2014年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_專題05_數(shù)列教學(xué)案_文

1、2014年高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案：專題05 數(shù)列1 考場(chǎng)傳真1.【2013年安徽文】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則=（ ） A. B. C. D.22.【2013年新課標(biāo)I文】設(shè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）A. B. C. D.3.【2013年遼寧文】下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題：數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列.其中的真命題為（ ）A. B. C. D.4.【2012年新課標(biāo)全國(guó)文12】數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為（ ）A.3690 B.3660 C.1845 D.18305.【2012年四川文12】設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，

2、則（ ）A.0 B.7 C.14 D.216.【2013年福建文】已知等差數(shù)列的公差=1，前項(xiàng)和為.(I)若成等比數(shù)列，求；(II)若，求的取值范圍.7.【2013年廣東文】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明：；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)，有8.【2012年江蘇卷20】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值 若，則，于是,二高考研究1. 考綱要求：（5）數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題也是高考考查的重點(diǎn)，主要考查利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決一基礎(chǔ)知識(shí)整合1. 等差數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)：（1）通項(xiàng)公式要點(diǎn)

3、：.（2）前項(xiàng)和公式要點(diǎn)：Snna1d.（3）通項(xiàng)公式的函數(shù)特征：是關(guān)于的一次函數(shù)形式(A、B為常數(shù))，其中；前項(xiàng)和公式的函數(shù)特征：是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)形式SnAn2Bn (A、B為常數(shù))，其中.（5）常用性質(zhì)：如果數(shù)列是等差數(shù)列（），特別地，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列.等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和為An，Bn，則.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列仍是等差數(shù)列.（6）等差數(shù)列的單調(diào)性設(shè)等差數(shù)列的公差為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；若，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列.2. 等比數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)：（1）通項(xiàng)公式要點(diǎn)：.（2）前

4、項(xiàng)和公式要點(diǎn)：.（3）通項(xiàng)公式的函數(shù)特征：是關(guān)于的函數(shù)（，都是不為0的常數(shù)，）；前項(xiàng)和公式的函數(shù)特征：前項(xiàng)和是關(guān)于的函數(shù)（為常數(shù)且，）.（4）判斷方法：定義法：（）；（證明方法）等比中項(xiàng)法：；（證明方法）通項(xiàng)公式法：；前項(xiàng)和公式法：或.（5）常用性質(zhì)：如果數(shù)列是等比數(shù)列（），特別地，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足成等比數(shù)列（其中均不為0）.（7）等差與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列；若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；若為等差數(shù)列又等比數(shù)列是非零常數(shù)列.3.數(shù)列常見(jiàn)通項(xiàng)公式的求法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再

5、利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.（4）待定系數(shù)法： （其中均為常數(shù)，）. （或,其中均為常數(shù)）.解法：在原遞推公式兩邊同除以，得：，令，得：，再按第（3）種情況求解.（6）待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.（7）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)）.解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中滿足，再按第（4）種情況求解.（8） 取倒數(shù)法：解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為，按第（3）種情況求解.（，解法：等式兩邊同時(shí)除以后換元轉(zhuǎn)化為，按第（3）種情況求解.）.（9）取對(duì)數(shù)解法：這種類型一般是等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，后轉(zhuǎn)化為，按第

6、（3）種情況求解.進(jìn)行求解.4. 數(shù)列求和的主要方法：（1）公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分或.（2）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的（3）分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減（4）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如

7、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的（5）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式如下：分式型， 三角函數(shù)型,根式型（6）并項(xiàng)求和法：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和二高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解【例1】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31，若從第16項(xiàng)開(kāi)始小于1，則此數(shù)列的公差的取值范圍是（ ） 【規(guī)律方法】等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個(gè)量，如果已知其中的三個(gè)，就可以求其余的兩個(gè)其中a1和d(或q)是兩個(gè)基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算

8、問(wèn)題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量，然后根據(jù)通項(xiàng)公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過(guò)解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn)【舉一反三】【2013年大綱全國(guó)文】已知數(shù)列滿足則的前10項(xiàng)和等于（ ） A. B. C. D.考點(diǎn)2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)【例1】 【浙江省溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三10月測(cè)試數(shù)學(xué)試題（文科）】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為= ( )A18 B20 C21 D22【舉一反三】【浙江溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）】等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也可以確定的是（ ）A B C D答案:B解析：為定值，為定值.【例2】【山西省

9、忻州一中 康杰中學(xué) 臨汾一中 長(zhǎng)治二中2014屆高三第一次四校聯(lián)考文】設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( )A.1 B.1 C. 2 D.【規(guī)律方法】(1)條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別.(2)等差中項(xiàng)在等差數(shù)列求和公式中的應(yīng)用在等差數(shù)列an中，如n2k1(kN*)，則a1an2ak1，所以.【舉一反三】【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考文】為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= 考點(diǎn)3 判斷和證明等差數(shù)列、等比數(shù)列【例1】【2013年陜西文】設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和. () 若為等差數(shù)

10、列, 推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式; () 若, 且對(duì)所有正整數(shù)n, 有. 判斷是否為等比數(shù)列. 并證明你的結(jié)論.【規(guī)律方法】(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列；q(q是非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(2)等差(比)中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列；aan·an2(nN*，an0)an是等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列；ana1·qn1(其中a1，q為非零常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列；SnAqnA(A為非零常數(shù)，q0,1)an是等比數(shù)列.【舉一反

11、三】【浙江溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）】已知數(shù)列及其前項(xiàng)和滿足：（，）.(1）證明：設(shè)，是等差數(shù)列；（2）求及. 考點(diǎn)4 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】【內(nèi)蒙古赤峰市全市優(yōu)質(zhì)高中2014屆高三摸底考試（文）】已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則等于( )A. 30 B. 27 C.24 D.33【舉一反三】【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考文】公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則=（ ）. A. 18 B. 24 C. 60 D. 90考點(diǎn)5 一般數(shù)列的性質(zhì)【例1】【江蘇省蘇州市2014屆高三九月測(cè)試試卷】已知各項(xiàng)均為正

