數(shù)學(xué)史知識在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的初探

1、目 錄1.赤字和負(fù)數(shù)22.話說有理數(shù)33.沾滿鮮血的一個數(shù)34.“化圓為方”問題55.代數(shù)式歷史發(fā)展的三步曲66.“一元一次方程”小史77.未知數(shù)與方程的解 88.自然數(shù)89.古人測量太陽高度的方法910.巧用等腰三角形知識，測金字塔的高1011.概率中的故事與故事中的概率1212.數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式1413.中國的半符號代數(shù)-天元術(shù)和四元術(shù)1714.函數(shù)小史1815.“一元二次方程”小史2016.一元三次方程的故事2117.不定方程和韓信點(diǎn)兵2318.方程的歷史2519.黃金分割2720.坐標(biāo)系的由來2921.數(shù)學(xué)神童維納的年齡3122.哥德巴赫猜想3223.韋達(dá)與根的判別式3424.

2、小歐拉智改羊圈3625.可用于與外星人交流的語言：勾股定理3826.數(shù)學(xué)世界三大難題4227.三次數(shù)學(xué)危機(jī)4428.數(shù)學(xué)之美4829.由博弈產(chǎn)生的概率5130. 不會考試的數(shù)學(xué)家埃爾米特52編者：吳志明 供學(xué)生閱讀1.赤字和負(fù)數(shù)一個會計的會計簿中，有時會發(fā)現(xiàn)用紅筆寫的數(shù)字，這叫“赤字”，表示是會計付出的錢。一個國家，如果支出大于收入，那么也稱為出現(xiàn)“赤字”。這種用不同顏色的數(shù)字來區(qū)別正數(shù)和負(fù)數(shù)的做法，最早是源于古代中國的。中國古代用算籌進(jìn)行計算，稱為籌算，這種算籌最初是用竹子制成的，長度大約1316cm，徑約0.3cm，后來發(fā)現(xiàn)也有木、骨或金屬制的算籌。用籌排出數(shù)碼有縱橫兩種式樣（如圖所示）：

3、這與老式鐘表上的西方常用的羅馬數(shù)字的原理是一致的。多位數(shù)的排法是：個位、百位、萬位上的數(shù)用縱式，十位、千位上的數(shù)字用橫線，間隔著寫，在最后一數(shù)上加一斜杠表示負(fù)數(shù)，如873190783和-873190783表示成如下圖所示。這種籌算制度，早在秦漢以前就已形成，到了西漢末年（公元前1世紀(jì)），我國數(shù)學(xué)家們對先秦時期的數(shù)學(xué)成就就作了總結(jié)，寫成了九章算術(shù)這篇數(shù)學(xué)古典名著。九章算術(shù)中的數(shù)學(xué)成就很多，其中的一項重要成就是肯定負(fù)數(shù)的存在，并且闡明了正負(fù)數(shù)加、減運(yùn)算性質(zhì)。九章算術(shù)中的“正負(fù)術(shù)”是這樣的：“同名相符，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相符，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！比绻媒裉斓姆?/p>

4、來表示，就是：正負(fù)數(shù)減法法則 （異名相益） （正無入負(fù)之） （負(fù)無入正之）正負(fù)數(shù)加法法則： （同名相益） （正無入正之） （負(fù)無入負(fù)之）至于正負(fù)數(shù)減法如何進(jìn)行，三國時期的平民數(shù)學(xué)家劉徽在注九章算術(shù)時說：“今算得失相反，要令正負(fù)以名之，正酸赤，負(fù)算黑。否則以邪正為異?！边@里明確指出：正數(shù)與負(fù)數(shù)是“得失相反”性質(zhì)不同的數(shù)，和正數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算時，用不同顏色的算籌來區(qū)別正、負(fù)數(shù)（雖然這里用紅色表示正數(shù)），這在世界上是關(guān)于負(fù)數(shù)的最早記錄。公元5世紀(jì)，東方另一個文明古國印度的早期數(shù)學(xué)家也承認(rèn)“負(fù)數(shù)”是一種新的數(shù)，并在數(shù)字上加一個點(diǎn)來表示它。但當(dāng)印度數(shù)學(xué)通過阿拉伯傳入歐洲后，負(fù)數(shù)反而被當(dāng)作“偽數(shù)”、“

5、假想數(shù)”、“不可能數(shù)”而排斥在數(shù)的家族之外。一直到了16世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家代數(shù)之父韋達(dá)存在負(fù)數(shù)的合法地位，甚至17世紀(jì)數(shù)學(xué)大師、哲學(xué)家解析幾何的奠基人笛卡爾也沒有認(rèn)識負(fù)數(shù)的本質(zhì)。歐洲直到1655年，英國數(shù)學(xué)家沃利斯在原來只有正軸的坐標(biāo)系里引進(jìn)了負(fù)的橫、縱坐標(biāo)軸，把負(fù)數(shù)與負(fù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，這樣才使負(fù)數(shù)取得了與正數(shù)的平等地位?？v觀負(fù)數(shù)的歷史，不能不欽佩中國古代數(shù)學(xué)家的遠(yuǎn)見卓識。2.話說有理數(shù)同學(xué)們對“有理數(shù)”這一名稱有什么看法嗎？它是不是比別的數(shù)更有理？事實(shí)上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國

6、在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對，“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒有道理。有理數(shù)的概念，相信起源于史前時期。古埃及人約于公元前17世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)，古希臘，古印度都有有理數(shù)理論研究的記載，中國九童算術(shù)中也載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的使用是由于除法運(yùn)算的需要。有理數(shù)概念的確立有兩個重要的階段：除法的建立，邊長為1的正方形對角線不是有理數(shù)，前者標(biāo)志著有理數(shù)正式的建立，后者標(biāo)志

