考研數(shù)學(xué)三歷真題及答案

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)、iv i-ccu 1 6* X#0. 、一 ，.,_,.(1)設(shè)f(x)=dx c°sf",其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則九的取值范圍是0若 x = 0,(2)已知曲線y =x3 3a2x+b與X軸相切，則b2可以通過a表示為b2 =.fa,若0 <x<1,(3)設(shè) a>0, f (x) = g(x) = " 苴他 而 D表不全平面，則 I = Jf f (x)g (y - x)dxdy =.(4)設(shè)n維向量a =(a,0,，0,a)

2、T ,a <0 ； E為n階單位矩陣，矩陣T1 TA = E -act , B = E+ua ,a其中A的逆矩陣為B,則a=.(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z = X -0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為.(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)nT比,1n2,、，人，時，Yn =12 Xi2依概率收斂于n i 4、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要f '(0)存在，則函數(shù)g(x)=f8 x(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括

3、號內(nèi))(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且(A)在x=0處左極限不存在.(C)在x=0處右極限不存在.(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0, y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A) f(x0,y)在y = y0處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B) f(x0,y)在y= y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.、一an + anan - an(3)設(shè)pn =, qn =, n =1,2，則下列命題正確的是oOoCoO(A)若£ an條件收斂，則£ pn與£ qn都收斂. n 1n 3nq1qQ(

4、B)若fan絕對收斂，則nqQqQp： Pn與L qn都收斂.n 1n 1qQ(C)若fan條件收斂，則nqQqQp： Pn與L qn斂散性都不定n 1n 1(D)若£ an絕對收斂，則n 1qQqQ工pn與qn斂散性都不定nmn衛(wèi)a b(4)設(shè)三階矩陣a = b ab b(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a=b 且 a+2b=0.blb ,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有 a(B) a=b 或 a+2b#0.(D) a/b 且 a+2b¥0.(5)設(shè)0(1,0，0fs均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有ki% +k

5、2a2+ kss # 0,則為。2,R s線性無關(guān).(B)若0(1,0(2，"s線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)ki, k2 ： ,ks ,都有ki 二 ik2 二 2 一: ks： s = 0.(C)：-i,：-2,-" , ： s線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D)%,口2，0s線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān)(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件:A =擲第一次出現(xiàn)正面, A2=擲第二次出現(xiàn)正面,A=正、反面各出現(xiàn)一次, A=正面出現(xiàn)兩次,則事件(A)Al, A2,A3相互獨(dú)立.(B) A2,A3,A4相互獨(dú)立.(C)Ai, A2, A3兩

6、兩獨(dú)立.(D) A2,A3,A4兩兩獨(dú)立.(本題滿分8分)i試補(bǔ)充定義f使得f(x)在-,i上連續(xù).2四、(本題滿分8分)22F gf g2-2".x.y五、(本題滿分8分) 計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D=(x,y)22x - y , _：.六、(本題滿分9分)求哥級數(shù)1 J(_1)nn 4x2n(X c1)的和函數(shù)f(x)及其極值. 2n 1 i七、(本題滿分9分)設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(_qo, -He)內(nèi)滿足以下條件:f'(x)=g(x), g'(x) = f (x),且 f(0)=0, f (x)+ g(x) =2ex.(1)

7、求F(x)所滿足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達(dá)式.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0, 3上連續(xù)，在(0, 3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在 上 f ( ) =0.九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程組W (0,3)，使n其中£ ai #0.試討論a1，a2,，an和b滿足何種關(guān)系時, i 4(2)十、方程組僅有零解；方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系 (本題滿分13分)設(shè)二次型T22_2_f (Xi,X2,X3)= XtAX =ax； +2x； -2x2 +2bx1 x3 (b >0),中二次型的矩

8、陣 A的特征值之和為1,特征值之積為-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交變換將二次型 f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量 Y=F(X)勺分布函數(shù).十二、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為12 '。3 0.7)而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)11 zfc . cxcos右x ¥ 0, 一 ，一(1)設(shè) f (x) =&