12、數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為_(kāi). 【規(guī)律方法】（1）在處理數(shù)列大單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列恒成立”；（2）數(shù)列的單調(diào)性與的單調(diào)性不完全一致；（3）當(dāng)數(shù)列對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題.【舉一反三】已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） 考點(diǎn)6 一般數(shù)列的通項(xiàng)及求和【例1】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷文科）】 設(shè)數(shù)列滿足，,且對(duì)任意，函數(shù) ，滿足 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【規(guī)律方法】（1）通常情況下數(shù)列的第（1）題是需要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，而且其中也設(shè)出一個(gè)新的數(shù)列，我們

13、在做的過(guò)程中，要把這個(gè)條件作為一種提示，配湊成這種新的數(shù)列，即可解決；若題中沒(méi)有設(shè)出這樣的新數(shù)列，可以看知識(shí)整合中10種求通項(xiàng)的方法；（2）對(duì)于數(shù)列求和，需要先判斷用那種求和的方法，然后進(jìn)行求解.【舉一反三】【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)文科】等差數(shù)列中，（I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【例2】【2012高考安徽文21】設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)的前項(xiàng)和為，求.論.【規(guī)律方法】數(shù)列求和中若是出現(xiàn)了三角函數(shù)，要對(duì)三角函數(shù)中的進(jìn)行討論，如若，則按進(jìn)行討論.【舉一反三】【安徽省望江四中2014屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)

14、學(xué)（文）】數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則 【例3】【江蘇省蘇州市2014屆高三九月測(cè)試試卷】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意滿足，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【規(guī)律方法】若數(shù)列求和中分奇偶項(xiàng)，常用的方法是算出奇數(shù)項(xiàng)的和或者將奇、偶用數(shù)學(xué)符號(hào)代替.【舉一反三】【湖北省武漢市2014屆高三10月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（文）】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于n1，2，3，有an1（）當(dāng)a35時(shí)，a1的最小值為 ；（）當(dāng)a11時(shí)，S1S2S10 .考點(diǎn)7 存在探索與證明性問(wèn)題【例1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)(an1，Sn)在直線3x2y30上(1)

15、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【規(guī)律方法】本題的特點(diǎn)是先從特殊的情況得出值，在這個(gè)值下，一般結(jié)論也成立，這是解決含有參數(shù)的等差數(shù)列、等比數(shù)列證明的一個(gè)重要方法，其實(shí)質(zhì)是一般與特殊的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，也是合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合【舉一反三】已知數(shù)列an滿足a1，1a1a2anan10(0且1，nN*)(1)若aa1·a3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)8 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用【例1】 【2013年全國(guó)高考統(tǒng)一考

16、試天津數(shù)學(xué)（文）卷】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 且成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; () 證明. 【規(guī)律方法】數(shù)列與不等式交匯命題，不等式常作為證明或求解的一問(wèn)呈現(xiàn)，解答時(shí)先將數(shù)列的基本問(wèn)題解決，再集中解決不等式問(wèn)題，注意放縮法、基本不等式、裂項(xiàng)、累加法的運(yùn)用.【舉一反三】【成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2014級(jí)高三開(kāi)學(xué)檢測(cè)試卷文】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：.（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）若數(shù)列的滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.考點(diǎn)9 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例1】某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會(huì)議室開(kāi)設(shè)“音樂(lè)欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的本校課程要求每個(gè)學(xué)生都參加，且第一次聽(tīng)“音樂(lè)欣賞”課的

17、人數(shù)為m(400<m<600，其余的人聽(tīng)“美術(shù)鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個(gè)課中自由選擇據(jù)往屆經(jīng)驗(yàn)，凡是這一次選擇“音樂(lè)欣賞”的學(xué)生，下一次會(huì)有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會(huì)有30%改選“音樂(lè)欣賞”，用an，bn分別表示在第n次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù)(1)若m500，分別求出第二次、第三次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)a2，a3；(2)證明數(shù)列an600是等比數(shù)列，并用n表示an；若要求前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^(guò)5 800，求m的取值范圍由已知S105800，即6000(m600)×5800，【規(guī)律方法】解決數(shù)

18、列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題隨著正整數(shù)變化的量用數(shù)列表達(dá)出來(lái)，然后利用數(shù)列知識(shí)對(duì)表達(dá)的數(shù)列進(jìn)行求解(求和、研究單調(diào)性、最值等)，根據(jù)求解結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出答案【舉一反三】為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，長(zhǎng)沙市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換車每年的投入量比上一年增加50%，混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛(1)求經(jīng)過(guò)n年，該市被更換的公交車總數(shù)S(n)；(2)若該市計(jì)劃用7年的時(shí)間完成全部更換，求a的最小值所以a.三錯(cuò)混辨析1. 忽視n的取值范圍致誤 【例1】已知數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)的和為Sn，對(duì)任意的自然數(shù)n2，an是3Sn4與2Sn1的等差中項(xiàng)求通項(xiàng)an.2. 求等比數(shù)列的公比時(shí)忽視隱含條件致誤【例2】已知一個(gè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)之積為，第2,3項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比3. 解數(shù)列問(wèn)題時(shí)由思維定勢(shì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 【例3】已知等比數(shù)列中，則其前3項(xiàng)的和的取值范圍是（ ）A(，1B(，0)(1，)C3，) D(，13，)1.【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考文】若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.【吉林省白山市第一中學(xué)2014屆高三8月摸底考