高等數(shù)學(xué)課教案

1、高等數(shù)學(xué)精品課教案課 題：1.1函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)目的：1.理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的概念、圖形及性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的概念課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課 在自然界中，某一現(xiàn)象中的各種變量之間，通常并不都是獨(dú)立變化的，它們之間存在著依賴(lài)關(guān)系，我們觀察下面幾個(gè)例子： 例如：某種商品的銷(xiāo)售單價(jià)為元，則其銷(xiāo)售額與銷(xiāo)售量之間存在這樣的依賴(lài)關(guān)系：=又例如：圓的面積和半徑之間存在這樣的依賴(lài)關(guān)系：不考慮上面兩個(gè)例子中量的實(shí)際意義，它們都給出了兩個(gè)變量之間的相互依賴(lài)關(guān)系，這種關(guān)系是

2、一種對(duì)應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有確定的值與之對(duì)應(yīng)。兩個(gè)變量間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。二、講授新課（一）函數(shù)的定義定義 設(shè)有兩個(gè)變量x，y。對(duì)任意的xD，存在一定規(guī)律f，使得y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y叫x的函數(shù)。記作y=f(x)，xD。其中x叫自變量，y叫因變量。定義10 （集合的觀點(diǎn)）A，B為兩個(gè)數(shù)集，對(duì)任意的xD，存在f，在B中有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。記作：f：AB函數(shù)兩要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域（有的可直接看出，有的需計(jì)算），而函數(shù)的值域一般稱(chēng)為派生要素。例1 f(x)=2x2+3x-1就是一個(gè)特定的函數(shù)，確定的對(duì)應(yīng)法則為

3、：f( )=2( )2+3( )-1例10：設(shè)f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：設(shè)x+1=t得x=t-1，則f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2f(x)=2x2 x 2其對(duì)應(yīng)法則：f( )=2( )2 - ( ) -2定義域：使函數(shù)有意義的自變量的集合。因此，求函數(shù)定義域需注意以下幾點(diǎn)：分母不等于0 偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于或等于0 對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0 y=x0 (x0 ) y=tanx(x)等.例2 求函數(shù)y=+arcsin的定義域. 解：要使函數(shù)有定義，即有： 于是，所求函數(shù)的定義域是：-3，-23，4.小結(jié)：函數(shù)有兩要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則，即只要這兩樣定了，

4、函數(shù)就定了，所以我們判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)就有依據(jù)了。例3 判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？（1）y=lnx2與y=2lnx (2)=與y= 解 （1）中兩函數(shù)的 定義域不同，因此不是相同的函數(shù).（2）中兩函數(shù)的 對(duì)應(yīng)法則和定義域均相同，因此是同一函數(shù).函數(shù)的表示法：（1）解析法（或分析法、公式法）。如：、，這樣的表達(dá)式亦為函數(shù)的解析式，這種表示法的主要優(yōu)點(diǎn)是嚴(yán)密；（2）圖示法：如用直角坐標(biāo)（或極坐標(biāo)等）平面的一條曲線(xiàn)表示，這種表示法的主要優(yōu)點(diǎn)是直觀；（3）表格法：如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表、正態(tài)分布表等，這種表示法的主要優(yōu)點(diǎn)是能進(jìn)行函數(shù)值的查詢(xún)。分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域不同的區(qū)間上用不同解

5、析式來(lái)表示，則稱(chēng)函數(shù)為分段函數(shù).如 （二）函數(shù)的幾種特性要研究函數(shù)，首先函數(shù)必須要有意義，假設(shè)f(x)在區(qū)間上有定義。1、 有界性 若存在兩個(gè)數(shù)A和B，對(duì)一切，則稱(chēng)為有界函數(shù)例如：，在全數(shù)軸上均有界，而在（0，1）內(nèi)無(wú)界. 思考：在定義域內(nèi)，下列函數(shù)中哪些有界？y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx2、單調(diào)性對(duì) ，若對(duì)任意兩點(diǎn) 時(shí)有 ，則稱(chēng)函數(shù) 在上單調(diào)增加，區(qū)間稱(chēng)為單調(diào)增區(qū)間；反之，函數(shù) 在上單減少，區(qū)間稱(chēng)為單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間例如在其定義域區(qū)間內(nèi)均為單調(diào)函數(shù)。3、奇偶性對(duì) ，若則稱(chēng)為奇函數(shù)；若成立

