28.2《應(yīng)用舉例（2）》名師教案（人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)）

1、28.2.2 應(yīng)用舉例第二課時(shí)劉佳一、教學(xué)目標(biāo)1核心素養(yǎng)通過(guò)解直角三角形應(yīng)用舉例的學(xué)習(xí) ,初步形成根本的運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí).2學(xué)習(xí)目標(biāo)11.1.1理解方位角、坡角等概念21.1.2能將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題 ,并用解直角三角形的方法來(lái)解決.31.1.3能利用解直角三角形來(lái)靈活求解其他非直角三角形的問(wèn)題3學(xué)習(xí)重點(diǎn)熟練運(yùn)用解直角三角形的方法來(lái)解決方位角、坡角相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.4學(xué)習(xí)難點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型二、教學(xué)設(shè)計(jì)一課前設(shè)計(jì)1預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1 閱讀教材P76-P79 ,思考：什么是方位角、坡角？任務(wù)2 閱讀教材P76-P79 ,思考：怎么利用方位角、坡角和解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用

2、問(wèn)題？2預(yù)習(xí)自測(cè)一、填空題1如圖 ,一個(gè)小球由地面沿著坡度i12的坡面向上前進(jìn)了10m ,此時(shí)小球距離地面的高度為_(kāi)m.答案：25 解析：過(guò)點(diǎn)B作BCAC ,如以下圖所示.AB=10米 ,tanA=BC/AC=1/2 ,設(shè)BC=x ,那么AC=2x ,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 ,即100=x2+4x2 ,解得x=25 ,BC=25米.2從A看B是北偏東25度 ,那么從B看A是_方向.答案：南偏西 解析：略二、解答題3如圖 ,一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島150海里的A處 ,漁船從A處沿正南方向航行一段距離后 ,到達(dá)位于小島南偏東60°方向的B處(

3、1)求漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離(結(jié)果用根號(hào)表示)； (2)假設(shè)漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛 ,求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間(結(jié)果精確到0.1小時(shí))(參考數(shù)據(jù)：1.41 ,1.73 ,2.45)答案：見(jiàn)解析 解析：(1)過(guò)點(diǎn)M作MDAB于點(diǎn)D ,AME45° ,AMDMAD45°.AM150海里 ,MDAMcos45°75(海里)答：漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離是75海里(2)在RtDMB中 ,BMF60° ,DMB30°.MD75海里 ,MB50(海里)50÷20×2

4、.456.1256.1(小時(shí))答：漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為6.1小時(shí)二課堂設(shè)計(jì)1知識(shí)回憶1銳角三角函數(shù)：在RtABC中 ,A、B、C所對(duì)的邊分別記為a、b、c ,假設(shè)C=90° ,那么 ,cosA ,tanA. 2勾股定理：在直角三角形中 ,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方3含30°角的直角三角形的三邊比為；含45°角的直角三角形的三邊比為. 430°、45°、60°角的三角函數(shù)值： , , , , , , , ,. 2問(wèn)題探究問(wèn)題探究一 什么是方位角、坡角？重點(diǎn)知識(shí)活動(dòng)一 方位角的定義1方位角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所

5、形成的小于90°的角叫做方向角 ,如下圖 ,NOA ,SOB ,NOD ,SOC都是方位角2說(shuō)出以下射線的方向射線OA是北偏東55° ,射線OB是南偏東30° ,射線OC是南偏西35° ,射線OD是北偏西45°或西北方向活動(dòng)二 坡角的定義坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度的l的比叫做坡度一般用i表示坡角：把坡面與水平面的夾角叫做坡角坡度i與坡角之間的關(guān)系：itan.問(wèn)題探究二 方位角、坡角在解直角三角形中有什么應(yīng)用？重點(diǎn)知識(shí)活動(dòng)一應(yīng)用知識(shí) ,解決問(wèn)題例1.如下圖 ,海中一小島A ,該島四周10海里內(nèi)有暗礁 ,今有貨輪由西向東航行 ,開(kāi)始在A島南偏

