數(shù)學(xué)收斂思維與發(fā)散思維的協(xié)同

1、數(shù)學(xué)收斂思維與發(fā)散思維的協(xié)同論文“數(shù)學(xué)收斂思維與發(fā)散思維的協(xié)同”鉛山三中詹鋒數(shù)學(xué)收斂思維與發(fā)散思維的協(xié)同收斂思維也叫“集合思維”、“求同思維”，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，盡可能利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，把眾多的信息和解題的可能性逐步引導(dǎo)到條理化的邏輯序列中去，最終得出一個(gè)合乎邏輯規(guī)范的結(jié)論。收斂思維也是創(chuàng)新思維的一種形式，與發(fā)散思維不同，發(fā)散思維是為了解決某個(gè)問(wèn)題，從這一問(wèn)題出發(fā)，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒(méi)有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問(wèn)題，在眾多的現(xiàn)象、線索、信息中，向著問(wèn)題一個(gè)方向思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)或發(fā)散思維中針對(duì)問(wèn)題的最好辦法去得出最好的結(jié)論和最好的解決辦法。收斂

2、思維訓(xùn)練是重要的，每個(gè)學(xué)生都應(yīng)受到良好的收斂思維訓(xùn)練。在學(xué)生進(jìn)入小學(xué)、中學(xué)后，實(shí)際進(jìn)行收斂思維訓(xùn)練的時(shí)間也特別多，這對(duì)于兒童思維的健康化是完全必要的。這種訓(xùn)練常常是與邏輯分不開(kāi)的，在我國(guó)很少有中小學(xué)開(kāi)設(shè)邏輯學(xué)課程，他們的主要邏輯訓(xùn)練來(lái)自各個(gè)學(xué)科，與各學(xué)科結(jié)合，尤其與數(shù)學(xué)結(jié)合。數(shù)學(xué)訓(xùn)練是思維的“體操”。數(shù)學(xué)各科都有邏輯訓(xùn)練，其中又以幾何學(xué)科最具典型性，它的基本任務(wù)是訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理( 這是一種論證推理 ) 。邏輯訓(xùn)練又是典型的收斂性思維訓(xùn)練。學(xué)習(xí)邏輯方法，掌握邏輯規(guī)則 ( 不一定要有很專門的邏輯知識(shí) ) ，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是重要的，對(duì)于一般人，對(duì)于其它知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)習(xí)與理解，對(duì)于交流與表達(dá)

3、，都是重要的。邏輯上的混亂會(huì)使上述這一切受阻?；镜男问竭壿嬕?guī)則尚不懂得應(yīng)當(dāng)遵守，去談什么辨證思維，只會(huì)誤入歧途?！霸谝欢l件下，壞事可以變成好事”，這是一種辨證思維。丟掉“在一定條件下”去講“壞事可以變成好事”，這就有點(diǎn)問(wèn)題了。干脆就說(shuō)“壞事就是好事”，這是瞎說(shuō)，連基本的形式邏輯都違反了，這與辨證邏輯毫不相干。“在一定條件下，幾何問(wèn)題可以變成代數(shù)問(wèn)題”，這個(gè)“在一定條件下”也不能丟，更不能在強(qiáng)調(diào)兩者的某種統(tǒng)一的事物需要弄明白，這種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，必須建立在對(duì)有關(guān)概念與命題準(zhǔn)確了解的基礎(chǔ)上，建立在相當(dāng)?shù)氖諗克季S訓(xùn)練基礎(chǔ)上。比如說(shuō)，加法與減法在某種條件下統(tǒng)一于代數(shù)和，乘法與除法在某種條件下都?xì)w結(jié)為

4、乘法，以及直線與曲線的某種聯(lián)系，連續(xù)與離散的某種聯(lián)系，等等。邏輯是青少年思維發(fā)展中的保健品，邏輯的普遍適用性正是進(jìn)行遷移所需的，是發(fā)散過(guò)程中所需的。因?yàn)榘l(fā)散思維的“果實(shí)”還不是成熟的，需要收斂思維去加工。青少年時(shí)期是相對(duì)易于發(fā)散的年齡，也正需要他們同時(shí)懂得發(fā)散的東西隨時(shí)要伴之以收斂。這樣，不僅“果實(shí)”會(huì)成熟，思維發(fā)展也會(huì)漸漸成熟起來(lái)。在基礎(chǔ)教育階段，收斂思維訓(xùn)練，一則是大量的，二則是嚴(yán)格的，三則是權(quán)威的。大量的時(shí)間用于收斂思維訓(xùn)練是正常的。兒童思維的“天性”是發(fā)散的，收斂是需要后天訓(xùn)練的 ( 當(dāng)然，這不是說(shuō)思維發(fā)散不需要給以注意，不需要發(fā)展，不需要訓(xùn)練，不是這樣的 ) 。學(xué)生在學(xué)習(xí)期間要吸收的