6、，則稱(chēng)為偶函數(shù)。奇函數(shù)的幾何圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而偶函數(shù)的幾何圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)例如：函數(shù)是偶函數(shù)。例如：函數(shù)是奇函數(shù)。例如：函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。4、周期性對(duì) ，若存在常數(shù) ，對(duì)任何x，滿(mǎn)足則稱(chēng) 為周期函數(shù)， 的一個(gè)周期 例如，函數(shù)，的周期均為，的周期為。而（是一個(gè)常數(shù)）是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但它不存在基本周期，所以說(shuō)，并不是所的周期函數(shù)都存在基本周期（最小周期）。（三）反函數(shù)定義 函數(shù)y=f(x)，若把y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作函數(shù)，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù)x =(y)稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),記作y=f -1(x).注：求函數(shù)的反函數(shù)的一般方法是將關(guān)系式經(jīng)過(guò)一系列的變換

7、，變成的形式，最后再表示成的形式。三、課堂練習(xí) 思考題 1、3四、小結(jié)理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值；了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義；掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì).五、布置作業(yè) 習(xí)題一 1、2、4、5、7、8. 選做：3、6 課 題：1.2函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)目的：1.掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)2.理解復(fù)合函數(shù)的概念3.掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成過(guò)程教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的分解及反三角函數(shù)的圖象課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課前面一節(jié)課講了函數(shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì)、兩要素和反函數(shù)，說(shuō)到反函數(shù)有必要再講講反函數(shù)的圖象，

8、特別是反三角函數(shù)的圖象。1、什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)，為什么？ 答：一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，因?yàn)閺暮瘮?shù)的定義知，函數(shù)y=f(x),對(duì)任意的x有唯一的y與之對(duì)應(yīng)。反函數(shù)是自變量和因變量互換，所以對(duì)任意的y也應(yīng)有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，函數(shù)x= (y)才有意義。所以只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)。2、問(wèn)題出現(xiàn)：對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，不是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，為什么會(huì)有反函數(shù)？ 答：取一個(gè)周期，取 ， ，原函數(shù)y=sinx ，x ，y1，1反函數(shù)y=arcsinx，x1，1，y ，二、講授新課（一）基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)：y=c(c為常數(shù))冪函數(shù)： y=（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)：y=(a0，a1，a為常數(shù))對(duì)數(shù)函數(shù)：

9、y=(a0，a1，a為常數(shù))三角函數(shù)：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函數(shù)：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（二）復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)其中，且的值全部或部分落在的定義域內(nèi)，則稱(chēng)為的復(fù)合函數(shù)，而稱(chēng)為中間變量.簡(jiǎn)單說(shuō)：幾個(gè)基本初等函數(shù)的組合例1：若y=，u = sinx，則其復(fù)合而成的函數(shù)為y=，要求u必須0，sinx0，x2k，+2k例2：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)（1）y= （2）y=解：（1）y=，u=cosv，v=（2）y=，u=sinv，v=，t=x+1例3：設(shè)f(x)= g(x)= 求fg(

10、x) gf(x)解：fg(x)=f()=()=4 gf(x)=g()=2 注：此題用“整體代換”的思想.（三）初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟構(gòu)成，且可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)，否則就是非初等函數(shù)。例：雙曲正弦函數(shù) shx = 雙曲余弦函數(shù) chx = 雙曲正切函數(shù) thx = 注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2 9、10、11、17、25、26四、小結(jié)掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)，理解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成過(guò)程.五、布置作業(yè) 習(xí)題一 12、13、14、15、18、19、 選做：24、29課 題：2.1極限的概念教學(xué)目的：1

11、.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。2.熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件3.理解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念， 4.掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的概念及性質(zhì)，會(huì)用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念及性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：1.函數(shù)極限的定義及、的含義2.分段函數(shù)在時(shí)的極限的討論方法3.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課1.寫(xiě)出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程（1） （2） 思考：若，當(dāng)無(wú)限的靠近1時(shí)，值怎樣變化？二、講授新課（一）函數(shù)的極限（1）定義 函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自

12、變量x無(wú)限接近于某個(gè)目標(biāo)時(shí)（一個(gè)數(shù)x，或+或），因變量y無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)f(x)以A為極限。規(guī)定： x從x的左右兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x x從x的左兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x x從x的右兩側(cè)無(wú)限接近于x,記x x x無(wú)限增大時(shí)，用記號(hào)x + x無(wú)限減小時(shí)，用記號(hào)x 無(wú)限增大時(shí)，用記號(hào)x （2）點(diǎn)x的鄰域N(x，)=(x，x+)，其中很小的正數(shù)，X的去心鄰域N(，)=.1、 x x時(shí)函數(shù)的極限舉例說(shuō)明：x 1時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于多少？觀察：當(dāng)：x 1時(shí)，f(x)=x+1，無(wú)限接近2當(dāng)：x 1時(shí)，g(x)=，無(wú)限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無(wú)定義定義1 如果

13、當(dāng)x x時(shí),函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù), 則稱(chēng)為函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限,記作f(x)=A或 (當(dāng) x x時(shí)).此時(shí)也稱(chēng)存在。如果當(dāng)x x時(shí), 函數(shù)不趨近于任何一個(gè)確定的常數(shù),則稱(chēng)不存在。如 ： ，又如= 2注意 ： f(x)=在 處無(wú)定義, 但當(dāng) 時(shí),函數(shù)f(x)=無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)2,所以=2。 結(jié)論：函數(shù)當(dāng) x x時(shí)的極限是否存在，與在點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān). 如上舉例f(x)=在 處無(wú)定義, 但 = 2.定義2 右極限 當(dāng)x x，有定義3 左極限 當(dāng)x x，有函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的單側(cè)極限。定理1 極限存在的充分必要條件 函數(shù) 當(dāng)時(shí)的極限存在的充分必要條件是，當(dāng)時(shí)的左右極限

14、都存在并且相等.即 注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計(jì)算它在指定點(diǎn)的左極限和右極限是否存在并且是否相等。例如：判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限 （當(dāng)時(shí)） （當(dāng)時(shí)）解： ， 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。 ， 函數(shù)在指定點(diǎn)的極限=0定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A（二）數(shù)列的極限定義4 對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A為數(shù)列的極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于A，記為=A或A（n）定理3 單調(diào)數(shù)列極限存在定理單調(diào)增加(上升)數(shù)列：?jiǎn)握{(diào)減少(下降)數(shù)列：?jiǎn)握{(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。單調(diào)有界原理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。（三）極限的性質(zhì)1、唯一性 若，則 2、

15、有界性 若，則存在的某一去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi)函數(shù)有界. 3、保號(hào)性 若且，則存在某個(gè)去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi) 4、夾逼準(zhǔn)則 這個(gè)定理稱(chēng)為夾逼定理，它同樣適用于的情況在這個(gè)公式里x趨近于哪個(gè)數(shù)是非常重要的，x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。（四）關(guān)于極限的幾點(diǎn)說(shuō)明1 一個(gè)變量前加上記號(hào)“l(fā)im”后，是個(gè)確定值。例：正n邊形面積，= 圓面積2 關(guān)于“x”的理解：只要求在的充分小鄰域有定義。與在點(diǎn)和遠(yuǎn)離點(diǎn)有無(wú)意義無(wú)關(guān)。例：在求分段函數(shù)的極限時(shí)尤為重要。3 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：C=C（五）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1、無(wú)窮小量概念定義5 極限為0的量稱(chēng)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小；注：1

