數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(220) - 圖文-

1、 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù)年第期 二蘭二蘭 戈（一戈） 對于任意三個頂點（。，歹。）、（：，矗）、 （，矗），若（。，歹。）、（：，矗）與（。，歹。）、（，矗） 之間的連邊同色，則（：，五）、（。，矗）之間的 連邊也必為此種顏色 事實上，若（。，歹。）、（：，矗）與（。，歹。）、 （，）之間的連邊同為顏色 ，則：。 ，故（：，矗）、（，矗）之間的連邊也為顏 色 菇（一石） 二二二二二二二二 菇。（一菇。） 由切比雪夫不等式即得式 三、先考慮和諧染色的正邊形的任意 一個頂點可證明：對于每種顏色，由蜀 至多可以引出 條該種顏色的邊 否則，設(shè)蜀與頂點。，如，置啪相連 的邊有相

2、同的顏色（記為），于是，蜀，。， ，恐。，兩兩之間連邊的顏色均為 令頂點為與蜀相連的邊異于顏色 的一個頂點（此頂點必然存在，否則，正邊 形的所有邊均為顏色，與條件矛盾）此時， 頂點，與蕊，一，置。，的連邊兩兩不同 色，且均不為顏色，這樣至少有 種顏 色，與條件矛盾 從而，在和諧染色的正多邊形中，任一頂 點引出的邊數(shù)為 一 × 若（。，歹。）、（：，五）與（。，歹，）、（，五）之 間的連邊同為顏色忌（庇 ），則 一五三尼（）（ 歹一矗三尼（。一）（ ）， ） 故止一矗三尼（一）（ 顏色后 綜上，滿足條件的。 ） 從而，（：，五）、（。，矗）之間的連邊也為 四、一方面，注意到 為素數(shù) 設(shè)

3、為模 的一個原根，則關(guān)于 模 的半階為 令八）三（一）（ ） × ： 因為（， ），所以，（一）遍 歷模 的完系 再證明：存在和諧的染色正 邊形 注意到， 為素數(shù) 故對任意整數(shù)（ 使得 三玩（ 于是，蚴廠：為滿射 又以 ）鎖）（ ），即 八 ）火）， 故這樣定義的廠為“和諧映射” 據(jù)廠的定義知 廠（）三（一）（ ），及任 意整數(shù)，均存在唯一的尼， ， ） ） 用（，）表示 個頂點，其中，、 ， ，數(shù)字， 表示 此時，由汪歹（ 三±（ ），得 （肼（一）一（塒（一） ） 種顏色 對于頂點（。，。）和（：，五），當(dāng)。： ），貝將 車亨朋（一，）三±（ 車亨三±

4、;（ ） 時，若歹一三七（一：）（ ） （。，歹，）與（：，五）之間的連邊染顏色南（尼 ， ）；若，則將（，）與 （；：，五）之間的連邊染顏色 注意到，關(guān)于模 的半階為 故 胍 從而，所求的帆。 另一方面，作凸 由 為素數(shù)，知染色方式唯一確定 下面證明：這樣的染色方式是和諧的 邊形舭。：嘶， 記作圖按如下規(guī)則連線：若， 萬方數(shù)據(jù) 中等數(shù)學(xué) 本期問題 高設(shè)口，證明： 均可分成每組幾個數(shù)的后組，使得每組數(shù)之 和均相等證明：口舢 ， 高鈣證明：既約真分數(shù)竺（） 可以表示為若干個不同的單位分數(shù)之和，且 單位分數(shù)的分母為偶數(shù) （。尋）（季）（。詈） （¨劃¨劃卦 高如圖，的內(nèi)切圓，與

5、 三邊分別切于點、過點作邊上 上期問題解答 高設(shè)正整數(shù)，實數(shù)口。，口：， 朋于點，過作直線伽與交于點， 心日在直線伽上 且使得么腳么鵬證明：的垂 口。滿足口；口；求口；的最 小值與最大值 解一方面，由柯西不等式得 蚤口；蚤 蚤抽蚤。 兩式相加得 圖 廠一 。 廠一。 廠一 蚤口；蚤口；麥 當(dāng)口口口。殼時，以上各式等 注意到，這與題設(shè)條件矛 盾故所連對角線沒有重復(fù) 因為共連有 （一）條線段，而凸 高已知概個數(shù)的集合口。，口：， ，口。中，任意去掉一個，剩下的個數(shù) ，廣（），廠“（；），貝奎線段。 顯然，所連線段為圖的對角線，且所 連的線段沒有重復(fù)否則，若存在兩條連線相 同，即存在、，及，使得 廠（）廠（），且 廠婦（）廠¨（歹） 或（）（一） 邊形