中考數(shù)學專題：直角三角形與二次函數(shù)的分類討論問題(解析版)

1、專題32 直角三角形與二次函數(shù)的分類討論問題1、已知拋物線y16x223x+2與x軸交于點A，B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱軸與x軸交于H點，分別以OC、OA為邊作矩形AECO（1）求直線AC的解析式；（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M，當四邊形AOCP面積最大時，求|PMOM|的最大值（3）如圖3，將AOC沿直線AC翻折得ACD，再將ACD沿著直線AC平移得A'CD'使得點A、C'在直線AC上，是否存在這樣的點D，使得AED為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1) y13x+2；(2) 點M坐標

2、為（2，53）時，四邊形AOCP的面積最大，此時|PMOM|有最大值616； (3)存在，D坐標為：（0，4）或（6，2）或（35，195）【解析】（1）令x0，則y2，令y0，則x2或6，A（6，0）、B（2，0）、C（0，2），函數(shù)對稱軸為：x2，頂點坐標為（2，83），C點坐標為（0，2），則過點C的直線表達式為：ykx+2，將點A坐標代入上式，解得：k=13，則：直線AC的表達式為：y=13x+2；（2）如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H四邊形AOCP面積AOC的面積+ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時，只需要ACP的面積最大即可，設點P坐標為（m，16m223m+2），則點G坐

3、標為（m，13m+2），SACP=12PGOA=12（16m223m+213m2）6=12m23m，當m3時，上式取得最大值，則點P坐標為（3，52）連接OP交對稱軸于點M，此時，|PMOM|有最大值，直線OP的表達式為：y=56x，當x2時，y=53，即：點M坐標為（2，53），|PMOM|的最大值為：(3+2)2+(5253)222+(53)2=616（3）存在AECD，AECADC90°，EMADMC，EAMDCM（AAS），EMDM，AMMC，設：EMa，則：MC6a在RtDCM中，由勾股定理得：MC2DC2+MD2，即：（6a）222+a2，解得：a=83，則：MC=103

4、，過點D作x軸的垂線交x軸于點N，交EC于點H在RtDMC中，12DHMC=12MDDC，即：DH×103=83×2，則：DH=85，HC=DC2DH2=65，即：點D的坐標為（65，185）；設：ACD沿著直線AC平移了m個單位，則：點A坐標（6+3m10，m10），點D坐標為（65+3m10，185+m10），而點E坐標為（6，2），則A'D'2=(6+65)2+(185)2=36，A'E2=(3m10)2+(m102)2=m24m10+4，ED'2=(245+3m10)2+(85+m10)2=m2+32m10+1285若AED為直角三角

5、形，分三種情況討論：當A'D'2+A'E2=ED'2時，36+m24m10+4=m2+32m10+1285，解得：m=2105，此時D（65+3m10，185+m10）為（0，4）；當A'D'2+ED'2=A'E2時，36+m2+32m10+1285=m24m10+4，解得：m=8105，此時D（65+3m10，185+m10）為（6，2）；當A'E2+ED'2=A'D'2時，m24m10+4+m2+32m10+1285=36，解得：m=8105或m=105，此時D（65+3m10，185+m10）

6、為（6，2）或（35，195）綜上所述：D坐標為：（0，4）或（6，2）或（35，195）2、已知拋物線:的項點為，交軸于、兩點(點在點左側)，且(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)過點的直線交拋物線于點,交軸于點,若的面積被軸分為1: 4兩個部分，求直線的解析式；(3)在(2)的情況下，將拋物線繞點逆時針旋轉180°得到拋物線,點為拋物線上一點，當點的橫坐標為何值時，為直角三角形？【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3）點橫坐標為或或或時，為【解析】（1）當時，頂點，代入拋物線得：，解得，拋物線的函數(shù)解析式為（2）知拋物線交軸于、兩點、關于軸對稱，即設直線解析式：點代入得：直線：

7、，整理得：，若，則解得：（舍去），直線的解析式為若，則，解得：（舍去），（舍去）綜上所述，直線的解析式為.（3）由（2）得：，拋物線繞點逆時針旋轉得到拋物線拋物線解析式為：設點坐標為若，如圖1，則 過作軸于點，即解得：，若，如圖2，過點作軸于點，即解得：，若，則點在以為直徑的圓除點、外的圓周上顯然以為真徑的圓與拋物線無交點，故此情況不存在滿足的綜上所述，點橫坐標為或或或時，為.3、已知：如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=12x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解

8、析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上有一動點P，從O點出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，是否存在點P使得PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P運動的時間t的值，若不存在，請說明理由（4）若動點P在x軸上，動點Q在射線AC上，同時從A點出發(fā)，點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，說明理由【答案】y=12x232x+1;(2)92;(3)t=1或3;(4)a=235或655 【解析】（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=12x2+bx

