10個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題

1、10個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè) 定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸 對(duì) 稱 最 值圖形/BlA、/IBP1M N1原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A, B為定點(diǎn)，1為定直 線，P為直線1上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AP+ BP的 最小值A(chǔ), B為定點(diǎn)，1為定直 線，

2、MN為直線I上的一條 動(dòng)線段，求AM + BN的最 小值A(chǔ), B為定點(diǎn)，1為定直 線，P為直線I上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，求AP-BP|的最大 值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定 直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M , N 重合，然后作其中一個(gè)定 點(diǎn)關(guān)于定直線I的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定 直線1的對(duì)稱點(diǎn)折 疊 最 值圖形ABNC原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在厶ABC中，M , N兩點(diǎn)分別是邊 AB, BC上的動(dòng)點(diǎn)，將 BMN沿MN翻折， B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B'，連接AB'，求AB'的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求 AB' + B'N+NC的最小值、典型題型1. 如圖：點(diǎn)P是/ AOB內(nèi)

3、一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊 OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若/ AOB=45 ° OP = 3. 2 ,則厶PMN 的周長(zhǎng)的最小值為.【分析】作P關(guān)于OA, OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D .連接OC,OD .則當(dāng)M,N是CD與OA, OB的交點(diǎn)時(shí)， PMN 的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得： COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.【解答】解：作P關(guān)于OA, OB的對(duì)稱點(diǎn)C, D .連接OC, OD .則當(dāng)M , N是CD與OA, OB的交點(diǎn)時(shí)， PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是 CD的長(zhǎng). PC關(guān)于OA對(duì)稱，/ COP=2 / AOP , OC=OP同理，/ DOP=2 / BOP , OP

4、 = OD/ COD= / COP+ / D0P=2 (/AOP+ / BOP) =2 / AOB=90° OC=OD . COD是等腰直角三角形.貝y CD=、2oC= 2 XT. 2=6.A【題后思考】 本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解 PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵.2. 如圖，當(dāng)四邊形 FABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=【分析】因?yàn)锳B, PN的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB的長(zhǎng)度就行了.問題就是 PA+NB什么時(shí)候最短.把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B點(diǎn)；作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交x軸于P,從而確定N點(diǎn)位置, 此時(shí)PA+NB最短.設(shè)直線AB 的解析式為y=kx+b

5、，待定系數(shù)法求直線解析式即可求得a的值.【解答】 解：將N點(diǎn)向左平移2單位與P重合，點(diǎn)B向左平移2單位到B'(2, - 1),作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B ”,根據(jù)作法知點(diǎn) B (2, 1),設(shè)直線AB "的解析式為y=kx+b,1 =2k b則，解得 k=4 , b= - 7.廠3 =k +b y=4x- 7 .當(dāng) y=0 時(shí)，x=，即 P ( , 0), a=.444故答案填：-.【題后思考】 考查關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí).3. 如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn) A到直線的距離 AM=4，點(diǎn)B到直線的距離 BN=1，且MN=4, P為 直線上的動(dòng)點(diǎn)，|FA- P

6、B|的最大值為 .N p【分析】作點(diǎn)B于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B',則PB=PB因而|PA - PB|=|PA - PB 則當(dāng)A, B'、P在一條直線上時(shí)， |PA - PB|的值最大.根據(jù)平行線分線段定理即可求得 PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得 FA、PB'的值， 進(jìn)而求得|FA - PB|的最大值.【解答】 解：作點(diǎn)B于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B,連AB'并延長(zhǎng)交直線I于P. B N=BN=1 , 過D點(diǎn)作B D丄AM , 利用勾股定理求出 AB、=5 |PA- PB|的最大值=5 .【題后思考】 本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的

7、關(guān)鍵.4. 動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCD中，AB=3, AD=5 .如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn) A落在BC邊上的A處， 折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn) P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn) P、Q分別在AB、AD邊 上移動(dòng)，則點(diǎn) A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為E C【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即BA取最大或最小值時(shí)，點(diǎn) P或Q的位置經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大值3和當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，BA的最小值1 .所以可求點(diǎn)A在BC邊上 移動(dòng)的最大距離為 2.【解答】 解：當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大值是3,當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)(如圖)，由勾股定理得 A C=4，此時(shí)BA取最小