9、#171;x x," 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則九的取值范圍是z>2.0,右x=0,'-【分析】 當(dāng)x *0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng) x=0時要求用定義求導(dǎo).【詳解】當(dāng)九:>1時，有 顯然當(dāng)2 >2時，有l(wèi)im(x) = 0 = f '(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).x_0(2)已知曲線y =x3 3a2x+b與x軸相切，則b2可以通過a表示為b2 = 4a6 .【分析】 曲線在切點(diǎn)的斜率為 0,即y，= 0,由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn) 處縱坐標(biāo)為零，即可找到 b2與a的關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，在切點(diǎn)處有2_2_,99y =3x -3

10、a =0 ,有 x0 =a .又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0,于是有-3-2 ,八0 Xq - 3a x0 b 0 ,故 b2222 2246= Xo(3a - Xq) =a 4a =4a .【評注】 有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程a,若0 <x <1,2(3)設(shè) a>0, f (x) = g(x) = 苴他而 D表不全平面，則 I = 口 f (x)g(y-x)dxdy = a_【分析】 本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)0WxW1,0Wy-xW1時，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可【詳解】I = f f f (x)g(y -x)

11、dxdy =fa2 dxdyD0*口0勺小2 1x12 12=a Qdx dy=a JQ(x +1) -xdx = a .【評注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.(4)設(shè)n維向量a =(a,0,，0,a)T,a <0 ； E為n階單位矩陣，矩陣A = E -act T, B = E + -aaT ,a其中A的逆矩陣為B,則a= -1.【分析】 這里aaT為n階矩陣，而o(Ta = 2a2為數(shù)，直接通過 AB = E進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法 的結(jié)合律即可.由題設(shè)，有T-CtCt1：.： T a1T T-act <x

12、.a.aT 、 T(_：) .：,)- a- 2a "T一 T 1T=E a T 1 T=E - ： ： _1 T=E (-1 - 2a ): :- E ,a一一.一 1 八一2. 一1.于有12a+= 0,即 2a +a-1=0,解得 a= ,a = 1.由于 A<0，故 a=-1.a2(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z = X 0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0,9利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可 因?yàn)槎?E(XY) -0.4E(Y) -E(Y)E(X) 0.4E(Y) =E(XY) - E(X)E(丫尸cov(X,Y),且 DZ = DX .于是有cov(YZ尸吧衛(wèi)=

13、吧21 DY , DZ . DX , DY=PXy = 09【評注】注意以下運(yùn)算公式：D(X+a) = DX , cov(X,Y + a) = cov(X,Y).(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n->空n c 1時，Yn =1z Xi2依概率收斂于 一n i42【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量Xl,X2，Xn,當(dāng)方差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值:11 C 1【詳解】 這里X12,X；,，X2滿足大數(shù)定律的條件，且EXi2 = DX i十(EX i)2= +()2 =一

14、，422因此根據(jù)大數(shù)定律有1 n1n cYn J'、X2依概率U斂于一、EX2二、選擇題(本題共6小題，每小題4分, 求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))滿分24分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f '(0)存在，則函數(shù)(A)在x=0處左極限不存在.(C)在x=0處右極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)(D)有可去間斷點(diǎn)/、 f(x) g(x) xx=0.x=0.【分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0，再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.1

15、 X # 0,可排除(A),(B),(C)三項(xiàng),。X = 0,于是有 Jim g(x) = lim (x) = ljm (x)；(°) = f (0)存在，故 x=0 為可去間斷點(diǎn).【評注1】本題也可用反例排除，例如 f(x)=x,則此時g(x)= <X故應(yīng)選(D).【評注 2】 若 f(x)在 x = x0 處連續(xù)，則 lim "x) = A u f (x0) = 0, f (x0) = A .Jx° x - x。(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A) f(xo,y)在y = yO處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B) f (x

16、o,y)在y= yo處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) f(xo,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.A 【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(xo, yo)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知f y( x0, y0) = 0 ,即f(xo, y)在y = yo處的導(dǎo)數(shù)等于零，故應(yīng)選(A).【評注1本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義,f(xo,y)在 y = y0處的導(dǎo)數(shù)即 fy(x0,yo)；而 f(x, yo)在x = x0處的導(dǎo)數(shù)即f；(xo,yo).22【評注2】 本題也可用排除法分析，取f(x, y)=x +y