16、、無(wú)窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。2、數(shù)零是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。3、無(wú)窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。2、 一個(gè)量無(wú)論多么小，都不能是無(wú)窮小，零唯一例外。當(dāng)xa（或）時(shí)，如果函數(shù)f(x)的極限為0，則稱(chēng)當(dāng)xa（或）時(shí)，f(x)是無(wú)窮小量。若數(shù)列的極限為0，則是無(wú)窮小量。例如：，所以，當(dāng)x0時(shí)，sin x 是無(wú)窮小量。同樣，當(dāng)x0時(shí) (0)，1-cosx，arcsinx 等都是無(wú)窮小量。當(dāng)x+時(shí)， ，所以是無(wú)窮小量.定理4 極限與無(wú)窮小之間的關(guān)系：無(wú)窮小量的性質(zhì)定理5 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量。例如，當(dāng)x0時(shí)，x+sinx也是無(wú)窮小量定理6 無(wú)窮小量與有界量之積是無(wú)窮小量

17、。例如，當(dāng)x0時(shí)，xsinx也是無(wú)窮小量。推論1：任一常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。例如，當(dāng)x0時(shí)，3sinx也是無(wú)窮小量。推論2：有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。（注：兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮?。?、無(wú)窮大量當(dāng)x（或）時(shí)，如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱(chēng)當(dāng)x（或）時(shí)，f(x)是無(wú)窮大量。記作 f(x)=,或f(x)。定義6 若（或）,則稱(chēng)為當(dāng)（或 ）時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大。如=，表示當(dāng) 時(shí), 為無(wú)窮大. 關(guān)于無(wú)窮大量幾點(diǎn)說(shuō)明: 1.無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無(wú)窮大量的實(shí)質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 . 3.若數(shù)列當(dāng)n+時(shí)，它項(xiàng)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則是無(wú)窮大量。4

18、.如果當(dāng)x（或）時(shí)，函數(shù)f(x)是無(wú)窮大量，那么就是當(dāng)x（或）時(shí)的無(wú)窮小量，反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)x（或）時(shí)，函數(shù)f(x)是非零無(wú)窮小量，那么就是當(dāng)x（或）時(shí)的無(wú)窮大量。 即無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量(非零)的倒數(shù)是無(wú)窮大量。(3)無(wú)窮大必?zé)o界，但反之不真。 因此，證明一個(gè)變量是無(wú)窮小量的方法就是證明它的極限為0， 證明一個(gè)變量是無(wú)窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無(wú)窮小量。三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2 習(xí)題二 1、3四、小結(jié)理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；熟練掌握和時(shí)f(x)的極限存在的充要條件，理解無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念，掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的

19、概念及性質(zhì)，會(huì)用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限.五、布置作業(yè) 習(xí)題二 2、4、課 題：2.2極限的運(yùn)算（一）教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論，能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課 1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？ 2、無(wú)窮小的性質(zhì)有哪些？二、講授新課（一）極限的運(yùn)算法則設(shè)在同一變化過(guò)程中（此處省略了自變量的變化趨勢(shì)，下同）及都存在，則有下列運(yùn)算法則：法則1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法則2、f(x) g(x)= f(x) g(x)法則3、=（g(x)0）

20、提示：法則的證明不作要求.(1)直接代入求值例1 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例2 求解：= -例3 求解：=小結(jié)：時(shí)，可直接代入（若代入后令分母為零?？上燃s分后再代入）舉例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、5、 6、（2）型例4 求解：=小結(jié)：時(shí)，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之課堂練習(xí)1、計(jì)算（3）-型，型，例5 求下列函數(shù)極限 1、（-） 2、 3、解：1、（-）=12、=3、=0小結(jié)：1題可看成直接代值的特殊情況2題是“型”經(jīng)?？赏ㄟ^(guò)分母、分子有理化解決3題是無(wú)窮小與有界量的積為無(wú)窮小三、課堂練習(xí) P26 習(xí)作題1、（1）（3）， 補(bǔ)充：