9、+c，得：c1b+c+120 ，解得：b32c1 故解析式y(tǒng)=12x232x+1；（2）設C（x0，y0），則有 y012x0+1y012x0232x0+1，解得x04y03，C（4，3），由圖可知：S=SACE-SABD，又由對稱軸為x=32可知E（2，0），S=12AEy0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92； （3）設符合條件的點P存在，令P（t，0）：當P為直角頂點時，如圖：過C作CFx軸于F；RtBOPRtPCF，BOPFOPCF，即 14tt3，整理得t2-4t+3=0，解得a=1或a=3；故可得t=1或3（4）存在符

10、合條件的a值，使APQ與ABD相似，當APQABD時，APABAQAD，解得：a=655；當APQADB時，APADAQAB， 解得：a=253，存在符合條件的a值，使APQ與ABD相似，a=655或2534、已知，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A（1，0）和C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA+PC的值最??？如果存在，請求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）設點M在拋物線的對稱軸上，當MAC是直角三角形時，求點M的坐標【答案】（1）；（2）當?shù)闹底钚r，點P的坐標為；（3）點M的坐標為、或.【思路引導】由點A、C的坐標，利用待定系

11、數(shù)法即可求出拋物線的解析式；連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；設點M的坐標為，則，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進而即可得出點M的坐標【解析】解：將、代入中，得：，解得：，拋物線的解析式為連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，如圖1所示當時，有，解得：，點B的坐標為拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線設直線BC的解析式為，將、代入中，

12、得：，解得：，直線BC的解析式為當時，當?shù)闹底钚r，點P的坐標為設點M的坐標為，則，分三種情況考慮：當時，有，即，解得：，點M的坐標為或；當時，有，即，解得：，點M的坐標為；當時，有，即，解得：，點M的坐標為綜上所述：當是直角三角形時，點M的坐標為、或【方法總結】本題考查待定系數(shù)法求二次一次函數(shù)解析式、二次一次函數(shù)圖象的點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及勾股定理，解題的關鍵是：由點的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；由兩點之間線段最短結合拋物線的對稱性找出點P的位置；分、和三種情況，列出關于m的方程5、如圖，動直線 ykx+2（k0）與 y 軸交于點 F，與拋物線 y14x2+1 相

13、交于A，B 兩點，過點 A，B 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為點 C，D，連接 CF，DF，請你判斷CDF 的形狀，并說明理由【答案】CFD 是直角三角形見解析?！窘馕觥?4x2+1kx+2，14x2kx10， x2k±2k2+1，x12k2k2+1，x22k+2k2+1，OD2k+2k2+1，OC2k2+12k， DC2（2k+2k2+1+2k2+12k）216（k2+1）， CF222+（2 k2+12k）28k28kk2+1+8， DF222+（2k+2k2+1）28k2+8kk2+1+8，DC2CF2+DF2，CFD90°，故CFD 是直角三角形6、如圖，已知直線

14、yx+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過yax2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PCx軸于點C，交拋物線于點D（1）若拋物線的解析式為y12x2+x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N求點M、N的坐標；是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）當點P的橫坐標為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【答案】(1) M（1，92），N（1，3）； 見解析;(2)見解析.【解析】解：（1）y12x2+x+412（x1）2+92，頂點M的坐標為（1，92），當x1

15、時，y1+43，點N的坐標為（1，3）；不存在理由如下：MN92332，設點P 的坐標為（m，m+4），則D（m，12m2+m+4），PD12m2+m+4（m+4）12m2+2m，PDMN當PDMN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即12m2+2m32，解得：m1或3（m1舍去），點P（3，1），由N（1，3），PN312+312=22MN，平行四邊形MNPD不是菱形，即：不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；（2）當BDP90°時，點P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，D（2，4），又A（4，0），B（0，4），拋物線的表達式為：y12x2+x+4；當PBD90°時，PBD

16、為等腰直角三角形，則PD2xP4，D（2，6），又A（4，0），B（0，4），把A、B、D坐標代入二次函數(shù)表達式得：16a+4b+c=0c=44a+2b+c=6，解得：a=1b=3c=4，故：二次函數(shù)表達式為：yx2+3x+47、如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為(0，8)，點C的坐標為(6，0)，拋物線經(jīng)過點A、C，與AB交于點D（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，CPQ的面積為S求S關于m的函數(shù)表達式；當S最大時，在拋物線的對稱軸l上，若存在點F，使DFQ為直角三角形，請直接寫

17、出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）S=；存在，【解析】（1）將代入拋物線的解析式得解得故拋物線的函數(shù)解析式為；（2）如圖，作于M，于N，則，即故S關于m的函數(shù)表達式為；由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當時，S取得最大值，最大值為，即的對稱軸為則可設點軸點D與點A關于對稱軸對稱，即軸，且由兩點之間的距離公式得，當時，為直角三角形則點F縱坐標與點D縱坐標相等，即，因此，當時，為直角三角形則點F縱坐標與點Q縱坐標相等，即，因此，當時，為直角三角形由勾股定理得，即解得則或綜上，存在這樣的點F，所有符合條件的點F的坐標為或或或8、如圖1，對稱軸為直線 的拋物線經(jīng)過B（2，0）、C