6、西55°的B處 ,往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處 ,之后 ,貨輪繼續(xù)向東航行 ,你認(rèn)為貨輪向東航行的途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：如下圖 ,過(guò)點(diǎn)A作ADBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.在RtABD中 ,tanBAD ,BDAD·tan55°.在RtACD中 ,tanCAD ,CDAD·tan25°.BDBCCD ,AD·tan55°20AD·tan25°.AD20.79>10.輪船繼續(xù)向東行駛 ,不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)點(diǎn)撥：觸礁問(wèn)題的本

7、質(zhì)是求點(diǎn)到直線的距離 ,一般作垂線 ,通過(guò)解兩次直角三角形來(lái)求公共邊長(zhǎng)度即距離.例2. 同學(xué)們 ,如果你是修建三峽大壩的工程師 ,現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題請(qǐng)你解決：如圖 ,水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形 ,壩頂寬6m ,壩高23m ,斜坡AB的坡度i13 ,斜坡CD的坡度i12.5 ,求斜坡AB的坡面角 ,壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)(精確到0.1m)【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：作BEAD ,CFAD ,在RtABE和RtCDF中 , , ,AE3BE3×2369(m)FD2.5CF2.5×2357.5(m)ADAEEFFD69657.5132.5(m)斜坡A

8、B的坡度itan0.33 ,18.43° ,sin ,AB72.7(m)答：斜坡AB的坡角約為18.43° ,壩底寬AD為132.5m ,斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7m.點(diǎn)撥：求解坡角相關(guān)的問(wèn)題 ,一般作高把斜坡放到直角三角形中來(lái)求解.活動(dòng)二方法總結(jié)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是： 1將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題畫(huà)出平面圖形 ,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題 2根據(jù)條件的特點(diǎn) ,適中選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形 3得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案4得到實(shí)際問(wèn)題的答案問(wèn)題探究三 怎樣靈活運(yùn)用解直角三角形的方法解決跟方位角、坡角相關(guān)的問(wèn)題？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)構(gòu)造根本圖形角直角三角形的實(shí)際問(wèn)

9、題：活動(dòng)一構(gòu)造單一直角三角形例1：平放在地面上的直角三角形鐵板ABC的一局部被沙堆掩埋 ,其示意圖如下圖量得A為54° ,斜邊AB的長(zhǎng)為2.1 m ,BC邊上露出局部的長(zhǎng)為0.9 m求鐵板BC邊被掩埋局部CD的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1 m ,參考數(shù)據(jù)：sin54°0.81 ,cos54°0.59 ,tan54°1.38)【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：由題意 ,得C180°BA180°36°54°90°.在RtABC中 ,sin A ,那么BCAB·sinA2.1sin5

10、4°2.1×0.811.701 ,那么CDBCBD1.7010.90.8010.8(m)活動(dòng)二 構(gòu)造母子三角形例2：如圖 ,大海中某燈塔P周?chē)?0海里范圍內(nèi)有暗礁 ,一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60°方向 ,該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處 ,這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向如果海輪繼續(xù)向正東方向航行 ,會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：1.73)【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)理由如下：作PCAB于C ,PAC30° ,PBC45° ,AB8 ,設(shè)PCx ,在RtPBC中

11、 ,PBC45° ,PBC為等腰直角三角形BCPCx.在RtPAC中 ,tanPAC ,AC ,即8x ,解得x10.92 ,即PC10.92.10.92>10 ,海輪繼續(xù)向正東方向航行 ,沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)活動(dòng)三 構(gòu)造背靠背三角形例3：如圖 ,一艘海輪在A點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔C在它的北偏東42°方向上 ,它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處 ,此時(shí)燈塔C在它的北偏西55°方向上(1)求海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離(結(jié)果精確到0.1)；(2)求海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離(結(jié)果保存整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin55°0.819 ,cos55°0.574

12、,tan55°1.428 ,tan42°0.900 ,tan35°0.700 ,tan48°1.111)【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：(1)過(guò)C作CDAB于點(diǎn)D.根據(jù)題意得：ACD42° ,BCD55°.設(shè)CD的長(zhǎng)為x海里 ,在RtACD中 ,tanACD ,那么ADx·tan42°.在RtBCD中 ,tanBCD ,那么BDx·tan55°.AB80海里 ,ADBD80海里 ,x·tan42°x·tan55°80.解得x34