7、著人們終于明白了千萬年以來研究的數(shù)據(jù)有的本質(zhì)特征：兩個整數(shù)的比。除法運(yùn)算可以看作求解方程px=q（p0），如果p，q是整數(shù)，則方程不一定有整數(shù)解。為了使它恒有解，就必須把整數(shù)系擴(kuò)大成為有理系。關(guān)于有理數(shù)系的嚴(yán)格理論，一切有理數(shù)所成之集記為Q。因此，有理數(shù)系可說是由整數(shù)系擴(kuò)大后的數(shù)系。邊長為1的正方形對角線的長是什么數(shù)？這對古希臘畢達(dá)格拉斯學(xué)派的人來說意味著什么嗎？這意味著褻瀆神靈，被驅(qū)逐出學(xué)派，經(jīng)年被追殺和最后被扔進(jìn)大海喂魚。就因?yàn)檫@條對角線的長不能表示為兩個整數(shù)的商。這使人類意識到有理數(shù)只是數(shù)的一部分。3.沾滿鮮血的一個數(shù)西方理論數(shù)學(xué)的巨人鼻祖畢達(dá)哥拉斯，生于公元前560年愛琴?？拷喖?xì)亞

8、的薩摩斯島（今土耳其西岸一個小島），與中國的先圣孔子處于同一時代，他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、音樂理論方面有很深的造詣，更是西方理論數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，深得人們的崇敬。據(jù)說連浪花碰到老先生都會親切地問候數(shù)學(xué)巨人：畢達(dá)哥拉斯，你好！從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯對人類作出最大貢獻(xiàn)的莫過于直角三角形中的勾股定理（西方稱之為畢達(dá)哥拉斯定理）：即以直角三角形兩直角邊為邊長的正方形面積和等于斜邊為邊長的正方形面積。畢達(dá)哥拉斯最得意的弟子希巴斯正是在應(yīng)用老師發(fā)現(xiàn)的最偉大的數(shù)學(xué)定理時發(fā)現(xiàn)，正方形的邊長是1，它的對角線為，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，這

9、個與兩條邊之間的表示，應(yīng)該有等式：，那么是多少呢？記為。是什么數(shù)呢？希巴斯用了很多時間，發(fā)現(xiàn)不是整數(shù)，也不是兩個整數(shù)之比。這與老師倡導(dǎo)的萬物皆數(shù)（這里的數(shù)指的是整數(shù)或整數(shù)比）的理論相抵觸。于是他就登門向畢達(dá)哥拉斯請教?！笆裁?？”畢達(dá)哥拉斯大吃一驚，“竟然有不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的東西？”“是的！”希巴斯說，“我已經(jīng)證明了這一點(diǎn)！”希巴斯證明不是兩個整數(shù)的比的過程采用的是反證法。假設(shè)可以用兩個整數(shù)之比來表示，雖然，那么必有一個不可約分?jǐn)?shù)，使=，（為質(zhì)的正整數(shù)），則，所以是偶數(shù)，也是偶數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)）， ,所以，是偶數(shù)，也是偶數(shù)，這和、E矛盾。既不可約分?jǐn)?shù)矛盾。因此假設(shè)不成立。所以不是兩個整數(shù)的

10、比，那是什么數(shù)。希巴斯的論證極富邏輯性，無懈可擊。畢達(dá)哥拉斯看過希巴斯的證明后，悶聲不響，雙手顫抖，額面上冒出漢珠。希巴斯連忙問：“怎么了老師，我做錯了嗎？”“你沒有錯！你你給我出去！”畢達(dá)哥拉斯神態(tài)異常，揮手讓希巴斯出去。希巴斯不解地看著老師，邁步出門。剛要關(guān)上門，畢達(dá)哥拉斯又突然喊到：“回來！” 希巴斯又走回來。畢達(dá)哥拉斯口氣十分嚴(yán)肅地說：“你給我保證！這事不許外傳，除了你除了我，不許讓第三個人知道！”“為什么？”“不為什么！這是我的規(guī)矩，懂嗎？”希巴斯狐疑地點(diǎn)點(diǎn)頭，告辭走了。出現(xiàn)一個小小的，畢達(dá)哥拉斯為什么令他驚恐不安呢？我們知道，是無理數(shù)，是不能表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)，盡管當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯大名鼎

11、鼎，但對無理數(shù)也一無所知。他早就宣布世界上只有整數(shù)或整數(shù)之比，卻偏偏出現(xiàn)一個像這樣的既不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的數(shù)，他怎么能不感到為難呢？為了維護(hù)自己尊敬的信仰，也為了保住自己的臉面，數(shù)學(xué)巨人畢達(dá)哥拉斯對這類新的數(shù)采取“不承認(rèn)主義”，他威生又叫人駕船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。希巴斯據(jù)理爭辯，被畢氏的其它門徒拳打腳踢，打得遍體鱗傷，最后被扔進(jìn)了大海。逼希巴斯保密，不要把事情說出去。還在他的弟子中宣布：“誰泄密的話埋誰！” 畢達(dá)哥拉斯惟恐事情張揚(yáng)，會動搖他們整個畢氏學(xué)派的基礎(chǔ)。但希巴斯是一個很有思想，敢于堅持真理的人。他沒有被權(quán)威嚇倒，也沒有放棄對的探求，一有機(jī)會仍然要宣傳客觀存在。希巴斯的觀

12、點(diǎn)和畢達(dá)哥拉斯大權(quán)威的觀點(diǎn)針鋒相對。對此，畢達(dá)哥拉斯恨之入骨，以為希巴斯反叛，也是拆他的臺，便指使人把希巴斯當(dāng)叛徒者處死。希巴斯聞訊，連忙跳上一只剛啟航的海船逃離。畢達(dá)哥拉斯為了掩蓋小小的帶來的矛盾，慘忍殺害了一個有才華的青年。公元500年畢學(xué)派經(jīng)歷的這場數(shù)學(xué)思想的矛盾沖突表明：幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時這也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上一次巨大

