思想、導數(shù)又重新選編入中學數(shù)學教材。它的選如恰似一股春風吹如人的心田，使人清爽氣頤、它的選入猶如猶如長期處于黑暗之中的人見到光明一樣，

3、心中充滿期待與高興，它的選入猶如一股新鮮的血液注入人的體內，使人精神煥發(fā)，朝氣蓬勃。導數(shù)是高中數(shù)學和高等數(shù)學銜接的紐帶，它有利于克服中學數(shù)學與高等數(shù)學脫節(jié)的現(xiàn)象，有利于克服中學尖子生進入高校后對數(shù)學產(chǎn)生厭惡之感的現(xiàn)象，使進入高校的新生不在對高等數(shù)學有畏懼的心理。導數(shù)作為新內容引入中學數(shù)學教材，使廣大師生、教研員、命題愛好者為之精神振奮。盡管它屬于高三選修的內容，但因為它對考察學生的數(shù)學思維具有積極的推動的作用，因此有關導數(shù)的一類新題型深受命題者的青睞。可以這樣說要在高考取得優(yōu)異的成績，要想脫穎而出，必需學好導數(shù)。2. 具體的事例導數(shù)作為一種工具，在解決某些數(shù)學問題時極為方便，尤其是利用導數(shù)可以

4、判別函數(shù)的單調性，求極值及曲線的切線等等。但是在學習過程中由于對導數(shù)概念的理解不清，理解不深刻而導致錯誤的情形時有發(fā)生，學生在做高考試題時，時常出錯，理不出頭緒。例1. 已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1) 若，討論函數(shù)的單調性；(2) 若，且，試證:1。分析：本題是某省市高考理科試題倒數(shù)第3題，難度應該不大。但是從當年批閱得分的情況來看，有相當?shù)囊徊糠謱W生只能做出第1小題，而對第2小題卻束手無策，實際上第2小題僅僅考查的是導數(shù)的定義，如能了解.則此題便迎刃而解。對導數(shù)概念理解不深入是同學們不能解決此題的關鍵。例2. 設的極小值為，其導函數(shù)的圖像經(jīng)過點,如圖1所示, (1) 求的解析式； (2) 若對

5、都有恒成立，求實數(shù)的取值。分析：此題得分也不理想.其原因在于同學們誤解了導函數(shù)的單調性與原函數(shù)的單調性的關系。部分考生認為導函數(shù)的單調性與原函數(shù)的單調性相同。而實際上導函數(shù)的單調性與原函數(shù)單調性沒有必然的聯(lián)系.我們在判斷原函數(shù)的單調性的時候，主要看導函數(shù)的函數(shù)值與0的大小的關系,若導函數(shù)的函數(shù)值大于0, 則原函數(shù)為單調遞增函數(shù),反之若導函數(shù)的函數(shù)值小于0, 則原函數(shù)為單調遞減函數(shù)。另一方面，對第2小題不會轉化為最值問題，也是失分較多的原因。例3已知函數(shù),(1) 設，討論的單調性；(2) 若對任意恒有，求的取值。分析：本題主要考察導數(shù)在單調性與極值方面的應用.從全國考試中心反饋的情況來看，此題得

6、分并不理想。第1小題判別函數(shù)的單調性，明顯應該用導數(shù)這一工具。第2小題給出函數(shù)滿足的不等式，應想到是關于函數(shù)的極值與最值的問題，這樣便可利用導數(shù)作為解題的工具了，但是部分同學卻想不到這一點，以至失分。例4已知,討論函數(shù)的極值點的個數(shù)。分析:該題本質上是一道關于導數(shù)的運算及應用的問題，從考試的結果來看，這道題是較難的試題，學生的得分不高。此題出現(xiàn)的錯誤有以下4個：(1) 不求導,直接對原函數(shù)中的二次函數(shù)進行討論;(2)求導公式記不正確,導致運算出錯,如, 等;(3) 求導之后不知道如何討論極值點的個數(shù);(4) 分類討論不。.3. 誤區(qū)原因解析導數(shù)如此的重要，就有必要對導數(shù)的應用誤區(qū)做一些必要的剖

7、析.它在哪些方面容易出錯呢？3.1 定義理解不透徹。導數(shù)的定義如下:設函數(shù)在處附近有定義,當自變量在處有增量時,則函數(shù)相應地有增量,如果時,與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù),記作,即導數(shù)的表達形式有多種，常見的有以下兩種形式： 對導數(shù)的定義，我們應注意以下四點：(1)增量的形式是多種多樣的,但不論選擇哪一種形式,相應中也必須選擇對應的形式;(2)函數(shù)應在點的附近有定義,否則導數(shù)不存在;(3)導數(shù)定義中還包含了可導或可微的概念,如果時,有極限,那么函數(shù)在點處可導或可微,才能得到在點處的導數(shù),若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導;(4)導數(shù)

8、是一個局部概念,它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關,與無關。例5證明若在處可導，則.4誤證：.剖析：此題的證法表面上似乎無懈可擊,但是仔細分析證明的過程,它與定義不符合。該證法未能理解上述的四點(1)，未能理解中的應當如何變化。正解： =+ =.例6已知函數(shù)= ,則=_.誤解：, 故原式=.剖析：中的的增量為2,則分母也應為2.正解：原式.3.2 幾何意義的應用誤區(qū)一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線,，是曲上的兩點，當點沿曲線逐漸向點接近時，割線繞著點轉動.當點沿著曲線無限接近點，即趨向于時，如果割線無限趨近于一個極限位置,那么直線叫做曲線在點處的切線。此時,割線的斜率無限趨近于切線的斜率，也就是說，