18、（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）6；（3）Q（，0）【解析】解：（1）由對稱性得：A（1，0），設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2），把C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1）（x2），拋物線的解析式為：；（2）如圖1，設點P（m，），過P作PDx軸，垂足為D，S=S梯形+SPDB=，S=，

19、20，S有最大值，則S大=6；（3）存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形，理由是：分以下兩種情況：當BQM=90°時，如圖2：CMQ90°，只能CM=MQ設直線BC的解析式為：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直線BC的解析式為：y=2x+4，直線BC的解析式為：y=2x+4，設M（m，2m+4），則MQ=2m+4，OQ=m，BQ=2m，在RtOBC中，BC=，MQOC，BMQBCO，即，BM=，CM=BCBM=，CM=MQ，2m+4=，m=，Q（，0）當QMB=90°時，如圖3：設M（a，2a+4），過A作AEBC，

20、垂足為E，則AE的解析式為：，則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），設Q（x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：，由得：=4（舍），=，當a=時，x=，Q（，0）綜上所述，Q點坐標為（，0）或（，0）9、如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y22x2+522x32與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C，連接AC、BC，點D(0，22)在y軸上，連接BD（1）請求出直線AC、BD的解析式；（2）如圖1，點P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作PEy軸交直線AC于點E，連接OE當AOE=BDO時，點M為直線x軸上一點，點N為y軸上一點，連接EM、NP，當四

21、邊形MNPE周長最小時，請求出點N的坐標并直接寫出此時四邊形MNEP的周長；（3）如圖2，在（2）的結論下，連接OP，將OEP繞點O旋轉，點E旋轉后對應點為E1，點P旋轉后對應點為P1，直線E1P1與y軸交于點F，與直線BD交于點Q在旋轉過程中，DQF能否為直角三角形，若能，請求出DF的長度；若不能，請說明理由【答案】（1）9+33+36 （2）9 （3）(32,972),(32,972),(32,9972),(32,9+972)【解析】（1）對于拋物線y22x2+522x32，令y=0，得到22x2+522x32=0，解得x=-6 或1，A（-6，0），B（1，0），令x=0，得到y(tǒng)=-32

22、，C（0，-32），直線AC的解析式為y=-22x-33，D（0，22），直線BD的解析式為y=-22x+22（2）如圖1中，作點E關于x軸的對稱點E，點P關于y軸的對稱點P，連接PE交x軸于M，交y軸于N，EE交OA于HEM+MN+NP=EM+MN+NP，PE的值為定值，此時四邊形PEMN的周長最小，設P（m，22m2+522m-32），則E（m，-22m-32），EOH=BDO，tanEOH=tanBDO，EHOH=OBOD，m22m+32=122，解得m=-4，E（-4，-2），P（-4，-52），E（-4，2），P（4，-52），PE=42，PE=234，四邊形PEMN的周長的最小值為

23、42+234最小PE的解析式為y=-324x-22，點N的坐標為（0，-22）（3）如圖2中，當DQF=90°，H的對稱點為H1OFH1DBO，OFDB=OH1OD，OF3=422，OF=32，DF=OF-OD=2如圖3中，當DFQ=90°，易知OF=OH=4，此時DF=OF-OD=4-22如圖4中，當DQF=90°時，同法可得OF=32，此時DF=52如圖5中，當DFQ=90°時，OF=4，此時DF=4+22綜上所述，滿足條件的DF的值為2或4-22或52或4+2210、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B

24、兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1（1）求拋物線的解析式；（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數(shù)關系，并求S的最大值；（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）S=，運動1秒使PBQ的面積最大，最大面積是；（3）t=或t=【解析】（1）點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1，A（2，0），

25、把點A（2，0）、B（4，0）、點C（0，3），分別代入（a0），得：，解得：，所以該拋物線的解析式為：；（2）設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，MB=63t由題意得，點C的坐標為（0，3）在RtBOC中，BC=5如圖1，過點N作NHAB于點H，NHCO，BHNBOC，即，HN=t，SMBN=MBHN=（63t）t，即S=，當PBQ存在時，0t2，當t=1時，SPBQ最大=答：運動1秒使PBQ的面積最大，最大面積是；（3）如圖2，在RtOBC中，cosB=設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，MB=63t當MNB=90°時，cosB=，即，化簡，得17t=24，解得t=；當BMN=90°時，cosB=，化簡，得19t=30，解得t=綜上所述：t=或t=時，MBN為直角三角形11、在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k1）xk與