8、值為1 . 則點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)的最大距離為 3 - 1=2 .故答案為：2E CA:(O)【題后思考】 本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺 乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤.5. 如圖，直角梯形紙片 ABCD , AD丄AB, AB=8, AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段 AB、AD上，將 AEF 沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.當(dāng)P落在直角梯形 ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于 .EF最大，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD最?。桓鶕?jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，問題即可解決.【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P落在梯形的內(nèi)部時(shí)，/ P=Z A=90°四邊形PF

9、AE是以EF為直徑的圓內(nèi)接四邊形，只有當(dāng)直徑 EF最大，且點(diǎn) A落在BD上時(shí)，PD最小, 此時(shí)E與點(diǎn)B重合；由題意得：PE=AB=8,由勾股定理得：2 2 2BD =8 +6 =80, BD=4,5 , PD=4,5 -8.核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間,以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為 動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng).6. 如圖，/ MON=90 °矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊0M , ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之 在0M上運(yùn)動(dòng)，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB=2 , BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) D到點(diǎn)0的最大距離 為【分析

10、】取AB的中點(diǎn)E,連接0D、0E、DE ,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得0E二AB,2利用勾股定理列式求出 DE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得0D過點(diǎn)E時(shí)最大.【解答】 解：如圖，取 AB的中點(diǎn)E,連接0D、0E、DE ,/ M0N=90° , AB=21 0E=AE= AB=1,2/ BC=1，四邊形ABCD是矩形， AD=BC=1 , DE= .2 ,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，0D v 0E+DE ,6當(dāng)0D過點(diǎn)E是最大，最大值為,2 +1 .故答案為：.2+1 .7【題后思考】 本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊

11、關(guān) 系，勾股定理，確定出 0D過AB的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.7.如圖，線段 AB的長(zhǎng)為4, C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角 ACD和等腰直角 BCE,那么DE長(zhǎng)的最小值是【分析】設(shè)AC=x, BC=4 - x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出 定理然后用配方法即可求解.CD = x,CD(4 - x),根據(jù)勾股#【解答】 解：設(shè)AC=x, BC=4- x, ABC, BCD均為等腰直角三角形, cd=2, cd ,=22 2(4 - x),#/ ACD=45° , / BCD ' =45°/ DCE=90° ,2 2 2

12、1 2 1 22 2 DE =CD +CE = x +(4 - x) =x - 4x+8= (x - 2) +4,2 2根據(jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng)x取2時(shí)，DE取最小值，最小值為：4.故答案為：2.【題后思考】 本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最 值.&如圖，菱形ABCD中，AB=2, / A=120。，點(diǎn)P, Q, K分別為線段 BC, CD , BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn) P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P 連接PQ與BD的交點(diǎn)即為所求的 點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQ丄C

13、D時(shí)PK+QK的最小值,然后求解即可.【解答】 解：如圖，I AB=2，/ A=120° ,點(diǎn)P到CD的距離為2. 3 ,2 PK+QK的最小值為.故答案為：,3.【題后思考】 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定 最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.9. 如圖所示，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與 B、C重合），分別過B、C、 D作射線AP的垂線，垂足分別為 B'、C'、D',貝U BB' CC ' DD 的取值范圍是._ _ - 一 11【分析】首先連接AC , DP 由正方形A

14、BCD的邊長(zhǎng)為1，即可得：Saadp= S正方形abcd=,22111 _Saabp+S"3bc=2S正方形ABCD=2，繼而可得2AP?（BB' CC' DD、=1，又由"近，即可求得 答案.【解答】解：連接AC , DP .四邊形ABCD是正方形，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1 ,-AB=CD , S 正方形 abcd=1 ,111 Sa ADP= S 正方形 ABCD= , Sa ABP+Sa ACP = Sa ABC= S 正方形 ABCD=,222 2二 Sa adp+Sa abp+Sa acp=1 ,'=AP? (BB' CC'

15、; DD ) =1 ,21 ,1,122AP， ap?bb'+ ap?cc ' + ap?dd22 1*Pw、2 ,當(dāng)P與B重合時(shí)，有最大值2; 當(dāng)P與C重合時(shí)，有最小值 2. 一2 毛B ' CC' DD 'W2W28AC,【題后思考】 此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題.此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接2DP，根據(jù)題意得到 Saadp+Saabp+Saacp=1，繼而得到 BB ' CC ' DD '=.AP10. 如圖，菱形 ABCD中，/ A=60 ° AB=3,0 A、O B的半徑分別為 2和1, P、E、F分別是邊 CD、O A 和O B上的動(dòng)點(diǎn)，貝U PE+PF的最小值是 .C【分析】禾U用菱形的