17、，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有2f (0, y) = y ，可排除(B),(C),(D),故正確選項(xiàng)為(A).(3)設(shè)pn = an ；忖* qn = an, n =1,2，則下列命題正確的是oOOOO(A)若Z an條件收斂，則工Pn與£ qn都收斂. n 1n 4n 4qQqQCQ(B)若Z an絕對收斂，則Z pn與£ qn都收斂. n工nWn3oOoOoO(C)若£ an條件收斂，則£ Pn與£ qn斂散性都不定. n 4n 4ngQOQOQO(D)若Z an絕對收斂，則 Z Pn與工qn斂散性都不定.B nmn丑nW【分析】

18、根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案an an【洋斛】右Z an絕對收斂，即Z an收斂，當(dāng)然也有級數(shù) £ an收斂，再根據(jù)Pn =ndnWn丑2an -an- :qn =L及收斂級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知， Z Pn與Z qn都收斂，故應(yīng)選(B).2nWn Jabb(4)設(shè)三階矩陣A = b a b ,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有b b a 一(A) a=b 或 a+2b=0.(C) a#b 且 a+2b=0.【分析】A的伴隨矩陣的秩為(B) a=b 或 a+2b 黃0.(D) a#b 且 a+2b#0.【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣1,說明A的秩為2,由此可確定a,

19、b應(yīng)滿足的條件.A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2,故有abbb a b =(a +2b)(a -b)2 =0 ,即有 a +2b = 0 或 a=b.b b a但當(dāng)a=b時，顯然秩(A)# 2,故必有a#b且a+2b=0.應(yīng)選(C).【評注】n (n至2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系:(5)設(shè)a1,0(2，0ts均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有km+k2a2+ksots# 0,則c(i,o(2，口 s線性無關(guān).(B)若口1,0(2，s線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2，ks,都有 ki： i k2： 2ks： s

20、 =0.(C) ：-1,： 2," , ： s線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D)%,0(2，9s線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān) B 【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等彳表現(xiàn)形式.應(yīng) 注意是尋找不正確的命題 【詳解】(A)：若對于任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，ks,都有k10tl + k20t 2 '+ksus=0,則叫，口2,，外必線性無關(guān)，因?yàn)槿?cti,5， 以線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)kik； ,ks,使得ki«i +k2«2 +十kss =0 ,矛盾.可見(A)成立.(B)

21、：若5,口2,，as線性相關(guān)，則存在一組，而不是又任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有Kik2： 2 ks： s=0. (B)不成立.(C)%，口2，外線性無關(guān)，則此向量組的秩為s；反過來，若向量組 口1,汽2，氣的秩為s,則%,%;,3線性無關(guān),因此(C)成立.(D) 口1,口2二二口5線性無關(guān)，則其任一部分組線性無關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個向量線性無關(guān)，可見 (D)也 成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評注】 原命題與其逆否命題是等價的.例如，原命題：若 存在一組不全為零的數(shù) k1，k2，ks,使彳導(dǎo)kiO(i +卜2口2 +ks«s =0成立，則四，0(2，Us線性相關(guān).其逆否命

22、題為：若對于任意一組不全為零的數(shù)kl,k2,，ks,都有kiai +k2O(2 +ksOts#0,則ai,0(2，ots線性無關(guān).在平時的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：A=擲第一次出現(xiàn)正面, A2=擲第二次出現(xiàn)正面,A=正、反面各出現(xiàn)一次, A=正面出現(xiàn)兩次,則事件(A) Al, A2, A3相互獨(dú)立.(B) A2,A3, A4相互獨(dú)立.(C) A1，A2, A3兩兩獨(dú)立.(D) A2,A3, A4兩兩獨(dú)立.C 【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn) 是否相互獨(dú)立.【詳解】因?yàn)? ii