13、革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。 回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去的。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得幾何原本的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。另外說明了一些新的數(shù)學(xué)知識、內(nèi)容、理論、學(xué)科的發(fā)現(xiàn)不僅要付出自己的聰明才智，甚至要付出生命的代價，所以先輩說是一個充滿著血腥味的數(shù)。4.“化圓為方”問題公元前5世紀(jì)，

14、古希臘哲學(xué)家安那薩哥拉斯因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)太陽是個大火球，而不是阿波羅神，被判犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄，判處死刑。在監(jiān)獄的夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他對方鐵窗和圓月亮產(chǎn)生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最后他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了?！?安那薩哥拉斯把“求作一個正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個尺規(guī)作圖問題來研究。起初他認(rèn)為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時間都用上，也一無所獲。 經(jīng)過好朋友、政治家伯里克利的多方營救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監(jiān)獄中想到的問題公布出來，許多數(shù)學(xué)家對這

15、個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的“化圓為方”問題?；瘓A為方問題，實(shí)際上就是用直尺圓規(guī)作出線段的問題。設(shè)圓半徑為r,正方形邊長為a,則有r2=a2,a=r.關(guān)鍵求作長為的線段。直到1882年，化圓為方的問題才最終有了合理的答案。德國數(shù)學(xué)家林德曼（Lindemann,18521939)在這一年成功地證明了圓周率=3.1415926.是超越數(shù)，并且尺規(guī)作圖是不可能作出超越數(shù)來，所以用尺規(guī)作圖的方式解決化圓為方的問題才被證明是不可能實(shí)現(xiàn)的。二千年間，盡管對化圓為方問題上的研究沒有成功，但卻發(fā)現(xiàn)了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前430）為解決此問題而提出的“窮竭法”，是近代極限

16、論的雛形。大意是指先作圓內(nèi)接正方形（或正邊形），然后每次將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接8、16、32、邊形，他相信“最后”的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結(jié)論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米得計算圓周率方法的先導(dǎo)，與中國劉徽的割圓術(shù)不謀而合，對窮竭法等科學(xué)方法的建立產(chǎn)生直接影響。其實(shí)，若不受標(biāo)尺的限制，化圓為方問題并非難事，歐洲文藝復(fù)興時代的大師芬蘭數(shù)學(xué)家達(dá)芬奇（14521519）用已知圓為底，圓半徑的為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖， 所以所得矩形的面積 ，然后再將矩形化為等積的正方形即可。注古代數(shù)學(xué)史上有世界三大難題（倍立方體、化圓

17、為方、三分角）。1、“立方倍積”要求用尺規(guī)法作一立方體，使其體積為原立方體體積的兩倍。2、“三分角” 要求用尺規(guī)法三等分任意角。3、“化圓為方”要求用尺規(guī)法作出一個正方形，其面積與一已知圓的面積相等。5.代數(shù)式歷史發(fā)展的三步曲 數(shù)學(xué)與算術(shù)最顯著的區(qū)別，是以字母表示數(shù)，代數(shù)式,中的字母a、b、x表示數(shù)，但都是可以取不同值的數(shù)。 字母代數(shù)的歷史發(fā)展經(jīng)歷了三個階段，這就是言語代數(shù)簡字代數(shù)（半符號代數(shù)）符號代數(shù)。 公元三世紀(jì)以前，無論是東方還是西方，都是言語代數(shù)，即用普通語言來敘述的代數(shù)，例如：對于代數(shù)式說成是：一個數(shù)的三次方，減去這個數(shù)平方的5倍，加上這個數(shù)的8倍，減去1。 這種方式敘述的代數(shù)式，十

18、分繁瑣，又不便計算。 首先設(shè)法簡化這種語言代數(shù)的，是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，他被后人稱為代數(shù)學(xué)之父。丟番圖對數(shù)學(xué)有兩大貢獻(xiàn),其一是采用縮寫方式簡化數(shù)學(xué)表達(dá),人稱縮寫代數(shù),推進(jìn)了數(shù)學(xué)符號的采用;其二是求解不定方程,人稱丟番圖方程,開辟了數(shù)論研究的一個重要領(lǐng)域,這個領(lǐng)域后來被稱為丟番圖分析.丟番圖曾寫過三部書,其中13卷本的算術(shù)最為出色,后失傳.大約在1463年雷瓊蒙塔努力發(fā)現(xiàn)了這部書的6卷,1560年,帕茨發(fā)現(xiàn)了這部書原稿抄本,1621年出版了算術(shù)的拉丁文,希臘文版本.算術(shù)中大部分問題是求解不定方程的,其解法非常巧妙,很少給出一般法則,即使性質(zhì)相近的題,其解法也會大不相同.著名數(shù)學(xué)家漢克爾說:&quo

19、t;研究丟番圖100道題后,去解第101道,仍然感到困難重重."這些問題曾經(jīng)引起所有歐洲數(shù)學(xué)家的興趣。例如，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就曾經(jīng)仔細(xì)研究過算術(shù)的拉丁譯本，并在書中空白出寫下了著名的“費(fèi)馬定理”，這個沒有證明的定理（因此又稱“費(fèi)馬猜想”）困惑人們達(dá)350年之久，直到1993年，才有英國數(shù)學(xué)家懷而斯予以邏輯論證。 丟番圖在算術(shù)中的創(chuàng)造性成就，是用語頭的字母作為縮寫符號，來簡化代數(shù)式。例如，他用希臘文“冪”的頭兩個字母來表示未知數(shù)的平方，用希臘文“立方”的頭兩個字母表示未知數(shù)的立方；用希臘文“缺少”中的頭一個字母表示減號等等。于是他把前面所說的那個代數(shù)式子，寫成了： 其中希臘字母分別表示字

