數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文）關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史

1、 2011屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 題目：關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)班級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)07-3班學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師：答辯日期：2012年 5 月 6 日 目 錄1 引言32 計數(shù)法和自然數(shù)32.1 記數(shù)制度32.2 自然數(shù)43 有理數(shù)系83.1有理數(shù)的引入83.2分數(shù)和負數(shù)84 實數(shù)理論的完善94.1無理數(shù)的由來94.2 實數(shù)的發(fā)展105 復(fù)數(shù)的擴張115.1 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生115.2 復(fù)數(shù)的歷史意義116 結(jié)論12參考文獻13致 謝14關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史摘要：數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴張都標志著數(shù)學(xué)的進步，但是這種進步并不是按照數(shù)學(xué)教科書的邏輯步驟展開的。希臘人關(guān)于

2、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)暴露出有理數(shù)系的缺陷，而實數(shù)系的完備性一直要到19世紀才得以完成。負數(shù)早在九章算術(shù)中就已被中國數(shù)學(xué)家所認識，然而，15世紀的歐洲人仍然不愿意承認負數(shù)的意義?！八脑獢?shù)”的發(fā)明，打開了通向抽象代數(shù)的大門，同時也宣告在保持傳統(tǒng)運算定律的意義下，復(fù)數(shù)是數(shù)系擴張的終點。關(guān)鍵詞：記數(shù)法；素數(shù)；有理數(shù)；實數(shù)理論；復(fù)數(shù)擴張1 引言數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文明的重要部分。數(shù)的概念的每一次擴展都標志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個時代人們對于數(shù)的認識與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當時數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。現(xiàn)在，我們所應(yīng)用的數(shù)，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本

3、的語言和不可或缺的工具。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財富時，是否想到在數(shù)的形成和發(fā)展的歷史過程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？2 記數(shù)法和自然數(shù)2.1 記數(shù)制度記數(shù)制度或計數(shù)法就是記錄或表示數(shù)目的方法，主要指數(shù)字符號的表現(xiàn)形式以及技術(shù)工具的使用。在文字生產(chǎn)之前，人類就已形成數(shù)的概念。那時數(shù)目是用事物來記錄的，如小石子,竹片，樹枝，貝殼之類。這些東西容易散亂，自然會想到用結(jié)繩的辦法來記錄。我國周易.系辭下有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”的說法。東漢鄭玄稱：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。以結(jié)繩和書契記數(shù)的方法實際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴

4、勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國家都有文獻記載和實物標本。結(jié)繩畢竟不甚方便，以后再實物（石，木，骨等）上刻痕以代替結(jié)繩，再進一步發(fā)展成為文字。位于西安東郊的半坡村文化遺址（屬新石器時代的仰韶文化），距今5，6千年前，人們就發(fā)現(xiàn)陶器和陶片上刻著許多標志符號，橫，豎，斜，叉河現(xiàn)代漢字想象，有20多種不同的形狀；埃及前國王時期（約從5千年前開始)的墓葬和石碑等出項象形文字;兩河流域的蘇美人創(chuàng)造的楔形文字，也開始于5，6千年前?，F(xiàn)代則用國際通用的印度-阿拉伯數(shù)碼。但古代有些地區(qū)數(shù)字和數(shù)碼是一致的。有了數(shù)字和數(shù)碼，就有一套記數(shù)方法，刻痕記數(shù)，有多少數(shù)刻多少道痕，這是最原始的辦法，但數(shù)目很大就有困難，自然就想到進

5、位,以p個新單位有組成一個更高的單位，這叫做p進位的基數(shù)。現(xiàn)在同行的印度-阿拉伯數(shù)碼的基數(shù)是10，即“逢10 進1，退1當10”，人們已經(jīng)習以為常，但在歷史上曾使用過許多非10的基數(shù)，如2，5，6，12，16，20，60等，量角的60進制，至今還在使用。為什么選擇這些數(shù)作基數(shù)？這是很有趣的問題。5進和10進顯然和人類有10個指頭有關(guān)，這一點亞里士多德（Aristotle,公元前384-前322）早就注意到。他在問題集XV卷中指出各種可能的解釋，都和畢達哥拉斯學(xué)派有關(guān)這個學(xué)派認為10是一個完美的數(shù)，并給它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4種類型的數(shù)之和：1+2+3+4=10，1既非素數(shù)既非合數(shù)