21、求下列極限 1、 2、 3、四、小結(jié)掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論，能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限。特別情形：時(shí)，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之；型經(jīng)?？赏ㄟ^(guò)分母、分子有理化解決；無(wú)窮小與有界量的積為無(wú)窮小.五、布置作業(yè) 習(xí)題二 5、6、選做： 思考題 1課 題：2.2極限的運(yùn)算（二）教學(xué)目的：1.掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限2.理解高階、低階、同階及等價(jià)無(wú)窮小量的定義3.掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量4.會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限教學(xué)重點(diǎn)：1.兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用2.高階、低階、同階和等價(jià)無(wú)窮小的定義與判定及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用2.等價(jià)無(wú)

22、窮小量的判定及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課 考察極限觀察：當(dāng)x0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當(dāng)x取正值趨近于0時(shí)，1，即=1； 當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí)，-x0, -x0, sin(-x)0于是 二、講授新課（二）兩個(gè)重要極限1 =1 特點(diǎn)：它是“”型 （三角形代表同一變量） 思考：?jiǎn)?？? 求解： =2注：1=0例2 求解： =1例3 求解： =（復(fù)習(xí)二倍角）=2=1-2= =例4 求解：原式=注：1、乘積的極限寫(xiě)成極限的乘積時(shí)，必須

23、每個(gè)乘積的極限存在。2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)課堂練習(xí)（一）求下列極限1、 2、 3、 4、 5、 6、 考察極限（1+）觀察：當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí)，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會(huì)超過(guò)3實(shí)際上如果繼續(xù)增大x即當(dāng)x+時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)e2.718281828. 當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)有類(lèi)似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減小而趨向于e2 （1+） = e 特點(diǎn)：（） (1+無(wú)窮小) ，即1型；（）“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù)， 推

24、廣： 例5 （1+）解：原式=例6 （1+） 解：原式=（1+）（1+）=（1+）（1+）=例7 （1+） 解：原式=（1+）=例8 （1）解：原式=1+（）= 1+=例9 （）解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 課堂練習(xí)（二） 習(xí)作題1（4）（8）（三）無(wú)窮小的比較例：當(dāng)x0時(shí)，=3x，=x， =但=0 = =為了比較無(wú)窮小趨于零的快慢，引入無(wú)窮小階定義：設(shè)某一極限過(guò)程中，與都是無(wú)窮小，且 = C（1）若C=0，則稱(chēng)是比高階的無(wú)窮小，記成=0（） 也稱(chēng)是比低階的無(wú)窮小。（2）若C0，則稱(chēng)與是同階無(wú)窮小。特別：若C=1，則稱(chēng)與是等價(jià)無(wú)窮小，記為等價(jià)無(wú)窮小在求兩個(gè)無(wú)窮小之

25、比的極限時(shí)有重要作用。常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小代換：當(dāng)時(shí)，有 x tanxx arcsinxx arctanxx cosx ln(1+x) x x 例10 求解：=例11 求解：=例12 求解：=例13 解：=注：1用等價(jià)代換時(shí)，必須對(duì)分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換）2分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。三、小結(jié)掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價(jià)無(wú)窮小量的定義，掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量，會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價(jià)代換時(shí)，必須對(duì)分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿印⒎帜傅囊蚴竭M(jìn)行替換）

26、，分子或分母中若有“+”“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。四、布置作業(yè) 習(xí)作題2、 習(xí)題二 7 選做： 習(xí)題二 9課 題：2.3函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn)：1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用2.間斷點(diǎn)及其分類(lèi)教學(xué)難點(diǎn)：1點(diǎn)連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用2函數(shù)的連續(xù)性的判定課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課微積分學(xué)中研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類(lèi)重要的函數(shù)，就是連續(xù)