9、當趨向于時，割線的斜率的極限為。由此,可以利用導數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)在點處的導數(shù)，即曲線在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下,求得切線方程為特別地，如果曲線在點處的切線平行于軸，這時導數(shù)不存在,根據(jù)切線定義,可得切線方程為.導數(shù)的幾何意義指出：函數(shù)在某點處的切線斜率即為函數(shù)在該點處的導數(shù)值。但利用該幾何意義求曲線的切線方程時，要注意對切點位置的具體分析。3.2.1 要檢驗“某點”是否在曲線上例7求曲線過點的切線方程。誤解：，所以切線方程為.剖析：此題中不在曲線上，應先設出切點坐標，再解之.正解：設切點坐標為由導數(shù)幾何意義知：切線斜率為，所以=-

10、(1)又點在曲線上，故-(2)由(1)(2)聯(lián)立解之得：=，所以切點坐標為或，所以切線方程為或.3.2.2 要注意區(qū)分“在點處”與“過點處”求曲線方程時的區(qū)別，其中在點處的點必為切點，過點處的點不一定是切點，在解題時要注意審題，加以區(qū)別。例8已知函數(shù)，試問:過點的曲線的切線有幾條?如果是一條，寫出該切線的方向向量；如果是兩條，求出兩直線的夾角；如果是三條，寫出直線方程。解：設切點為， ，切線斜率為過的切線方程為：.將代入得： ，.過的切線有兩條,切點為，斜率為，.3.3 導數(shù)與極值、最值的關系3.3.1 誤把極值當最值 函數(shù)的最值是比較整個給定范圍內的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函

11、數(shù)值得出的。求最值時，只需把找出的可能是極值點的那些點處的函數(shù)值與給定范圍的端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)在給定范圍上最值了。設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：(1)在內求的點及導數(shù)不存在的點；(2)計算在上述各點處的函數(shù)值并與端點處的函數(shù)值、比較，即可得出函數(shù)在上的最大值與最小值。明白了上面的極值與最值的區(qū)別,我們來看下面的例題。例9求函數(shù)上的最值。誤解：因為 由解得,經(jīng)驗證為極值點,即為極大值.所以函數(shù)的最大值為2，最小值為.剖析：本題誤把極值當最值,本題求出了極值,正確做法是還應將它與端點值比較大小。正解：因為所以在上的最大值為18,最小值為.3.3.2

12、 將駐點等同于極值點我們知道.對于滿足的點稱為駐點,是為的極大(小)值點的必要而非充分條件，把駐點等同于極值點,容易導致失誤。例10導數(shù)=(的極值點為 。A. ； B. ； C. 或0； D. 誤解：由得，故選擇C.剖析：這三點都是駐點,是不是都是極值點呢?正解：由知當時，當時，當時，當時， 因此只有為極小值點,而都不是極值點，從而應選D。所以，在這里我們需明確，對于可導的函數(shù)而言，函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處導數(shù)必等于0；反之，若導數(shù)在某處值為零，則函數(shù)在該點不一定取得極值，還需進一步檢驗在=0的點的左右兩邊的符號變化。例11已知函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍。誤解：，由得.

13、當時，在上遞減，當時，在上遞增，于是，故的范圍是. 剖析：上述解法忽略了一個細節(jié),解題過程只用到了,即是的駐點,那么它究竟是不是極值點呢?當時,如果,那么就只是拐點而非極值點.因此的取值范圍是.3.4 求單調區(qū)間的不完整我們再來看幾個例題以示說明例12求函數(shù)，的單調遞增區(qū)間。誤解：,由得，由上式可知在內當時,，于是此時在內單調遞增，在內單調遞增。剖析：上題解法雖然正確,但結論并不完美, 在內單調遞增，在內單調遞增，又因為在處連續(xù)，從而可把結論概括為在內單調遞增。例13求函數(shù)的單調區(qū)間。誤解：由題知，令，解得.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.剖析：在解與函數(shù)有關的問題時,一定要考慮函數(shù)

14、的定義域,這里錯在忽略了函數(shù)的定義域，顯然,當時,，原函數(shù)無意義。正解： 由可以知道原函數(shù)的定義域為，因此函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.3.5 判斷函數(shù)的單調性時忽略特殊情形例5給出：設函數(shù)在某個區(qū)間內有導數(shù)，如果在此區(qū)間內，則在此區(qū)間內為增函數(shù);如果，則在此區(qū)間內為減函數(shù)。那么反過來結論是否成立呢?例14已知函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。誤解:由題知道所以.剖析:當在上成立時,在上遞增,但反之并不一定成立.如是增函數(shù),但是恒大于0.正解：因此本題應為在上恒大于或等于0,.4. 結論偉大的平民教育家陶行知說過:真教育是心心向印的活動.只有理解學生的心理才能走進學生的心靈.同樣在數(shù)學教學的活動中,只有換位思考，舍身處地的為學生著想,才能取得良好的教學效果。而理解學生在學習的過程中所出現(xiàn)的問題是關鍵.學生會出現(xiàn)什么樣的問題呢?這就要求我們高中數(shù)學教師要急學生之所急,想學生之所想,從學生的角度來考慮問題,在那些方面容易出錯,從這些角度出發(fā),可以切實的解決問題。以上只是學生在學習的過程當中導數(shù)方面容易出現(xiàn)的誤區(qū),導數(shù)是高中數(shù)學的重要內容,學好它,有利于高中畢業(yè)生對高等數(shù)學的順利過渡。只有高中學生理解掌握好導數(shù)才有可能通過高考進入高等學府進一步深造。我作為一名中學數(shù)學教師,我將繼續(xù)努力,從學生的角度看問題爭取找出數(shù)學