23、iP(A)=k P(A2)=k P(A3)=-, P(A4)=i2 224r _i _i _i _i _且 P(AiA2)=, P(AiA)= , P(A2A3)=, P(A2A4)= P(AiA2A3)= 0,4444可見有P(AA2)=P(A)P(A2), P(AA)=P(Ai)P(A3), P(A2A3)=p(&)p(A3),P(AA2A3)與 P(Ai)P(A2)P(A3), P(A2A4)/ P(A2)P(A4).故A, A2 , A3兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；A2 , A3, A4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選 (C).【評注】 本題嚴(yán)格地說應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立

24、 三、(本題滿分8分)設(shè)i試補(bǔ)充定義f使得f(x)在9上連續(xù).【分析】 只需求出極限lim f(x),然后定義f(i)為此極限值即可 x i 一【詳解】 因?yàn)?11lim f (x) = lim - -x1_x 1 一二xsin 二x二(i -x)11 二(1 一 x) - sin 二x=lim 二 二 X 1一(1 -x) sin 二x211,.二 sin 二x= lim 2三 x ：1 -二 cos 二x -二 cos 二x - (1 - x)二 sin 二x_ 1.JI 1 .由于f(x)在I,)上連續(xù)，因此定義1f(1) =,it，1 .使f(x)在萬,1上連續(xù).【評注】 本題實(shí)質(zhì)上是

25、一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過程中，也可先作變量代換y=1-x,轉(zhuǎn)化為求yT 0 +的極限，可以適當(dāng)簡化.四、(本題滿分8分)設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足If72zut：2 f. 一1.0o.+ T=1，又 g(x, y)= fxy,(x - y )，求 .v2.2二 g2.x-y【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題:1,22、=f (u, v) , u = xy,v = (x - y ),直接利用復(fù)2人 , Q,:2 f合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用ft：u ：:v-2二 f:v；:u所以-2二 g-2:x過=:x.2二 g 2:x-2_g-

26、2-y開:fy +x ,二 u二 vIf- 2 zu2xyf x二 u .v22 二2 f二 fT +一，二 v二 v22 - f 2=(x y ) (x'uy2) 口 一v22=x y .【評注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)五、(本題滿分8分)計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域 D=(x,y)x2十y2 <n.【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算【詳解】 作極坐標(biāo)變換：x = r cos6, y = r sin 0 ,有-2 . _r22=e ° d? re sin r dr.令t =r2 ,則i 二 t.I - ：e ° e _sint

27、dt .記 A=/esintdt ,則.t , n t = e sint o - e e-costdt二 上=-0 costde上 n Ji ±=-e cost 0 + 0 e sin tdt=e：T+1 - A.-1因此a = _(i+eR),2【評注】 本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過換元與分步積分(均為最基礎(chǔ)的要求)，即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個基礎(chǔ)知識點(diǎn).六、(本題滿分9分)，白2n求哥級數(shù)1 + £ (-1)n (|X <1)的和函數(shù)f(x)及其極值. ni2n 1 1【分析】 先通

28、過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng) x=0時和為1.求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.【詳解】上式兩邊從0到x積分，得由 f(0)=1,得令f (x) = 0 ,求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于f "(0) = -1 c0 ,可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為f(0)=1.【評注】求和函數(shù)一般都是先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級數(shù)情形，然后再通過逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù)七、(本題滿分9分)設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-QO, -He)內(nèi)滿足以下條件：f (x) = g(x) , g '(x) = f

29、 (x),且 f(0)=0, f (x) + g(x) =2ex.(3)求F(x)所滿足的一階微分方程；(4)求出F(x)的表達(dá)式.【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x；求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x由示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程【詳解】(1)由22=g (x) f (x)2=f(x) g(x) -2f(x)g(x)二(2ex)2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為.2dx 2x 2dx(2)F (x) = e 4e e dx C-2x4x I=e 4e dx C2x2 x=e Ce 一 .將F(0)=f(0)g(0)=0代入上

30、式，得C=-1.于是【評注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0, 3上連續(xù),在(0, 3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在t (0,3),使 f ( ) =0.【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c三0,3),使得f (c) = 1 = f (3),然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于 ff(1) f=1,問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，3最終用介值定理可以達(dá)