5、數(shù)學(xué)知識(shí)主要是圍繞教科書內(nèi)容的。我們又要提到幾何，一本幾何教本，基本概念和基本命題寥寥數(shù)個(gè)，其余的大量命題 ( 或以“性質(zhì)”，或以“定理”，或以“習(xí)題”的形式出現(xiàn) ) 都屬于演繹工作，就思維訓(xùn)練來(lái)說(shuō)，明顯地屬于收斂性質(zhì)。收斂思維訓(xùn)練是嚴(yán)格的。我國(guó)廣大數(shù)學(xué)教師一般都十分重視學(xué)生的這種訓(xùn)練，就推理而言。一般教師都十分忌諱“循環(huán)論證”、命題混淆、理由不充足等邏輯錯(cuò)誤。因此注意力較多集中在嚴(yán)謹(jǐn)性上，集中在正確論證上。數(shù)學(xué)教科書的編寫與審定要求也十分嚴(yán)格。教師、教材要求的嚴(yán)格，邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)論似顯出來(lái)的無(wú)可爭(zhēng)議性，常常在學(xué)生心目中形成一種權(quán)威。這種權(quán)威有利于學(xué)生的收斂性思維訓(xùn)練。然而，同時(shí)必須明確的是

6、，收斂思維訓(xùn)練與發(fā)散思維訓(xùn)練應(yīng)協(xié)同進(jìn)行。一定的權(quán)威是有利的，權(quán)威主義是有害的，后者尤應(yīng)注意。每個(gè)人的思維事實(shí)上都是既有收斂，又有發(fā)散的。幼兒時(shí)期或許是個(gè)例外。一般青少年，乃至成人，差別在于兩種思維分別受到的訓(xùn)練如何，兩者是否協(xié)調(diào)。收斂思維的強(qiáng)訓(xùn)練在學(xué)校，然而，更好的學(xué)校( 或教師 ) 是在進(jìn)行這種強(qiáng)訓(xùn)練的同時(shí)保護(hù)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維。收斂思維的訓(xùn)練，在學(xué)前也可能有，只是比較微弱。良好的家庭環(huán)境，父母較好的文化素養(yǎng)，再加之以較好條件的幼兒教育，兒童的收斂思維就可能有一定的發(fā)展，但這時(shí)的收斂是比較有限的。在日常生活中，一般人的思維較多地處在發(fā)散狀態(tài)，且有意的加以利用的情形不多。在接受課堂教育時(shí)，較

7、多地處于收斂狀態(tài)，而對(duì)發(fā)散性思維一般注意得較少，尤其是數(shù)學(xué)課。在強(qiáng)調(diào)全面發(fā)展，全面學(xué)好各科課程，并注意學(xué)習(xí)內(nèi)容綜合性質(zhì)的學(xué)校里，學(xué)生收斂思維和發(fā)散思維協(xié)同訓(xùn)練的情況會(huì)好些。例如，人文課程，其中尤以藝術(shù)課程、文學(xué)課程，是比較有利于發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維的，數(shù)理化的學(xué)習(xí)與人文課程的學(xué)習(xí)都應(yīng)受到重視，在基礎(chǔ)教育階段尤其不能偏廢，這才有利于思維協(xié)調(diào)發(fā)展。數(shù)學(xué)本身不是人文科學(xué)，但它的形成、發(fā)展過(guò)程中，總伴隨著人文精神，數(shù)學(xué)教學(xué)若能有效地將這種精神揭示在學(xué)生面前是大有益處的。所以數(shù)學(xué)教師熟悉數(shù)學(xué)史、尤其是數(shù)學(xué)思想史是十分有意義的。不僅收斂和發(fā)散這兩種性質(zhì)不同的思維在一般人身上都存在，而且，在思維發(fā)展中，兩者是