27、函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動(dòng)等等。二、講授新課（一）函數(shù)連續(xù)性的定義 1、點(diǎn)連續(xù) 定義1 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域上有定義，如果自變量的增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)是連續(xù)的。易知：0 即，于是有定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，f(x)在點(diǎn)連續(xù)，必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1） f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義（2） 存在（3） 上述極限值等于函數(shù)值只有一個(gè)條件不滿(mǎn)足，則點(diǎn)就是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱(chēng)為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說(shuō)

28、函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱(chēng)為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是右連續(xù)。定義3（間斷點(diǎn)的分類(lèi)）：設(shè)是的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果：（1）的左右極限都存在，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，當(dāng)，則稱(chēng)為的跳躍間斷點(diǎn)（2）的左右極限都存在，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，當(dāng)存在，但不等于，則稱(chēng)為的可去間斷點(diǎn)（3）除（1）（2）以外的，稱(chēng)為的第二類(lèi)間斷點(diǎn)，當(dāng)=，稱(chēng)為的無(wú)窮間斷點(diǎn)。例1 設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性解：f(1)=1 f(x)= =1 f(x)= (x+1)=2即f(x)不存在x=1是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn)。例2 設(shè)，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。解：f(0)=1 x

29、=0是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn)。例3 在x=1是什么間斷點(diǎn)。解：函數(shù)在x=1處沒(méi)有定義，且= 則x=1為f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線(xiàn)。（二）初等函數(shù)的連續(xù)性1、初等函數(shù)的連續(xù)性1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。2）分段函數(shù)，討論分段點(diǎn)2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若f(x)在點(diǎn)連續(xù)，則即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)值.例4 求極限解：在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0注：基本初等函數(shù)均連續(xù)3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若=a，而函數(shù)f(u)在u=點(diǎn)連續(xù)，則=例5 求極限解：=，復(fù)合函數(shù)是由lnu和

30、u=組成，又=e，在u=e點(diǎn)lnu連續(xù)。=-2 ， x=1為可去間斷點(diǎn)。=（不存在） x=2為無(wú)窮間斷點(diǎn)。（2），x=0不存在，為第二類(lèi)間斷點(diǎn)（3），x=1=2 為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，為跳躍間斷點(diǎn)。2、復(fù)合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限）1） 2） 3）3、根存在1）證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。設(shè)f(x)= ，在（）連續(xù)又f(1)=1-3-1=-30時(shí)y=lnf(x),當(dāng)f(x)0時(shí),y=ln(-f(x),例9 求的導(dǎo)數(shù). 解:課堂練習(xí)（一） 求的導(dǎo)數(shù)2、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例由前面學(xué)習(xí)，同學(xué)們知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率。請(qǐng)大家來(lái)看一看下面的例子：例10 設(shè)氣體以100/s的常速注入球狀的氣球，假定氣體

31、的壓力不變，那么當(dāng)半徑為10cm時(shí)，氣球半徑增加的速率是多少？ 分析：因?yàn)榍虻捏w積V是半徑R的函數(shù)，半徑R是時(shí)間T的函數(shù)； 所以V是t的復(fù)合函數(shù)； 積V對(duì)時(shí)間t的變化率就是體積V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即由題意知： 半徑r對(duì)時(shí)間t的變化率就是半徑r對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即，就是本題所求解：球的體積 又在r=100cm時(shí)，氣球半徑以的速率增加。 例11 若以的速度灌入高為10m，底面半徑為5m的國(guó)錐型水槽中，問(wèn)當(dāng)水深為6m時(shí)，水位上升的速度為多少？ 分析：錐體體積v=半徑x，其中半徑 ，高兩個(gè)都是自變量，想法轉(zhuǎn)化為一個(gè)自變量，即轉(zhuǎn)化為體積是高的函數(shù)。高又是時(shí)間的函數(shù)，所以錐體體積v是時(shí)間的復(fù)合函數(shù)。體積對(duì)時(shí)間