31、到目的.【詳解】因?yàn)閒(x)在0, 3上連續(xù)，所以f(x)在0, 2上連續(xù)，且在0, 2上必有最大值 M和最小值m,于是m < f (0) <M ,m < f (1) <M , m < f (2) < M .故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)cw0,2,使因?yàn)閒(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在心(c,3)二(0,3),使 f ( ) =0.【評注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R點(diǎn)，且一般是兩兩結(jié)合起來考.本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程

32、組n其中£ ai #0.試討論a1，a2,，an和b滿足何種關(guān)系時，i 1(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的 計(jì)算具有明顯的特征：所有列對應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一彳T的(-1)倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值【詳解】方程組的系數(shù)行列式n= bn1(b 八 a).i Wn（1）當(dāng)b00時且b+£ ai /0時，秩（A尸n,方程組僅有零解. i 1（2）當(dāng)b=0時，原方程組的同解方程組為n由

33、63; ai #0可知，ai（i =1,2，n）不全為零.不妨設(shè)a1 #0,得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為 i 二ata2Tat% =（31,0，0）,匕=（二,0,1，0），5 =（。0，1）. aia1a1n當(dāng)b = -£ ai時，有b #0 ,原方程組的系數(shù)矩陣可化為 i 4* - .1.、（將第1行的-1倍加到其余各行，再從第 2行到第n行同乘以_倍）' ai i 1（將第n行-an倍到第2行的-a2倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）由此得原方程組的同解方程組為X2 = X1 , x3 = x1 , Xn = X1原方程組的一個基礎(chǔ)解系為n【評注】 本題的難點(diǎn)在b=-

34、2 ai時的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的秩為n-1（存i 4在n-1階子式不為零），且顯然a =（1,1，1）T為方程組的一個非零解，即可作為基礎(chǔ)解系十、（本題滿分13分）設(shè)二次型f （x1, x2, x3） = X T AX =ax12 +2x； -2x2 + 2bxi x3 （b a 0）,中二次型的矩陣 A的特征值之和為1,特征值之積為-12.（3）求a,b的值；（4）利用正交變換將二次型 f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣【分析】 特征值之和為 A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值；進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征

35、值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣【詳解】（1）二次型f的矩陣為設(shè)A的特征值為九。=1,2,3）.由題設(shè)，有% +% +% =a +2+（-2） =1 ,解得 a=1,b= -2.（2）由矩陣A的特征多項(xiàng)式Z-10-2A= 02-20 =(八一2)2(九+3),-20九+2得A的特征值 尢=x2 = 2,九3 = -3.對于%=% =2,解齊次線性方程組(2E - A)x = 0 ,得其基礎(chǔ)解系d, "0,1,0)T.對于 % = 3 ,解齊次線性方程組(-3E - A)x = 0 ,得基礎(chǔ)解系由于 JG,馬已是正交向量組，為

36、了得到規(guī)范正交向量組，只需將匕，2,3單位化，由此得二(2 0(.5，0'.5)T,moT,-A，。，垸)T5 0_ 25令矩陣Q* ' %= 0 1L<5則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有2 0 0QTAQ = 0 2 0 , 0 0 _3_ 且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為【評注】 本題求a,b,也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定: 二次型f的矩陣A對應(yīng)特征多項(xiàng)式為設(shè)A的特征值為 九,九2,九3,則 =2, %十九3 = a - 2,九2% = -(2a + b2).由題設(shè)得九 +九2 +% =2 +(a -2) =1 ,解得 a=1,b=2.十一、(本題滿分13

37、分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量 Y=F(X)勺分布函數(shù).【分析】先求出分布函數(shù) F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X)，然后按定義求Y的分布函數(shù)即可注意應(yīng)先確定 Y=F(X)勺值域范圍(0 < F(X) <1),再對y分段討論.【詳解】 易見，當(dāng)x<1時，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)x>8時，F(xiàn)(x)=1.對于xW1,8,有設(shè)G(y)是隨機(jī)變量 Y=F(X)勺分布函數(shù).顯然，當(dāng)y<0時，G(y)=0;當(dāng)y上1時，G(y)=1.對于ye0,1),有= P3 X -1 < y =PX < (y 1)33= F(y i) ”。若y&l