8、交替進(jìn)行的、相互作用的。一個(gè)人在已獲得的信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行加工，若能超越現(xiàn)有信息而得到新的信息，往往是必須經(jīng)歷發(fā)散思維的。在幾何的學(xué)習(xí)中，在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，若已給出了假設(shè) ( 或已知 ) ，又給出了待證的結(jié)論，那么，這時(shí)的訓(xùn)練基本上是收斂性質(zhì)的，有一定的思維指向，又需沿著一定的邏輯發(fā)展，且在這種情況下所學(xué)得的主要是證明方法和增強(qiáng)論證能力，并未獲得新的結(jié)論和原理。若只給出已知條件，不給出任何結(jié)論，而讓學(xué)生去推測(cè)可能的結(jié)論且隨后去推證自己揣測(cè)的結(jié)論，那么，那個(gè)推測(cè)過(guò)程是發(fā)散思維最能發(fā)揮作用的，這種作用發(fā)揮得越好，各種可能的推測(cè)就越有機(jī)會(huì)閃現(xiàn)出來(lái)，而隨后的推證則又具有收斂的特征。通過(guò)發(fā)散思維所獲得的“新

9、的信息”是否真理還不一定，所以發(fā)散思維的主要作用在于“萌發(fā)真理”，是否確為真理尚需論證，這一步則往往是收斂思維所為。在論證的過(guò)程中亦非絕對(duì)收斂的，特別是相對(duì)困難或比較復(fù)雜的證明過(guò)程，有時(shí)需要奇特的技巧，需要設(shè)計(jì)新的輔助命題或其它工具，需要在論證的主線外開(kāi)辟新的支流，這些環(huán)節(jié)又離不開(kāi)發(fā)散思維。待到在收斂和發(fā)散思維配合下確立了真理之后，再開(kāi)拓出去，繼續(xù)擴(kuò)展信息，又需要收斂思維與發(fā)散思維的繼續(xù)配合。收斂思維與發(fā)散思維良好的協(xié)同，這種思維可以被形象地稱為既健康又活潑的。這樣所學(xué)得的就不僅是論證方法，還包括了結(jié)論的探求。在中小學(xué)階段，為了加強(qiáng)學(xué)生的收斂性思維訓(xùn)練又同時(shí)使之與發(fā)散性思維協(xié)調(diào)發(fā)展，我們可以做

10、些什么呢 , 以下幾個(gè)關(guān)系的正確處理是我們要做的事情的一個(gè)方面。一、 原理與假說(shuō)一本數(shù)學(xué)教科書，大體上是由原理構(gòu)成的 ( 公理、定理、公式、法則等 ) ，基本上沒(méi)有“假說(shuō)”的地位。而在人的日常生活中是常常碰到“假說(shuō)”，甚至自己提出“假說(shuō)”的?！斑@件事是誰(shuí)幫我做的而沒(méi)有留下姓名呢 , ”要回答這個(gè)問(wèn)題，第一步就是作假設(shè)，提出好幾種可能，然后看哪一種假設(shè)成立的可能性大些，再后就對(duì)那些可能性較大的假設(shè)進(jìn)一步尋求其成立的依據(jù)。至于在實(shí)際的科學(xué)活動(dòng)中，更是“假說(shuō)”先行的 ; 即使在學(xué)習(xí)現(xiàn)存的知識(shí)、學(xué)習(xí)教科書的過(guò)程中，也需要有大量的“假說(shuō)”伴行才會(huì)學(xué)得更好。所以，面對(duì)滿是原理的教科書，教師不能忘記了教學(xué)生

11、“假說(shuō)”，自己提出“假說(shuō)”，也引導(dǎo)學(xué)生去提出“假說(shuō)”。二、論證推理與似真推理所謂論證推理，即在某種理論體系下 ( 原則上要求是在公理體系下 ) 進(jìn)行邏輯推理。似真推理 ( 包括不完全歸納推理、類比推理、聯(lián)想 ) ，從理論上并未達(dá)到真理，然而，它在整個(gè)推理中的重要地位在于 : 它是導(dǎo)向創(chuàng)造的必經(jīng)之路，因此是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造思維所不可缺少的。作為論證推理的結(jié)果是原理，作為似真推理的結(jié)果就是“假說(shuō)”。教學(xué)中應(yīng)注意原理與“假說(shuō)”的關(guān)系，同時(shí)也就進(jìn)一步說(shuō)明了論證推理與似真推理的關(guān)系值得注意，尤其不忽視似真推理。三、學(xué)與問(wèn)“學(xué)問(wèn)”作為一個(gè)完整的詞是指知識(shí)、學(xué)識(shí)。“學(xué)問(wèn)”一詞，若將其分解，就是既學(xué)又問(wèn)，“學(xué)”是