20、母1，8，5；表示未知數(shù)，M表示常數(shù)。相比之下，這種表示比完全用語言來表示，簡單多了。 簡字代數(shù)邁向代數(shù)的決定性一步，是16實(shí)際的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)，他在分析術(shù)入門一書中創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號，是早期符號代數(shù)的專著，他用拉丁字母中的元音表示未知數(shù)，用字音表示已知數(shù)。用Aguad,Acub分別表示和，并采用加，減號（但沒有符號）。就這樣，代數(shù)式就變成了 BsinAguad-Cplano2inA+AcubaeguaturDsolido 其中數(shù)C寫成“平面”的，D寫成“立體”的，這是為了遵循古希臘同彼數(shù)的數(shù)才能相加減的傳統(tǒng)規(guī)定。 后來，法國另一個數(shù)學(xué)大師笛卡兒改用拉丁字母表示最后幾個字母x,y,z等表示未

21、知數(shù)，用前面字母a,b,c等表示已知數(shù)；還將x的立方、平方號寫成，這種符號一直用到了今天。 等號“”是雷科德在1557年出版的礪智石一書中首先提出來的。他解釋說：“沒有任何別的東西比這兩短橫更相等了。但直到17世紀(jì)末，等號才被人們普遍接受。英國數(shù)學(xué)家沃利斯在1693年正式在代數(shù)中使用符號。此后，就實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的完全符號化了。 6.“一元一次方程”小史 一元一次方程Linear Equation of One Variable是只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是一的整式方程，它的標(biāo)準(zhǔn)形式為。     一元一次方程最早出現(xiàn)在萊因特草紙書中，現(xiàn)收

22、藏在倫敦博物館里，是由古埃及僧人阿默士所著的，全書共有85個題目。有些題目是屬于一元一次方程的，如第11題是：“一個數(shù)的，加上這個數(shù)的，再加上它的，再加上這個數(shù)本身等于37，求這個數(shù)。”相當(dāng)于解 += 37。     方程是我國九章算術(shù)中的第八章，它除了給出一次聯(lián)立方程組的解法外，還使用了負(fù)數(shù)，這在數(shù)學(xué)史上具有重要的意義。   被譽(yù)為希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖公元246330年，在代數(shù)方程理論方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他同時代的人。他曾在一本大約于4世紀(jì)時寫的希臘文詩集上作了一首關(guān)于他生平的短詩有的說是墓志銘：“丟番圖的一生，幼年占，青少年占，又過了才結(jié)婚，婚

23、后5年之后生子，子先父4年而卒，壽為其父之半”。求丟番圖究竟活了多少年歲，列出方程后得： + + + 5 + + 4 = ， 可知 = 84。 有關(guān)方程的歷史名題很多，如哲人聚會，女神分果，遺產(chǎn)分配， ，有興趣的同學(xué)不妨在網(wǎng)上找一些做一做，和古人比試一下。7.未知數(shù)與方程的解未知數(shù)（unknown number）是在解方程中，有待確定的值。 我國古代并不用符號來表示未知數(shù)，而是用籌算來解方程。13世紀(jì)，高次方程的數(shù)值解法是數(shù)學(xué)難題之一。當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家都致力于這個問題。用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運(yùn)算來解決建立高

24、次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的測圓海鏡。具體方法：用“立天元”表示未知數(shù)，并在相應(yīng)的系數(shù)旁寫一個元字以為記號。至元朝朱世杰（約13 世紀(jì)）用天、地、人、物表示四個未知數(shù)，建立了四元高次方程組理論。 古希臘的丟番圖（約246-330）用字母來表示未知數(shù)，但以后進(jìn)展很慢。過去不同未知數(shù)會用同一個符號來表示，容易混淆，所以 1559年法國數(shù)學(xué)家彪特（1485至1492-1560至 1572）開始用A、B、C表示不同的未知數(shù)。 1591年韋達(dá)用A、E、I等元音字母表示未知數(shù)。 1637年笛卡兒（1596-1650）在幾何學(xué) 中始用x、y、z表示正數(shù)的未知數(shù)。直至1657 年約翰哈德才用字母

25、表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的未知數(shù)。方程的解Solution of Equation是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值。     九世紀(jì)，中亞細(xì)亞著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾花拉子米著代數(shù)學(xué)，書中把未知數(shù)叫根jidr，是樹根、基礎(chǔ)或事物根本的意思，譯成拉丁文是radix，既可以指一個方程的解，又可指一個數(shù)的方根，一直沿用到現(xiàn)在。8.自然數(shù)自然數(shù)（natural number）用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4，所表示的數(shù)。自然數(shù)由0開始，一個接一個，組成一個無窮集合。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法

26、或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。自然數(shù)是人們認(rèn)識的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價的理論：自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述?；诨鶖?shù)的自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)。現(xiàn)在使用的英語calculate（計算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的。中國古代易·系辭中說，上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契，這都是匹配計算法的反映。 集合的基數(shù)具有元素"個數(shù)

27、"的意義，當(dāng)集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。由此可通過集合的并、交運(yùn)算定義自然數(shù)的加法與乘法（見算術(shù)） 為了計數(shù)，必須有某種數(shù)制，即建立一個依次排列的標(biāo)準(zhǔn)集合。隨后對某一有限集合計數(shù)。就是將該集合中每個元素順次與標(biāo)準(zhǔn)集合中的項對應(yīng)，所對應(yīng)的最后的項，就標(biāo)志著給定集合元素的個數(shù)。這種想法導(dǎo)致G.皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論。使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。9.古人測量太陽高度的方法漢代天文學(xué)家采用下面的方法來測量太陽的高度：如圖1，選定夏至這一天，在南北相隔1000里的兩個地方A和B，各立一根8尺長的標(biāo)竿AM和BN，同時測出它們在太陽下的影子A

28、E和BC的長度的差為1寸，從而應(yīng)用公式算出了太陽的高度。這種測量方法稱為重（重復(fù)）差（日影的相差）術(shù)，最早記載于約公元前一世紀(jì)的周髀算經(jīng)。大數(shù)學(xué)家劉徽（魏晉之際的數(shù)學(xué)家）系統(tǒng)地總結(jié)了這種方法，流傳至今就是著名的海島算經(jīng)。這個測太陽的公式是怎樣的，又是怎樣推導(dǎo)出來的呢？這就要應(yīng)用相似三角形的知識?，F(xiàn)在我們來看“古人測量太陽高度”的公式。如圖1中，設(shè)AB,AD,AE,BC,AMBNDP,OP,由MAOD得EAMEDO即,同理,由比例性質(zhì)得即OD。漢代天文學(xué)家就是把1000里, 8尺,1寸,代入這個公式求得太陽的高度約為80000里。只是劉徽在推導(dǎo)這個公式時應(yīng)用的是面積方法,比應(yīng)用相似三角形的方法要

29、復(fù)雜。你能用同樣的方法求海島算經(jīng)第一題嗎？ 今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高及去表各幾何？ 答：島高7530尺，海島與前表3075步。10.巧用等腰三角形知識，測金字塔的高埃及的金字塔是古埃及國王的墳?zāi)?，那些古老雄偉的建筑物，是古埃及勞動人民智慧的結(jié)晶。據(jù)傳二千六百多年前，埃及一個國王想知道已修好的胡夫大金字塔有多高，可誰也不知道怎樣去測量。因?yàn)樗硎切钡?，爬上去測量很危險，事實(shí)上曾有過爬塔喪生的故事。但真要是有人爬上去了，又用什么方法測量呢？這

30、個問題的確困惑了人們許多年。后來，有一個叫泰勒斯（Thales，公元前624-前547）的學(xué)者說他能試試。便選擇了一個特定的日子，在國王、祭司的親自主持下，舉行了測塔儀式，人們擁擠著、議論看，連千里之外都有不少人趕來觀看，這可是當(dāng)時當(dāng)?shù)氐囊患笫?、奇事呢！時辰已到，祭司開壇拍板，泰勒斯果然不負(fù)眾望，在助手的幫助下測出了大金字塔的高度。那么，泰勒斯是怎樣解決這一難題的呢？原來是用了等腰三角形的有關(guān)知識。現(xiàn)在我們來看泰勒斯是怎樣測算大金字塔高度的。這一天，泰勒斯站在金字塔一邊的中點(diǎn)D、看到自己的身影與邊垂直。當(dāng)他的身影恰好等于自己的身高時，測量開始。此時陽光正好以45°的角度射向地面（如

31、圖1）。于是，ACB90°,CBACAB45°.由金字塔的頂點(diǎn)A，塔底的中心點(diǎn)C和陰影的端點(diǎn)B所組成的三角形是等腰直角三角形。ACBC。而塔的底邊長度是早已測量好的，它的一半正好等于CD的長（因?yàn)樗牡酌媸莻€正方形），DB的長當(dāng)場測出，所以泰勒斯只把CD與DB的長相加即得到了胡夫大金字塔的高度約為146.6米。今天我們用初中知識就可以有多種方法求金字塔的高。1. 還是用太陽光，可以用相似三角形知識在任何時候求得金字塔的高，如圖2；2. 在白天只要有小木桿和皮帶尺的幫助，如圖3。3. 在沒有太陽光的時候，可以用面小鏡子幫助，如圖4；11.概率中的故事與故事中的概率研讀數(shù)學(xué)史我

32、們可以發(fā)現(xiàn)，在概率的起源和發(fā)展過程中有許多生動有趣的故事，相信大家會在故事中得到啟發(fā)。一、賭金風(fēng)波。公元1651年夏天，當(dāng)時盛譽(yù)歐洲號稱“神童”的數(shù)學(xué)家帕斯卡爾（B.Pascal，16231662），在旅途中偶然遇到了賭徒梅累，梅累是一個貴族公子哥兒，他對帕斯卡爾大談“賭經(jīng)”，以消磨旅途時光。梅累還向帕斯卡爾請教一個親身所遇的“分賭金”問題。問題是這樣的：一次梅累和賭友擲骰子，各押賭注32個金幣，梅累若先擲出三次“6點(diǎn)”，或賭友先擲出三次“4點(diǎn)”，就算贏了對方。賭博進(jìn)行了一段時間，梅累已擲出了兩次“6點(diǎn)”，賭友也擲出了一次“4點(diǎn)”。這時，梅累奉命要立即去晉見國王，賭博只好中斷。那么兩人應(yīng)該怎么

33、分這64個金幣的賭金呢？賭友說，梅累要再擲一次“6點(diǎn)”才算贏，而他自己若能擲出兩次“4點(diǎn)”也就贏了。這樣，自己所得應(yīng)該是梅累的一半，即得64個金幣的三分之一，而梅累得三分之二。梅累爭辯說，即使下一次賭友擲出了“4點(diǎn)”，兩人也是秋色平分，各自收回32個金幣，何況那一次自已還有一半的可能得16個金幣呢？所以他主張自己應(yīng)得全部賭金的四分之三，賭友只能得四分之一。公說公有理，婆說婆有理。梅累的問題居然把帕斯卡爾給難住了。他為此苦苦想了三年，終于在1654年悟出了一點(diǎn)道理。于是他把自己的想法寫信告訴他的好友，當(dāng)時號稱數(shù)壇“怪杰”的費(fèi)爾馬（Fermat，16011665），兩人對此展開熱烈的討論。后來荷蘭