38、t;0,于是，Y=F(X)勺分布函數(shù)為 G(y) =y,若0<y <1, 1,若y21.【評注】 事實(shí)上，本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時Y=F(X仍服從均勻分布：當(dāng) y<0 時，G(y)=0;當(dāng) y 21 時，G(y)=1;當(dāng) 0Wy<1 時，G(y) = PY < y = PF(X) < y= PX MF(y)1= F(F (y) =y.十二、(本題滿分13分)、一 、B j1 12、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X ,<0.3 0刀而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一

39、般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為= 0.3PX +Y <u X =1 +0.7PX + Y Wu X =2= 0.3PY Mu 1X =1 +0.7PY <u -2X = 2.由于X和丫獨(dú)立，可見G(u)= 0.3PY -u -1 0.7PY -u -2= 0.3F(u -1) 0.7F(u -2).由此相U的概率密度= 0.3f (u -1) 0.7f (u -2).【評注】 本題屬新題型，求兩個隨機(jī)變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要求用

40、全概 率公式進(jìn)行計(jì)算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共6小題，每小題4分，菌分24分.把答案填在題中橫線上) sin x(1) 右 lim -(cos x b) =5 ,貝U a =, b =.x >0ex - a：2 f(2)設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且g(y) 7 0,則丁丁 二 u 二 vx21xe , - <x設(shè) f(x) = «2.1-1 , x > -221 f (x -1)dx =2(4)二次型f

41、 (x1，x2, x3)= (x1 +x2)2 +(x2 x3)2 +(x3 +xj2 的秩為(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 人的指數(shù)分布，則PX >JDX =22(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(此b ),總體Y服從正態(tài)分布 N(即，b ),X1,X2，X%和Y1,Y2,Yn2分別是來自總體 X和Y的簡單隨機(jī)樣本，則%_ 2 n2_ 2IE (Xi -X) +£ (Yj -Y)E :.n1 +n2 -2ILJ二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要 求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))| x| sin(x -2)函數(shù) f (x

42、)=2x(x -1)(x -2)2在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(8)(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2,3).設(shè)f (x)在(? , +?內(nèi)有定義，且lim f (x) = a , g(x)=x:： ,1、 cJf(2,x#0,則0 ,x = 0(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C)x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).(9)設(shè) f (x) = |x(1 ?x)| ,則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0/是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x =

43、 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C)x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(10)設(shè)有下列命題： 若工(u2n T +u2n)收斂，則z un收斂.n 1n 1oOoO(2)若工un收斂，則Z un+000收斂.n 1n 1limn ，二Un 1un>1,則£ un發(fā)散.n 100oQ8(4)若Z (un +vn)收斂，則£ un , Z vn都收斂.n 1n -1n -1則以上命題中正確的是(A)(2

44、).(B)(2) (3).(C)(3) (4).(D)(4).(11)設(shè)f (x)在a , b上連續(xù)，且f'(a) >0, f'(b) <0 ,則下列結(jié)論中錯誤的是(A)至少存在一點(diǎn) X0W(a,b),使得 f(x0)>f (a).(B)至少存在一點(diǎn) xoW(a,b),使得 f(xo)> f (b).(C)至少存在一點(diǎn) xo e (a,b),使得 f，(xo) = 0 .(D)至少存在一點(diǎn) & w(a,b),使得 f(&) = 0. D (12)設(shè)n階矩陣a與B等價，則必有(A)當(dāng) |A| = a(a =0)時，| B |=a.(B)當(dāng)

45、| A |= a(a / 0)時，| B |= -a .(C)當(dāng) |A|#0 時，| B|=0.(D)當(dāng) | A|=0 時，| B|=0. . * 一 .一 .(13)設(shè)n階矩陣a的伴隨矩陣A 00,若&，&，&, &是非齊次線性方程組Ax = b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量. (14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(0,1),對給定的 H (0,1),數(shù)Ua滿足PX >uj = a,若P| X |<x = a,則x等于

