數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(220) - 圖文-_第1頁
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1、 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù) 萬方數(shù)據(jù)年第期 二蘭二蘭 戈(一戈) 對于任意三個頂點(。,歹。)、(:,矗)、 (,矗),若(。,歹。)、(:,矗)與(。,歹。)、(,矗) 之間的連邊同色,則(:,五)、(。,矗)之間的 連邊也必為此種顏色 事實上,若(。,歹。)、(:,矗)與(。,歹。)、 (,)之間的連邊同為顏色 ,則:。 ,故(:,矗)、(,矗)之間的連邊也為顏 色 菇(一石) 二二二二二二二二 菇。(一菇。) 由切比雪夫不等式即得式 三、先考慮和諧染色的正邊形的任意 一個頂點可證明:對于每種顏色,由蜀 至多可以引出 條該種顏色的邊 否則,設(shè)蜀與頂點。,如,置啪相連 的邊有相

2、同的顏色(記為),于是,蜀,。, ,恐。,兩兩之間連邊的顏色均為 令頂點為與蜀相連的邊異于顏色 的一個頂點(此頂點必然存在,否則,正邊 形的所有邊均為顏色,與條件矛盾)此時, 頂點,與蕊,一,置。,的連邊兩兩不同 色,且均不為顏色,這樣至少有 種顏 色,與條件矛盾 從而,在和諧染色的正多邊形中,任一頂 點引出的邊數(shù)為 一 × 若(。,歹。)、(:,五)與(。,歹,)、(,五)之 間的連邊同為顏色忌(庇 ),則 一五三尼()( 歹一矗三尼(。一)( ), ) 故止一矗三尼(一)( 顏色后 綜上,滿足條件的。 ) 從而,(:,五)、(。,矗)之間的連邊也為 四、一方面,注意到 為素數(shù) 設(shè)

3、為模 的一個原根,則關(guān)于 模 的半階為 令八)三(一)( ) × : 因為(, ),所以,(一)遍 歷模 的完系 再證明:存在和諧的染色正 邊形 注意到, 為素數(shù) 故對任意整數(shù)( 使得 三玩( 于是,蚴廠:為滿射 又以 )鎖)( ),即 八 )火), 故這樣定義的廠為“和諧映射” 據(jù)廠的定義知 廠()三(一)( ),及任 意整數(shù),均存在唯一的尼, , ) ) 用(,)表示 個頂點,其中,、 , ,數(shù)字, 表示 此時,由汪歹( 三±( ),得 (肼(一)一(塒(一) ) 種顏色 對于頂點(。,。)和(:,五),當(dāng)。: ),貝將 車亨朋(一,)三±( 車亨三±

4、;( ) 時,若歹一三七(一:)( ) (。,歹,)與(:,五)之間的連邊染顏色南(尼 , );若,則將(,)與 (;:,五)之間的連邊染顏色 注意到,關(guān)于模 的半階為 故 胍 從而,所求的帆。 另一方面,作凸 由 為素數(shù),知染色方式唯一確定 下面證明:這樣的染色方式是和諧的 邊形舭。:嘶, 記作圖按如下規(guī)則連線:若, 萬方數(shù)據(jù) 中等數(shù)學(xué) 本期問題 高設(shè)口,證明: 均可分成每組幾個數(shù)的后組,使得每組數(shù)之 和均相等證明:口舢 , 高鈣證明:既約真分數(shù)竺() 可以表示為若干個不同的單位分數(shù)之和,且 單位分數(shù)的分母為偶數(shù) (。尋)(季)(。詈) (¨劃¨劃卦 高如圖,的內(nèi)切圓,與

5、 三邊分別切于點、過點作邊上 上期問題解答 高設(shè)正整數(shù),實數(shù)口。,口:, 朋于點,過作直線伽與交于點, 心日在直線伽上 且使得么腳么鵬證明:的垂 口。滿足口;口;求口;的最 小值與最大值 解一方面,由柯西不等式得 蚤口;蚤 蚤抽蚤。 兩式相加得 圖 廠一 。 廠一。 廠一 蚤口;蚤口;麥 當(dāng)口口口。殼時,以上各式等 注意到,這與題設(shè)條件矛 盾故所連對角線沒有重復(fù) 因為共連有 (一)條線段,而凸 高已知概個數(shù)的集合口。,口:, ,口。中,任意去掉一個,剩下的個數(shù) ,廣(),廠“(;),貝奎線段。 顯然,所連線段為圖的對角線,且所 連的線段沒有重復(fù)否則,若存在兩條連線相 同,即存在、,及,使得 廠()廠(),且 廠婦()廠¨(歹) 或()(一) 邊形

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