34、數(shù)學(xué)家惠更斯（C.Huygens，16291695）也加入了他們的探討行列。最后，他們一致認(rèn)為，梅累的分法是對的！惠更斯還把他們討論的結(jié)果，載入1657年出版的一本叫論賭博中的計算的書中。這本書至今被公認(rèn)為概率論的第一部著述。梅累的分法為什么是對的？帕斯卡爾和費(fèi)爾馬他們又是怎么想的？這一連串的疑團(tuán)要等今后大家學(xué)到更多概率論知識的時候，才能一一解開。賭金風(fēng)波終于以概率論的誕生命宣告平息。二、布豐的投針試驗(yàn)公元1777年的一天，法國科學(xué)家D·布豐（D·buffon17071788）的家里賓客滿堂，原來他們是應(yīng)主人的邀請前來觀看一次奇特試驗(yàn)的。試驗(yàn)開始，但見年已古稀的布豐先生興致

35、勃勃地拿出一張紙來，紙上預(yù)先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我?！笨腿藗儾恢钾S先生要干什么，只好客隨主意，一個個加入了試驗(yàn)的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142。”說到這里，布豐先生故意停了

36、停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說：“先生們，這就是圓周率的近似值！”眾賓嘩然，一時議論紛紛，個個感到莫名其妙；“圓周率？這可是與圓半點(diǎn)也不沾邊的呀！”布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：“諸位，這里用的是概率的原理，如果大家有耐心的話，再增加投針的次數(shù)，還能得到的更精確的近似值。不過，要想弄清其間的道理，只好請大家去看敝人的新作了。”隨著布豐先生揚(yáng)了揚(yáng)自己手上的一本或然算術(shù)試驗(yàn)的書。在這種紛紜雜亂的場合出現(xiàn)，實(shí)在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬確的事實(shí)。由于投針試驗(yàn)的問題，是布豐先生最先提出的，所以數(shù)學(xué)史上就稱它為布豐問題。布豐得出的一般結(jié)果是：如果紙上兩平行線間相

37、距為d，小針長為l，投針的次數(shù)為n，所投的針當(dāng)中與平行線相交的次數(shù)是m，那么當(dāng)n相當(dāng)大時有：，便是著名的布豐公式。概率雖然起源于歐洲，但在我國古代的許多成語故事中，我們?nèi)詴l(fā)現(xiàn)概率的萌芽和應(yīng)用的影子。三、著名的生日悖論 很多人喜歡用緣分來解釋一些事，其實(shí)你有沒有想過很多時候是概率在起作用呢，讓我們來看看有名的生日悖論：23個人里有兩個生日相同的人的幾率有多大呢？ 居然有50% ！問題是這樣的： 如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對于60或者更多的人，這種概率要大于9

38、9%。 不計特殊的年月，如閏二月。先計算房間里所有人的生日都不相同的概率，那么 第一個人的生日是 365選365 第二個人的生日是 365選364 第三個人的生日是 365選363 : : : 第n個人的生日是 365選365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是： 那么，n個人中有至少兩個人生日相同的概率就是： 1所以當(dāng)n=23的時候，概率為0.507 當(dāng)n=100的時候，概率為0.9999996。這個結(jié)論現(xiàn)在你是否還感到不可思議呢？四、輪盤在電視臺舉辦的猜隱藏在門后面的汽車的游戲節(jié)目中，在參賽者的對面有三扇關(guān)閉的門，其中只有一扇門的后面有一輛汽車，其它兩扇門后是山羊。游戲規(guī)則是，參賽

39、者先選擇一扇他認(rèn)為其后面有汽車的門，但是這扇門仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中后面有山羊的一扇門，這時主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的機(jī)率更大一些？正確結(jié)果是，如果此時參賽者改變主意而選擇另一扇關(guān)閉著的門，他贏得汽車的機(jī)率會增加一倍。如果他不改變主意，則他贏得汽車的概率為，而改變后的概率為，他第一次選好后，有的可能性在另兩扇門后，主持人把一扇有山羊的去掉了，但概率沒變。所以開始時這三扇門后汽車的概率相同，但你選了一扇，主持人打開一扇后，這兩扇門后汽車的概率不一樣了，這才是問題的關(guān)鍵啊！12.數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式 二元一次方程式在數(shù)

40、學(xué)中是十分基本且重要的概念，下面將對中國、巴比倫和印度數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式做一簡介。由于筆者才疏學(xué)淺，數(shù)據(jù)來源又以中文為主，所以自覺這篇文章有三點(diǎn)不足之處：一、未考慮時代背景與數(shù)學(xué)發(fā)展背景。二、未述及解析幾何中的二元一次方程式。三、未述及西方數(shù)學(xué)對二元一次方程式和二元一次聯(lián)立方程式解法的發(fā)展。 此外，在收集資料的過程中，發(fā)現(xiàn)關(guān)于二元一次方程式的資料很少，論及二元一次聯(lián)立方程式的更少，猜測這或許與絕大多數(shù)的二元一次聯(lián)立方程式題目都可以用一元一次方程式來解決有關(guān)。 中國九章算術(shù)     九章算術(shù)成書于漢代，集之前數(shù)學(xué)知識之大成，是中國最重要的一本算書；劉徽為其作注

41、時，全面的證明其中的公式與解法(注一)，不但對中國后世的數(shù)學(xué)發(fā)展，甚至鄰近地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展都有深遠(yuǎn)的影響。     九章算術(shù)第八章方程中共有十八個問題，都是關(guān)于一次聯(lián)立方程的問題，其中二元的問題有八個，三元的問題有六個，四元的問題有二個，五元的問題有一個，屬于不定方程(六個未知數(shù)五個方程)的有一個(注二)。屬于二元的是第二、四、五、六、七、九、十、十一問，其中第二問是： 今有上禾七秉，損實(shí)一斗，異之下禾二秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一斗， 與上禾二秉，而實(shí)一十斗；問上、下禾一秉個幾何？ 答曰：上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一 術(shù)曰：如