46、(A) u,.(B) u .(C) u_.(D) Uj.21三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分).21 cos x 求 lim (一2- 一2).xro sin x x(16)(本題滿分8分)=1所圍成的x2 +y2 =4和(x + 1)2 +y2求("x2 +y2 +y)d<i，其中D是由圓 D平面區(qū)域(如圖).(17)(本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù),且滿足 xx證明:L f(t)dt 之g(t)dt , x? a , b), aaJa xf (x)dx M Jaxg (x)dx

47、 .(18)(本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 ? 5P,其中價格P ?(0,20), Q為需求量.(I)求需求量對價格的彈性 Ed (Ed > 0);dR (II)推導(dǎo) =Q(1 -Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說明價格在何范圍內(nèi)變化時, dP降低價格反而使收益增加.(19)(本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x).求：(I) Wx)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿分13分)設(shè) ai=(1,2,0)T,牝=(1, a + 2,3a)T , a3 = (1, b 2, a + 2b)T , 0=(1,3,3)T, 試討論當(dāng)a,b為何

48、值時，(1) B不能由次，甌,o3線性表示；(n ) B可由01, 02 , 03唯一地線性表木,并求出表本式；(in) B可由o1,o(2, 03線性表示，但表示式不唯一,并求出表示式.(21)(本題滿分13分)設(shè)n階矩陣1 b b'b 1 bA =:.9 b L,(I )求A的特征值和特征向量；(n )求可逆矩陣p ,使得p/ap為對角矩陣.(22)(本題滿分13分)111人設(shè)A, B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)=一, P(B|A) = 一, P(A|B)= 一,令432求(I )二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(n ) x與丫的相關(guān)系數(shù)伙丫；(m) z = X 2 +丫2的概率分

49、布.(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中參數(shù)a>0, B>1.設(shè)X1,X2，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，(I )當(dāng)a=1時，求未知參數(shù)B的矩估計(jì)量；(n )當(dāng)a=1時，求未知參數(shù)B的最大似然估計(jì)量；(m)當(dāng)3 = 2時，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量.2004年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析一、填空題(本題共6小題，每小題4分，？茜分24分.把答案填在題中橫線上)(1)若 lim sin x (cos xb)=5,則 a = 1,b =- 4x0 e - a【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)閘imsin xx.0e(cos x b) = 5 ,且 li

50、m sin x (cos x b) = 0 ，所以x >0lim (ex a) = 0 ,得 a = 1.極限化為x_.0sin xxlim -(cosx b) = lim -(cosx b) =1b = 5,得 b = ».x0ex -ax0x因此，a = 1, b = 4.【評注】一般地，已知lim “8=A, g(x)(1)若 g(x) ? 0,則 f (x) ? 0;(2)若 f (x) ? 0,且 A ? 0,則 g(x) ? 0.(2)設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且g(y) ? 0,二2

51、f則一Lj uvg (v)g2(v)【分析】令u = xg(y), v =y,可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可【詳解】令 u = xg(y), v = y,則 f (u , v) =u十 g(v), g(v)二 f 1所以，二 u g(v):2f二 u 二 vg (v)g2(v)設(shè)f(x)=2 xex1-1 ,x-22則 1 f (x -1)dx =2x? 1 = t,再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)【詳解】令X ? 1 = t,【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元: 的積分性質(zhì)即可.1f (x-1)dx=1 f(t)dt =1 f(x)dtT x211=21 xe dx，i1

52、(T)dx = 0 ( -)二 -22'【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解(4)二次型 f (x1,x2,x3) =(xI +x2)2 +(x2 - x3)2 +(x3 +x1)2 的秩為2.【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩，亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)?f (x”x2，x3) =(x1 +x2)2 +(x2 x3)2 +(x3 +x1)22是二次型的矩陣為由初等變換得從而 r(A)=2,1At 0-13 -3,10-1302-30即二次型的秩為2.【詳解二】因?yàn)?f(x1,x2,x3) =(x1 +x2)2 +(x2 x3)2 +(x3 +x1)2232=2 yl y2 ，211其中y1 =x1 -x2 - 一 x3,22所以二次型的秩為2.y2 =義2 -x3.1(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 人的指數(shù)分布，則PX adx =-. e【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案1【詳解】由于DX = =，X的分布函數(shù)為 入故1. _,1、1PX DX = 1 - PX _