6、，2是偶素數(shù)，3是奇素數(shù)，4是合數(shù)，2代表線（兩點確定一直線），3代表面，4代表立體。10又是不同天體類型的數(shù)目：地球，反地球，日，月，五大行星以及恒星。還可以做其他的解釋。亞里士多德最后指出：是否因為每個人都有10個手指？事實上，前集中推測都是不可信的，因為進位的基數(shù)不是某些學(xué)者的發(fā)明或規(guī)定，而是人們在長期實踐中形成的，而且在畢達哥拉斯以前，早已有10進制，如埃及，中國等。法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749 1827）曾經(jīng)寫道：用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了

7、它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時，我們更感到這成就的偉大了。 拉普拉斯的這段評論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項發(fā)明歸之于印度。現(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國。這一點也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來所習見的印度數(shù)字的背后，位置制已在中國存在了兩千年。”不過，10進位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進步是與計算工具的改進相聯(lián)系的。研究表明，10進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生

8、于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。2.2 自然數(shù)自然數(shù)是人們認識的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價的理論:自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴格的論述。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：N中有一個元素，記作0。N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者。 0不是任何元素的后繼者。 不同元素有不同的后繼者。（歸納公理）N的任一子集M，如果0M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應(yīng)

9、關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。這樣 ，所有單元素集x，y，a，b等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。自然數(shù)的加法 、乘法運算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運算是一致的。下面我們主要討論自然數(shù)內(nèi)的零和素數(shù).2.2.1 零的歷史2.2.1.1 哥倫布雞蛋數(shù)學(xué)史家把0比作“哥倫布雞蛋” （Columbus-egg),這不僅僅是因為0的形狀像雞蛋，其中還含有深刻的哲理。1492年，哥倫布（Christopher Columbus, 1451-1506）從西班牙出發(fā)，歷盡千辛萬苦，終于發(fā)現(xiàn)了美洲新

10、大陸。他于1493年返回西班牙后，受到群眾的歡迎和王室的優(yōu)待，也招致一些貴族，大巨的妒忌。在一次宴會上，有人大聲宣稱：“到那個地方?jīng)]有什么了不起，只要有船，誰都能去。”哥倫布沒有正面回答，他手拿一個熟雞蛋說：“誰能把雞蛋用小的那一頭豎起來？”許多人試了又試，都說不可能。哥倫布將雞蛋在桌上輕輕敲破了一點殼，就豎了起來，于是又有人說：“這誰不會？”哥倫布說：“在別人沒有做之前，誰都不知怎么做，一旦別人做了之后，卻又認為誰都可以做。”這就是流傳了四百多年的哥倫布雞蛋故事。凡事都是開創(chuàng)時困難，有人開了端，仿效是很容易的。0的出現(xiàn)一個典型的例子，在發(fā)明之前，誰都想不到，一旦有了它，人人都會用簡單的方法來

11、記數(shù)。因此哥倫布雞蛋的比喻是很巧妙的?！傲闶钦l發(fā)明的？”答案可能不止一種，這是因為對“零”可以有不同的解釋：（1）零是一個概念，它表示“一無所有”。如5減5等于零；（2）在位值制記數(shù)法中，零表示“空位”，同時起到指示數(shù)碼所在位置的作用。如阿拉伯數(shù)碼中零記作0，在304中的0表示十位上沒有數(shù)，而3是在百位上，表示三百；（3)零本身是一個數(shù)，可以同其他的數(shù)一起參與運算；（4）零是標度的起點或分界，如每天的時間從0時開始，數(shù)軸上0是正負數(shù)的分界，溫度計以0º為零上零下的分界等等?？梢娭辽儆猩鲜龅乃姆N功能。下面討論零在位值制中的功能。2.2.1.2 楔形文字的零號所謂位值制，就是一個數(shù)碼表示

12、什么數(shù)，要看它所在的位置而定。完整的位值制，必須有零號，否則便無法表示405，4500這樣的致。零可以說是位值制的必然產(chǎn)物，但在歷史上，它的出現(xiàn)往往比位值制思想晚得多。原因值得探討，至少可以說明即使是一項簡單的發(fā)明，也不是一蹴而就的。世界上較早懂得位值制原理的地區(qū)有巴比倫、瑪雅、印度、中國。巴比倫計數(shù)法遲遲不創(chuàng)造零號，原因可能有三個：一是零出現(xiàn)的頻率較小，10進位值記數(shù)法在1100之中有10個數(shù)要用0來表示：10，20，100；而60進制只有60這個數(shù)必須用到0；二是60進制差一位就差60倍，較易從上下文來確定究竟表示什么；三是必要時用留出空擋來表示空位。總的來說，在巴比倫王國時期沒有發(fā)明零號

13、，頂多是留出空白，而在塞琉西時期確實出現(xiàn)了零號，中間相隔一千多年。一般說，事物的發(fā)明總比它被普遍使用早得多，但究竟早多少，現(xiàn)在還沒有足夠的證據(jù)來加以確定。2.2.1.3 亞里士多德的見解最早認真考慮以零作除數(shù)的是亞里士多德，他在物理學(xué)一書4章8節(jié)中指出：物理在一定的力作用下，運動速度與介質(zhì)的密度成反比，即v=k/d，其中v是速度，d是介質(zhì)密度，k是比例常數(shù)。這法則是錯誤的，暫且不去管它，我們要討論的下面的推理。亞里士多德提出這樣的問題：假如d=0，也就是在真空中，物體將有怎樣的速度呢？他回答說：“一個數(shù)與零是沒有比值的，如果把一個量c分為a與b兩部分，當b減少時，比值就增大，但當b變成零的時候

14、，便不再存在，因為不能說b是c的一部分。同樣，直線與點也是沒有比值的。”接著又說：“物體在正空中的運動速度超過任何的比值。”亞里士多德的論述非常接近現(xiàn)代的思想，它可以歸結(jié)為兩點：（1）a/0是不存在的；（2）。 在這里亞里士多德似乎已經(jīng)意識到零（空虛）可以看作一個數(shù)來參與運算，但沒有更多的證據(jù)來肯定這一點。在以后的希臘著作中，包括亞里士多德的在內(nèi)，很少把零看作一個數(shù)來加以運算。即使在古希臘最重要的算術(shù)著作尼科馬霍斯 算術(shù)入門里也沒有將零納入數(shù)的系數(shù)之中，只是在一處偶然提到“一無所有加上一無所有還是一無所有。”2.2.2 素數(shù)2.2.2.1 素數(shù)有多少？我們在初等數(shù)論課中學(xué)習了素數(shù)，素數(shù)是整個數(shù)

15、論的靈魂，因此我以素數(shù)為主要內(nèi)容來介紹。一個素數(shù)是指這樣一種正整數(shù):除了1和它本身之外，其它任何正整數(shù)都不可能整除它。我們也可以這樣定義素數(shù)：它不能寫成兩個大于1的正整數(shù)的乘積。有時我們也將素數(shù)稱作質(zhì)數(shù)。通常我們不承認1是素數(shù)。下面來介紹這樣做的好處。最初的幾個素數(shù)是2，3，5，7，11，。顯然6不是素數(shù)，因為，所有的素數(shù)中只有2是偶數(shù)！這件事看似平凡的事，其實很重要。在許多數(shù)學(xué)研究中，2和其他素數(shù)會對我們所考慮的問題產(chǎn)生不同的影響。很多人會問：為什么我們把這樣的數(shù)名為“素數(shù)”呢？這來自于素數(shù)最基本的結(jié)論算術(shù)基本定理：任何大于1的正整數(shù)都可以唯一地分解成一些素數(shù)和乘積，這里都是素數(shù)（允許相同）

16、。究竟有多少個素數(shù)？無限多個還是僅有有限個？這個問題的答案早由歐幾里得在兩千多年前解決了。他用初等方法技巧地證明：存在無限多個素數(shù)！具體言之，我們假設(shè)所有正整數(shù)中只有有限個素數(shù)，那么可以構(gòu)造一個正整數(shù) 很容易發(fā)現(xiàn)，左邊的分解成素數(shù)的乘積的話，不可能包含任何素數(shù)，因此它的分解式中必定含有這些之外的新的素數(shù)，這就和我們的假設(shè)矛盾。根據(jù)歐幾里得的證明，我們可以輕松斷言：所有被4除余數(shù)為3的素數(shù)有無限個！換言之，等差數(shù)列3，7，11，15，19，中包含無窮多個素數(shù)這就產(chǎn)生了有趣的問題：一個等差數(shù)列，中是否包含無限多個素數(shù)？數(shù)學(xué)家狄利克雷回答了這個問題：假如和是互素的（就是說它們不能同時被一個大于1的正

17、整數(shù)整除），那么答案是肯定的！不要以為歐幾里得的方法來輕松的解決這一問題。事實上，除了少數(shù)情形之外，這個問題不可能由它來簡單的解決。如果我們把等差數(shù)列換成其他數(shù)列，結(jié)果會怎樣呢？比如考慮數(shù)列：2，5，10，17，26， 其中是否有無限多個素數(shù)呢？讓人失望的是，這到至今仍是一個未解決的難題。2.2.2.2 素數(shù)的分布我們知道了“素數(shù)有無限多個”后還想知道更多！比如，素數(shù)在所有自然數(shù)中所占的比率多大？我們首先要說明“比率”在這里意味著什么。對任何正實數(shù)，我們用（）表示不超過的素數(shù)的個數(shù)。比如等等。我們用來反映所有不超過的正整數(shù)中，素數(shù)所占的比率也稱作平均分布密度。一個簡單的結(jié)論告訴我們：當非常非常

18、大時，幾乎就等于0.換句話說，素數(shù)在所有正整數(shù)中極為罕見，可以說少得幾乎沒有盡管我們知道它們有無窮多個！對一般人來說，這個結(jié)論似乎已經(jīng)讓我們走到了問題的盡頭。但是天才數(shù)學(xué)家高斯卻不這么認為。在那個沒有計算機的年代（1792-1793年間），他通過大量的手工計算，單憑超人的直覺，竟然得到了一個讓人吃驚的猜測：當非常時，素數(shù)出現(xiàn)的比率約等于。換言之約等于1，這里是的對數(shù)函數(shù)。高斯的原始猜測要比上面的表述式更為精確。在高斯之后，數(shù)學(xué)家勒讓德也通過數(shù)值計算得到過類似的猜測公式（1800年左右），但沒有高斯的精確。證明這一結(jié)論是極其困難的工作。到19 世紀中葉，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫才有了突破性進展，他證明

19、了： 這里和是確定的常數(shù)。這個猜想大約到19世紀末，才由法國學(xué)家阿達瑪和Paussin幾乎同時獨立證明。人們將它稱作素數(shù)定理。這個定理只是在大樣本范圍內(nèi)描述了一種統(tǒng)計規(guī)律。素數(shù)本身的分布位置極不規(guī)則。當我們確定一個素數(shù)之后，很難預(yù)測在它之后的下一個素數(shù)是多少。盡管如此，我們?nèi)杂幸恍┎聹y和結(jié)論來描繪素數(shù)在整數(shù)集中分布形態(tài)。有趣的是，猜測要比結(jié)論多得多。雖然我們無法徹底證實那些猜想，但是卻可以推導(dǎo)出，用所謂的密率方法得到的有趣結(jié)論：任何大于1的整數(shù)必可以寫成不超過26個素數(shù)之和。 3 有理數(shù)3.1 有理數(shù)的引入 位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標志著人們掌握的數(shù)的語言，已從少量的文字個體，發(fā)展到了一個具有完善

20、運算規(guī)則的數(shù)系。人類第一個認識的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認識的發(fā)展，自然數(shù)的缺陷也就逐漸顯露出來。自然數(shù)是人們認識的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價的理論:自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴格的論述。自然數(shù)的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。可知，自然數(shù)是一個離散的、而不是稠密的數(shù) ，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數(shù)中只

21、能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由于分數(shù)和負數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補。3.2 分數(shù)和負數(shù)有趣的是分數(shù)來領(lǐng)也都有強烈的地域特征。如，巴比倫的分數(shù)是60進位的，埃及采用的是單分數(shù)(unit fraction)，阿拉伯的分數(shù)更加復(fù)雜：單分數(shù)、主分數(shù)和復(fù)合分數(shù)。這種繁復(fù)的分數(shù)表示必然導(dǎo)致分數(shù)運算方法的繁雜，所以歐洲分數(shù)理論長期停滯不前，直到15世紀以后才逐步形成現(xiàn)代的分數(shù)算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數(shù)理論上的卓越貢獻。原始的分數(shù)概念來源于對量的分割。如說文·八部對“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也?！钡牵耪滤阈g(shù)中的分數(shù)是從除法運算引入的。其“合

22、分術(shù)”有云：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個分數(shù)。中國古代分數(shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分數(shù)算法的精髓：通分?？梢宰C明，分數(shù)是一個稠密的數(shù)，它對于加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數(shù)系內(nèi)也同行無阻，負數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。收入與支出、盈余與不足、增加與減少是負數(shù)概念在生活中的實例，教科書在向?qū)W生講授負數(shù)是也多循此途。這就是一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進了負數(shù)的。歷史表明：負數(shù)最早為中算家所引進，這是由中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，籌算機械化和算法高度發(fā)達的特點所決定的。負數(shù)的概念和算法首先

23、出現(xiàn)在九章算術(shù)“方程”章，因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時，就必須引入負數(shù)和建立正負數(shù)的運算法則。 負數(shù)雖然從阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認色一點，或者即使承認了也并不認為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂費爾（Stifel ,1486-1567）把負數(shù)說成是荒謬的數(shù)，是“無稽之零下”；卡丹(Cardan,1501- 1576) 把負數(shù)作為方程的根，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號，他把負根稱作是虛有的；韋達(Vieta, 1540- 1630) 完全不要負數(shù)；巴斯卡（Pascal,1623-

24、1662） 則認為從0減去4純粹是胡說。 負數(shù)是人類第一次越過正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗，在負數(shù)面前全然無用。在數(shù)的發(fā)展歷史進程中，現(xiàn)實經(jīng)驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。4 實數(shù)理論的完善4.1 無理數(shù)的由來公元前500年，古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可子希勃索斯公度的(若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數(shù))這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭

25、到沉舟身亡的懲處。 畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機，對以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽。 不可通約的本質(zhì)是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可

26、理喻的數(shù)。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。 然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬物皆數(shù)”的美夢。同時暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時間內(nèi)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？

27、長期以來眾說紛紜。兩個不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認為是不可理喻的數(shù)。15世紀達芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是“無理的數(shù)”（irrational number），開普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數(shù)，卻一直是個困擾人的問題。4.2 實數(shù)的發(fā)展1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀念的一年。這一年，克萊（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（Erlanger Prog

28、ramm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時在德國出現(xiàn)了。努力建立實數(shù)的目的，是為了給出一個形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認識聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾

29、何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評價，這是因為，由“戴德金分割”定義的實數(shù)，是完全不依賴于空間與時間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。實數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對無理數(shù)給出嚴格定義，從而建立了完備的實數(shù)域。實數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴格的科學(xué)意義下得以實現(xiàn)。5 復(fù)數(shù)的擴張5.1 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生復(fù)數(shù)（虛數(shù)）的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史是一個重大的事件，由于它誕生于“荒謬的矛盾”中，因此復(fù)數(shù)一開始就給自己披上了一層“虛無縹緲”而有神秘的外衣。經(jīng)過許多年的艱苦探索，走了近三百年的漫長歷

30、史時期，最后才逐漸被人們承認和接受。今天復(fù)數(shù)已經(jīng)在數(shù)學(xué)的許多分支及其他學(xué)科中得到廣泛的應(yīng)用。復(fù)數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？它是不是象有些書上所敘述的那樣：在求一元二次方程 的過程中，實數(shù)集不夠用了需要進行擴張，擴張后的數(shù)集，使得一元二次方程 有解，從而得到復(fù)數(shù)，可是在歷史上復(fù)數(shù)卻不是這樣產(chǎn)生的，它不是生產(chǎn)與一元二次方程的求解過程中，這就更增加了復(fù)數(shù)神秘而虛無的色彩。因此恩格斯說：“復(fù)數(shù)就其本身來說，它們純粹是虛構(gòu)的”。 本來，由于一元二次方程 在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解，為了使這個方程求得解，自然會想到將實數(shù)進行擴張，而引入 ，從而得到方程的根 ，復(fù)數(shù)就是自然而然地產(chǎn)生，這一過程表面上看似乎也符合人們的認識，也能