32、的變化率就是體積v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即某時(shí)刻，水位的上升速度就是高y對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即解：設(shè)在時(shí)間t時(shí)，水槽中水的體積為v，水半徑為x，水槽中小的深度為y。 由題意有，且有即 即 當(dāng)水深6m時(shí)，水位上升速度為0.71m/min3、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=在點(diǎn)y 處可導(dǎo)，而且，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有 應(yīng)用此定理，下面來(lái)導(dǎo)出幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例12 求 導(dǎo)數(shù)解： 的反函數(shù)為 又 單調(diào)可導(dǎo)，故特別：例13 設(shè) （u為實(shí)數(shù)），求.解： 可看作 與 復(fù)合而成例14 求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)解：的反函數(shù) x=siny又x=siny在上單調(diào)可導(dǎo)= 類(lèi)似地，有例

33、15 求y=arcsinx導(dǎo)數(shù)解：y=arctanx 的反函數(shù)為x=tany，且x=tany在 內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)類(lèi)似地，有：例16 設(shè)，求解：例17 設(shè)求解：三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2四、小結(jié) 熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則。初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)公式和運(yùn)算法則已介紹完，請(qǐng)同學(xué)們課后認(rèn)真復(fù)習(xí).五、布置作業(yè) 習(xí)題三 15、16 選做： 習(xí)作題 3課 題：3.2求導(dǎo)法則（三）教學(xué)目的：1.熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式2.掌握隱函數(shù)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的求導(dǎo)公式教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則是什么？2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的

34、關(guān)鍵是什么？二、講授新課（四）初等函數(shù)的求導(dǎo)公式通過(guò)前面的學(xué)習(xí)和討論,已求出所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),推出了函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,反函數(shù)求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.這樣我們就解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.為便于查閱,我們將已學(xué)過(guò)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下:10基本導(dǎo)數(shù)公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）20函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)均可導(dǎo),則（1）；（2）（為常數(shù)）；（3）30復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè),均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 或 .40

35、反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)且存在反函數(shù),則 .（五）、三個(gè)求導(dǎo)方法：1、隱函數(shù)求導(dǎo)法：（1） 顯函數(shù)y=f(x)這種由x代數(shù)式表求y的函數(shù)；（2） 隱函數(shù)：變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系由某一方程F（x,y）=0的確定的函數(shù)叫隱函數(shù)；由方程F（x,y）=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)。由方程F（x,y）=0直接求它的確定的隱函數(shù)之導(dǎo)數(shù)的方法叫隱函數(shù)求導(dǎo)法。由隱含數(shù)的概念易知F（x,y）=F(x,f(x)=0，y是復(fù)合函數(shù)的中間變量，因此要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo).例如：,則例18 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析： 由是y 的函數(shù)，y又是x的函數(shù)，因此是x的復(fù)合函數(shù)；解：方程兩端對(duì)求導(dǎo)：有 即注意：表達(dá)式允許有含

36、y的式子；例19 求曲線(xiàn)在點(diǎn)（2，2）處的切線(xiàn)方程；分析：（1）關(guān)鍵求斜率k;(2 )由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：可用隱函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)解決；解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)： 所求切線(xiàn)方程：2、 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法步驟：（1）兩邊取對(duì)數(shù)；（2）兩邊對(duì)x求導(dǎo)；它適合于含乘、除、乘方、開(kāi)方的因子所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)。例20 設(shè)y=求：解：兩邊先取絕對(duì)值，再取對(duì)數(shù)，得兩端對(duì)x求導(dǎo)：例21 求y=的導(dǎo)數(shù)解：兩邊取對(duì)數(shù)， lny=sinxlnx等式兩端對(duì)求導(dǎo) lnx三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 5 、6 四、小結(jié) 熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，掌握隱函數(shù)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，關(guān)鍵弄清其求導(dǎo)步驟.五、布置作業(yè) 習(xí)題三 24、 25課 題：3.2求導(dǎo)法則（四）教學(xué)目的：1.了解由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法，高階導(dǎo)數(shù)的概念2.熟練掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法課 型： 講授課課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課1.隱含數(shù)的求導(dǎo)法則是什么？2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于哪些情況？二、講授新課1、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法 若參數(shù)方程 確定y與間