42、方程。損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過一十斗也。益實(shí)一斗 者，其實(shí)不滿一十斗也。術(shù)曰就是解法。如方程便是列出方程式，用現(xiàn)今之符號(上禾一秉x斗，下禾一秉y斗)列出： (7x-1)+2y=10 2x+(8y+1)=10 損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過一十斗也。益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也。就是指常數(shù)項的移項，原方程式變成： 7x+2y=11-(1) 2x+8y=9-(2) 至于接下來的算法便是利用方程術(shù)，由于方程術(shù)是在第一問(三元一次)后所提出的，所以第二問中就沒有再寫出計算過程，下面是我用現(xiàn)在的符號改寫方程術(shù)的計算過程： (2)乘以(1)的x項系數(shù)7，得14x+56y=63-(3

43、) 用(3)去減(1)，直到(3)之x項系數(shù)為0，得52y=41-(4) (1)乘以(4)的y項系數(shù)52后，再一直減去(4)，到y(tǒng)項系數(shù)為0止，得364x=490，再除以原x項之系數(shù)7(即(1) x項之系數(shù))，得52x=70-(5) 由(4)、(5)可知上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一。其實(shí)方程術(shù)相當(dāng)于利用系數(shù)列出一增廣矩陣后再做運(yùn)算，也就是將上述的過程寫成： 由于這只是二元的問題，并不能全盤看出方程術(shù)的法則，有興趣的讀者不妨看郭書春所著古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽書中第42頁，在那清楚的演示用方程術(shù)解第一問。   方程章在第二問已經(jīng)有了常數(shù)項的移項；第四問中不

44、但有常數(shù)項的移項，還有未知數(shù)項的移項；而第六問中更出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的情形，熟知負(fù)數(shù)發(fā)展歷史的讀者必定會明了此為一重大之突破；到了第十問更是出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)的情形，而其解法與我們現(xiàn)今相同，將其化成整系數(shù)方程式后再求解。     方程術(shù)是九章算術(shù)最高的數(shù)學(xué)成就(注三)，劉徽亦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了方程新術(shù)，使中國數(shù)學(xué)成為這一領(lǐng)域中的佼佼者。   九章算術(shù)在第七章盈不足中雖然不是用方程式的方式來解，但許多問題亦可劃歸于二元一次方程式的范疇，若能適當(dāng)?shù)囊胝n堂之中，必能啟發(fā)學(xué)生更多的興趣與共鳴。     典型的盈不足問題是共買物問題：各人所出A，盈

45、a；所出B，不足b，求人數(shù)、物價(注四)。九章算術(shù)給出了一般公式： 每人應(yīng)出的錢=(Ab+aB)/(a+b) 物價=(Ab+aB)/(A-B) 人數(shù)=(a+b)/(A-B)九章算術(shù)還給出了兩盈(或兩不足)的公式，并利用這兩組公式解決了大量的一般二元一次的算術(shù)問題(含分配問題、混合分配問題等等)，因?yàn)樵谶@類問題中，任意代入兩個數(shù)，必定是上述兩種情形之一。舉第十三問為例： 今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問醇酒、行酒各得幾何？ 答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。 術(shù)曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。 解法意思是若買醇酒五

46、升，行酒一斗五升，則(較三十錢)盈十錢；若買醇酒二升，行酒一斗八升，則(較三十錢)不足二錢。所以就可以利用先前的公式得： 醇酒升數(shù)(5*2+10*2)/(10+2)=2.5升 行酒升數(shù)(15*2+10?18)/(10+2)           17.5升 從中可以看出，中國古人是先把一些實(shí)例歸類，得出相應(yīng)公式，后人只要代入求值即可。這讓我們想到所謂的“秘籍”。優(yōu)點(diǎn)是簡單易操作，只要背出各種類型，套進(jìn)去即可；缺點(diǎn)它只是幫助人們應(yīng)用解決生活問題，而不是為了傳播知識本身。同樣作為古代的教科書，與古希臘的歐幾里德

47、幾何原本相比較，我們會發(fā)現(xiàn)其差異是非常大的。巴比倫     巴比倫人在解決二元及三元問題時有兩種方法(注五)，第一種很類似于我們現(xiàn)在的代入消元法；第二種今日稱為丟番圖法(Diophantine)，但這并不是丟番圖(Diophantus,約A.D.250)所創(chuàng)，而是他學(xué)習(xí)了巴比倫人的方法，這種方法特別適合于解決有一個方程式為x+y=s(s為已知)，此時令x=s/2+w，y=s/2-w，代入另一個方程式中便可解出w，如便可以求得x與y了。下面舉的例子是出自于漢摩拉比王朝時代(B.C.17921750)的一塊泥板上，雖然是二元二次的題目，但可以看出此方法的運(yùn)用： 有一長

48、方形，將其面積加上長，減去寬得183；長、寬之和為27，求長、寬及面積。 解： 假設(shè)長為x，寬為y，依題意列式， 令y'=y+2，則y=y'-2代入，可得到新的二元一次方程組：把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)其解為：即 ，所以.在泥板上并未出現(xiàn)類似未知數(shù)列式的符號算式，只有敘述計算的過程，而且是六十進(jìn)制制的，有興趣的讀者可參看梁宗巨著的數(shù)學(xué)歷史典故。讀者不難發(fā)現(xiàn)，丟番圖法運(yùn)用時需要較高的技巧，也就是要先把其中一個方程式化成x+y=s的形式才可，不過不論是丟番圖法或是第一種方法，在推廣到多元一次聯(lián)立方程式的問題時就顯得十分繁雜，不

49、如九章算術(shù)方程術(shù)來的簡便，但巴比倫人的方法在解決非線性的問題時便可以看出其優(yōu)越性，由此可以反映出巴比倫人的泥板上有許多的非線性問題，而九章算術(shù)幾乎沒有非線性問題的情形。 古印度    古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就，在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位。 印度人在二元一次方程式方面的成就當(dāng)首推阿揚(yáng)巴哈一世(Aryabhata I,A.D.476?)，他在所寫的Aryabhatiya中不但清楚的描述出當(dāng)時印度數(shù)學(xué)的現(xiàn)況，更給了印度數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展的動力(注六)，關(guān)于二元一次方程式方面的成就也記載于此書中。阿揚(yáng)巴哈一世他首先給出不定方程式ax+by=c的所有整數(shù)解，其方法經(jīng)傳人改進(jìn)后

50、十分類似于現(xiàn)今的方法(注七)，概說如下： 不妨只考慮a，b互質(zhì)的情形，則存在兩整數(shù)p、q使得 ap+bq=1 ax+by=c(ap+bq) (x-cp)/b=(cq-y)/a，令之等于t，t為整數(shù) x= cp+bt，y=cq-at丟番圖也曾經(jīng)討論過二元一次不定方程式的情形，不過他都只給出一組正的有理數(shù)解。至于在中國，清朝李銳的求強(qiáng)弱術(shù)雖只用以求49x+17y=A的所有整數(shù)解，但其算則(algorithm)具有一般性，也就是說可以推廣到求ax+by=c的所有整數(shù)解(注八)。13.中國的半符號代數(shù)-天元術(shù)和四元術(shù)中國的古典數(shù)學(xué)，特別是代數(shù)學(xué)，曾經(jīng)有學(xué)多輝煌的成就，其中“天元術(shù)”“和“四元術(shù)”代表了

51、13世紀(jì)-14世紀(jì)的世界數(shù)學(xué)的最高水平。所謂“天元術(shù)”，就是設(shè)未知數(shù)為“天”，然后列出方程，解方程題，“四元術(shù)”就是設(shè)多個（最多4個）未知數(shù)為“天”、“地”、“人”、“物”，列出多元高次方程組-這實(shí)際上是一部半符號代數(shù)?！疤煸g(shù)”的創(chuàng)造者是金、元時期的數(shù)學(xué)家李冶。他原在金朝做小官，元滅金后，隱居灣山，潛心研究學(xué)問，于1248年著成測園海鏡12卷，以解直角三角形容圓內(nèi)切圓問題為典型問題，論述“天元術(shù)”。他設(shè)未知數(shù)為“天”元，以常數(shù)項為“太”（太極），列出方程。如，方程，他將等號左邊的多項式表示成“天元式”：以后，他又把常數(shù)項放到最上層，按升冪將系數(shù)依次往下排。兩個多項式相加，將對應(yīng)的天元式同層相

52、加，元加元，太加太，等等。元乘天元式，“元”字移下一層。這些天元式的運(yùn)算法則，與現(xiàn)在的多項式運(yùn)算是一致的。列出多項式以后，用“增乘開方法”來求它的數(shù)值解。元代數(shù)學(xué)家朱世杰把“天元術(shù)“發(fā)揚(yáng)光大，推廣到“四元術(shù)”，對于一個多元式，用籌式怎么排法呢？他巧妙地將常數(shù)項“太”放在中間，四方分別排列四元的系數(shù)。如圖例如，方程式x3+x3y+2x2y+4xyxy22y2+3xz8u=0，可用如圖的等式來表示。一個等式相當(dāng)于現(xiàn)今的一個方程式，二元方程組列出兩個等式，三元方程組列出三個等式，四元方程組則列出四個等式。這是一種多元高次方程的分離系數(shù)表示法，對于立方程的步驟和逐步消元，演算過程都十分便利。他還規(guī)定了

53、一套四元式運(yùn)算法則和解法，使中國古典數(shù)學(xué)發(fā)展到頂峰，朱世杰也被史學(xué)家薩頓譽(yù)為中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家。當(dāng)時的歐洲正處于黑暗的中世紀(jì)，一個德國高人請教一個大學(xué)教授：他想把兒子送去學(xué)習(xí)記帳的數(shù)學(xué)知識，該到哪兒去學(xué)呢？這位大學(xué)教授回答說：你的兒子如果只想學(xué)習(xí)加法和減法的話，那么到國內(nèi)的大學(xué)學(xué)習(xí)就行了；如果要想學(xué)習(xí)乘法和除法，那么必須到意大利去留學(xué)，可見當(dāng)時的歐洲數(shù)學(xué)是多么的落后了，而這時的中國數(shù)學(xué)卻象一座燈塔，放射出萬丈光芒。14.函數(shù)小史數(shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用有些重要的數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生起著奠定性的作用我們學(xué)過的函數(shù)就是這樣的重要概念在笛卡爾引入變量

54、以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域縱覽宇宙，運(yùn)算天體，探索熱的傳導(dǎo)，揭示電磁秘密，這些都和函數(shù)概念息息相關(guān)正是在這些實(shí)踐過程中，人們對函數(shù)的概念不斷深化回顧一下函數(shù)概念的發(fā)展史，對于剛接觸到函數(shù)的初中同學(xué)來說，雖然不可能有較深的理解，但無疑對加深理解課堂知識、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣將是有益的最早提出函數(shù)（function）概念的，是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如都叫函數(shù)以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系。1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士

55、數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為：“由某個變量及任意的一個常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量”意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)貝努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示后來數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式來表達(dá)上只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關(guān)系是否要用公式來表示，就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”在歐拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了由于函數(shù)不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù)他認(rèn)為：“函數(shù)

56、是隨意畫出的一條曲線”當(dāng)時有些數(shù)學(xué)家對于不用公式來表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其它變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其它各變數(shù)叫做函數(shù)”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)

57、值的方法函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的”這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個關(guān)系，可以來求出每一個x的對應(yīng)值1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其它形式這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便因此，這個定義曾被比較長期的使用著自從德國數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本里用的了中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯代數(shù)學(xué)（1895