31、為人們，特別是中學(xué)生所接受。如果復(fù)數(shù)真是這樣產(chǎn)生，那它不就成了純粹的自由創(chuàng)造物和相像物了？5.2 復(fù)數(shù)的歷史意義和發(fā)展歷史并非如此，我們不妨來看看歷史吧！最近在考古中發(fā)現(xiàn)，公元前兩千多年前的古代巴比倫時代，就已經(jīng)出現(xiàn)了二次，三次方程的例子，當時的古代巴比倫人已經(jīng)具有處理一元二次方程的技巧。公元三年紀希臘數(shù)學(xué)家丟番圖能熟練的解一元二次方程，但他還沒有得到一元二次方程的求解公式。直到公元七世紀，印度數(shù)學(xué)家巴拉瑪古他才較明確地得到求解一元二次方程的公式，雖然復(fù)數(shù)在阿拉伯人就已經(jīng)知道，但在歐洲不承認復(fù)數(shù)是數(shù)，17世紀有名的數(shù)學(xué)家巴斯葛認為：“0減4純粹是胡說”。很多著名數(shù)學(xué)家都不承認方程有負數(shù)根，例如

32、17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家偉達只承認方程有正跟，而拒絕承認一元二次方程有負數(shù)根，更談不上承認一元二次方程有虛根了。 1500年法國人舒開在接一元二次方程時，就得到過 這樣一個具有負數(shù)開平方的事實，但他認為這是不可能的。他之所以得出這樣的結(jié)論，是因為不承認負數(shù)是開放數(shù)這個事實，不論在理論上還是邏輯上不會出現(xiàn)什么困難和矛盾，在當時無論在理論上，還是實際需要都沒有什么動力促使人們在一元二次方程求解中去探求這類問題，因此復(fù)數(shù)在歷史上產(chǎn)生于一元二次方程的求解過程中也就沒有什么奇怪了。復(fù)數(shù)還是太“虛無縹緲”了，不容易為大家所接受，人你們努力去尋找求它的應(yīng)用。令人奇怪的是復(fù)數(shù)的幾何表示并不是出自數(shù)學(xué)家單位著作

33、。1799年丹麥的測量員維塞爾在他的“方向的解析表示”的著作中，第一次給出了復(fù)數(shù)的幾何解釋，這也許是他從測量的實踐中想到用平面上的點來表示復(fù)數(shù)，不久，日內(nèi)瓦的會計師阿爾岡在1806年出版的“一種表示虛量和幾何作圖”的著作中，第一次給出了復(fù)數(shù)模的概念，他也用平面上的點來表示復(fù)數(shù)，但由于他倆都不是正統(tǒng)的數(shù)學(xué)家，又沒有系統(tǒng)地上升到理論高度，因此他們的成果沒有引起人們的凝視。從上可以看出復(fù)數(shù)的產(chǎn)生對于數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，由它出發(fā)不僅創(chuàng)立了有重大突破的四元數(shù)理輪，后來還出現(xiàn)了超復(fù)數(shù)的概念，甚至到了1972年蘇聯(lián)一位學(xué)者還是提出了雙復(fù)數(shù)的概念，它們在物理學(xué)中都找到應(yīng)用。即使是復(fù)數(shù)本身，在愛因斯坦的相對論中也用i代替閔可夫斯思維空間的時間t，最近還有人將復(fù)數(shù)應(yīng)用于系統(tǒng)論的控制論。復(fù)數(shù)理論的創(chuàng)立，在數(shù)學(xué)本身已經(jīng)得到廣泛的擔任應(yīng)用，而受復(fù)數(shù)啟示而誕生的四元數(shù)理論不僅給數(shù)學(xué)帶來觀念的更新，而且導(dǎo)致了許多的數(shù)學(xué)理論的建立。直到