12、一般的學(xué)習(xí)，“問(wèn)”則是一種特別的學(xué)習(xí)方式。還可作另一理解，“學(xué)”是謂語(yǔ)，“問(wèn)”是賓語(yǔ)，“學(xué)問(wèn)”即學(xué)習(xí)著提問(wèn)，學(xué)會(huì)問(wèn)問(wèn)題。學(xué)著問(wèn)不容易，學(xué)會(huì)問(wèn)更不容易。許多有經(jīng)驗(yàn)的教師都會(huì)發(fā)現(xiàn)，喜歡問(wèn)、愛(ài)問(wèn)、會(huì)問(wèn)的學(xué)生往往是十分優(yōu)秀的學(xué)生。同時(shí)，我們就可以說(shuō)，會(huì)教學(xué)問(wèn)、使學(xué)生喜歡問(wèn)、讓學(xué)生會(huì)問(wèn)的教師是十分優(yōu)秀的教師。數(shù)學(xué)教師中之優(yōu)秀者更應(yīng)是這一類會(huì)教問(wèn)者。問(wèn)，大多是因?yàn)橄氲搅诵碌囊颍蛳氲搅诵碌墓?，或感到在某個(gè)地方、 某個(gè)“原子”尚不能與原有“原子”掛上鉤。因此問(wèn)問(wèn)題，特別是多問(wèn)問(wèn)題，思維發(fā)散開(kāi)來(lái)的可能性增大。所以尊重和鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)是教師應(yīng)有的基本素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)教學(xué)中的權(quán)威性較高，教師的這種基本素養(yǎng)尤為重要，不

13、要因權(quán)威而壓抑了學(xué)生的好問(wèn)心理。教師在課堂有意設(shè)疑，對(duì)于形成學(xué)生生疑極有好處，而能引起學(xué)生生疑的環(huán)境是最便于發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維的。面對(duì)權(quán)威的教本，面對(duì)權(quán)威的教師，學(xué)生尚能提出問(wèn)題，尚有不同看法，尚愿意標(biāo)新立異，這是教師莫大的成功。至于教師自己的設(shè)問(wèn)、設(shè)疑，則既不能是過(guò)于膚淺乃至顯得做作的，又不能是過(guò)于深?yuàn)W的 ; 既不能過(guò)于直接，又不宜過(guò)于曲折。均從學(xué)生實(shí)際出發(fā)。三角形 ABC,E為 AB的中點(diǎn)， F 為 AC的中點(diǎn)，連接 EF。比較忌諱的的做法是，一開(kāi)始就講出結(jié)論來(lái)，然后就討論怎么證，也就是說(shuō)，很快轉(zhuǎn)入證明。這是一種比較極端的收斂訓(xùn)練方式。比較好的方式是，先問(wèn)學(xué)生 : 你能看出 EF具有什么特點(diǎn)

14、和性質(zhì)嗎 , 這個(gè)問(wèn)題泛一些。作為試探，最初的問(wèn)題也宜于泛一些 ; 泛一些也有利于學(xué)生有較大的思維自由度，較寬的活動(dòng)空間，有利于他們發(fā)散思維。最可怕的是課堂的沉寂，最要做好準(zhǔn)備的是當(dāng)出現(xiàn)沉寂時(shí)教師應(yīng)當(dāng)如何做。在教師設(shè)問(wèn)時(shí)學(xué)生沉寂，在教師正常敘述、正面講授時(shí)學(xué)生注意力不能隨著教師轉(zhuǎn)，這是兩個(gè)同等嚴(yán)重的問(wèn)題。面對(duì)上面那個(gè)較泛的問(wèn)題，學(xué)生提不出設(shè)想來(lái)的話，教師需將問(wèn)題具體化一步，將較泛的問(wèn)題縮小一些，以打破沉寂局面，讓他們跟得上。對(duì)于 EF，也許有學(xué)生會(huì)看出，說(shuō)它平行于 BC，這是最直觀的 ; 也許還有學(xué)生說(shuō)， EF是 BC的一半 ; 也許還有學(xué)生說(shuō)三角形 AEF的面積是三角形 ABC的三分之一，等等，這 3 種說(shuō)法中，顯然第三種是錯(cuò)了，但教師可不急于指出其錯(cuò)誤。并且也不要急于指出第一、第二兩種說(shuō)法是正確的。下面的問(wèn)題似可這樣提出 : 如果你認(rèn)為 EF 是平行于 BC，你還能進(jìn)一步說(shuō)出你的道理來(lái)嗎 , 這樣就便于讓學(xué)生對(duì)自己提出的設(shè)想來(lái)進(jìn)一步思索其正確程度，由發(fā)散又到收斂。這樣問(wèn)之后，如果還不能達(dá)到預(yù)期目的，就還要有再