13、.4.答：海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離是34.4海里(2)在RtBCD中 ,cos55° ,BC60(海里)答：海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離是60海里活動(dòng)四 與梯形有關(guān)的角直角三角形例4：如圖 ,梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖 ,斜面坡度i1是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比 ,B60° ,AB6 ,AD4 ,求攔水壩的橫斷面ABCD的面積(結(jié)果保存小數(shù)點(diǎn)后一位參考數(shù)據(jù)：1.732 ,1.414)【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想】詳解：過(guò)點(diǎn)A作AFBC ,垂足為點(diǎn)F.在RtABF中 ,B60° ,AB6 ,AFABsinB6sin60

14、°3 ,BFABcosB6cos60°3.ADBC ,AFBC ,DEBC ,四邊形AFED是矩形DEAF3 ,FEAD4.在RtCDE中 ,i ,ECED×39.BCBFFEEC34916.S梯形ABCD(ADBC)·DE(416)×352.0.答：攔水壩的橫斷面ABCD的面積約為52.0.3課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】1方位角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角叫做方向角。2坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度的l的比叫做坡度一般用i表示坡角：把坡面與水平面的夾角叫做坡角坡度i與坡角之間的關(guān)系：itan.【重難點(diǎn)突破】1題中

15、沒(méi)有直角三角形 ,或直角三角形不可用時(shí) ,常常作輔助線構(gòu)造直角三角形.2構(gòu)造直角三角形 ,常用輔助線為延長(zhǎng)或作高 ,但一般不破壞特殊角或角.4隨堂檢測(cè)一、選擇題1如圖 ,某漁船在海面上朝正東方向勻速航行 ,在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°方向上 ,且AM100海里 ,那么該船繼續(xù)航行多少海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置 A50 海里 B50海里 C100 海里 D海里答案：B 解析：如圖 ,過(guò)M作東西方向的垂線 ,設(shè)垂足為N易知：MAN=90°-60°=30°在RtAMN中 ,ANM=90° ,MAN=30° ,AM=100海里

16、,AN=AMcosMAN=100×32=503海里故該船繼續(xù)航行503海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置,應(yīng)選B.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】2四個(gè)規(guī)模不同的滑梯A ,B ,C ,D ,它們的滑板長(zhǎng)(滑板是平直的)分別為300m ,250m ,200m ,200m；滑板與地面所成的角度分別為30° ,45° ,45° ,60° ,那么關(guān)于四個(gè)滑梯的高度正確說(shuō)法 AA的最低 BB的最低 CC的最低 DD的最低答案：C 解析：A的高度為：300×sin30°=150米B的高度為：250×sin4

17、5°=1252176.75米C的高度為：200×sin45°=1002141.4米D的高度為：200×sin60°=1003173.2米所以C的最低【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】二、填空題3如圖是攔水壩的橫斷面 ,斜坡AB的水平寬度為14m ,斜面坡度為12 ,那么斜坡AB的長(zhǎng)為_(kāi)m.答案：65解析：在RtABC中 ,i=BCAC=12 ,AC=12米 ,BC=6米 ,根據(jù)勾股定理得：AB=AC2+BC2=65米.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】4.如圖 ,一漁船由西往東航行 ,在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60°的方向 ,前進(jìn)36海里到達(dá)B點(diǎn) ,此時(shí) ,測(cè)得海島C位于北偏東30°的方向 ,那么海島C到航線AB的距離CD等于_海里.答案：103 解析：根據(jù)題意可知CAD=30 ,CBD=60 ,CBD=CAD+ACB ,CAD=30=ACB ,AB=BC=20海里 ,在RtCBD中 ,BDC=90 ,DBC=60 ,sinDBC=CD/BC ,sin60=CD/BC ,CD=20×sin60=20×32=103海里 【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】三、解答題5如圖 ,一水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD