購(gòu)房中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、2016年第十三屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其它公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。我們授權(quán)五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽賽組委會(huì),可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)

2、籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)為（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：A我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為：3045參賽組別（研究生或本科或?qū)？疲喊鶎賹W(xué)校（清填寫(xiě)完整的全名）：電子科技大學(xué)成都學(xué)院參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.余勝2 .趙陶3 .鄭科民口期：2016年4月30I獲獎(jiǎng)證書(shū)郵寄地址：四川省成都市高新西X門(mén)葉路一號(hào)電子科技大學(xué)成都學(xué)院郵政編碼:611731收件人姓名：金勝聯(lián)系電話：151814632462016年第十三屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽編號(hào)專用頁(yè)競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄評(píng)閱人評(píng)分備注板剪線戰(zhàn)剪我戰(zhàn)剪我競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）

3、：參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：（請(qǐng)各參賽隊(duì)提前填寫(xiě)好）：3045購(gòu)房中的數(shù)學(xué)問(wèn)題摘要本文建立了口照時(shí)間模型與層次分析模型，為購(gòu)房者選購(gòu)房屋提供決策支持。以位于東經(jīng)117.17,北緯34.18的A小區(qū)為數(shù)據(jù)來(lái)源基礎(chǔ)，根據(jù)地球運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算口照時(shí)間，結(jié)合中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計(jì)規(guī)范在僅考慮日照時(shí)間的條件下為購(gòu)房者提供最優(yōu)方案。使用運(yùn)籌學(xué)中的層次分析法將購(gòu)房者的需求予以量化,主觀與客觀相結(jié)合，準(zhǔn)確、科學(xué)地處理這一類決策問(wèn)題，為購(gòu)房者合理購(gòu)房提供有益的參考。模型I：建立了日照時(shí)間模型，利用附錄1中的的數(shù)據(jù)，結(jié)合網(wǎng)上查找資料補(bǔ)充相關(guān)地理知識(shí)背景，據(jù)此建立相關(guān)日照時(shí)間分析模型。對(duì)于問(wèn)題1在冬至口時(shí)太

4、陽(yáng)直射南回歸線，由附件1可知具體樓層相關(guān)數(shù)據(jù)，求解得出解A小區(qū)14-2-802房間（客廳）在冬至口9:00-16:00間僅考慮太陽(yáng)直射的情況下可以享受日照的時(shí)間區(qū)間為0。對(duì)于問(wèn)題2在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上建立累計(jì)H照時(shí)數(shù)求和模型求解出A小區(qū)14-2-802房間（客廳）一年365天累計(jì)口照時(shí)間為11299小時(shí)，有74天超過(guò)6小時(shí)，當(dāng)年口期為5月18日至IJ7月30Ho對(duì)于問(wèn)題3在僅考慮采光影響的條件下，對(duì)各個(gè)樓棟房間冬至HFI照時(shí)間，按照中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計(jì)規(guī)范將房間劃為優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí)，從優(yōu)等級(jí)房屋中再剔除售出房屋后為購(gòu)房者C提供最優(yōu)選方案。模型H：建立了多層次分析模型，以最

5、佳房屋為目標(biāo)層，將價(jià)格、交通、環(huán)境、噪音和環(huán)境作為準(zhǔn)則層，將A小區(qū)分為四個(gè)區(qū)作為最終方案層。利用判斷矩陣確定某層各因素的影響在總影響中所占的比重，進(jìn)而確定最終方案。對(duì)于問(wèn)題4在綜合考慮價(jià)格、交通、環(huán)境、噪音和環(huán)境因素影響下，我們給出的最佳房屋位于南區(qū)即2#、3#、4#、5#0具體方案見(jiàn)表（11）。模型山：建立了排隊(duì)論模型，考慮從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等對(duì)停車位分布的影響。對(duì)于問(wèn)題5運(yùn)用排隊(duì)論模型對(duì)原方案進(jìn)行檢驗(yàn)，說(shuō)明了原方案不合理，并對(duì)7#樓重新設(shè)計(jì)合理的汽車車位分布方案，具體方案見(jiàn)附錄8。針對(duì)論文的實(shí)際情況，對(duì)論文的優(yōu)缺點(diǎn)做了評(píng)價(jià)，文章最后還給出了其他的改進(jìn)方向，以用

6、于指導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：居室I照；臨界點(diǎn)；層次分析法；最優(yōu)化模型；排隊(duì)論模型1 .問(wèn)題的重述1.1 問(wèn)題背景隨著現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，房地產(chǎn)成為國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展中一重要的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)之一。為了充分利用樓房建設(shè)的土地面積，開(kāi)發(fā)商經(jīng)常會(huì)選擇建筑高層住宅。在購(gòu)買(mǎi)住房時(shí).，影響消費(fèi)者選擇購(gòu)房的因素較多，其中主要有：地理位置、周邊環(huán)境、交通便利性、住房戶型、住房?jī)r(jià)格、采光、噪音污染、空氣污染等。1.2 相關(guān)數(shù)據(jù)位置：在東經(jīng)117.17。，北緯34.18地理位置A處有高層建筑小區(qū)。附錄1：小區(qū)規(guī)劃圖；附錄2：A1+A2單元住宅標(biāo)準(zhǔn)層技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)及房屋平面圖：附錄3：已經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)：附錄4：7#樓停車位分布

7、圖。1.3 要解決的問(wèn)題問(wèn)題1：求解A小區(qū)14-2-802房間（客廳）在冬至日9:00-16:00間可以享受H照的時(shí)間區(qū)間（具體樓高和樓間距等相關(guān)參數(shù)見(jiàn)附錄1和2）。問(wèn)題2：在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，以A小區(qū)14-2-802房間（客廳）為例，描述全年365天每一天可以享受照的累計(jì)時(shí)間，并給出14-2-802房間（客廳）全年享受日照時(shí)間超過(guò)6小時(shí)的天數(shù)和日期。問(wèn)題3：假設(shè)在消費(fèi)者C購(gòu)房之前已經(jīng)有一部分房間售出（數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄3）,在僅考慮采光影響的條件下，給出消費(fèi)者C的最優(yōu)選房方案。問(wèn)題4：在問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，建立選房模型，要求考慮價(jià)格、交通、環(huán)境和噪音的影響，給出此時(shí)消費(fèi)者C最優(yōu)選房方案。相關(guān)信

8、息如下：該小區(qū)售房?jī)r(jià)格方案：1-8層為基價(jià)，然后逐層增加層價(jià)，最頂層單價(jià)為次頂層的85%；1-14#樓除10、11、12號(hào)樓三處河景房的基價(jià)為4450元/m2,其他樓的基價(jià)為4250元/5,所有樓的層價(jià)均為10元/層。小區(qū)北側(cè)有一條美麗的河流，河流北岸已經(jīng)計(jì)劃開(kāi)發(fā)高架橋，高架橋北300m處為規(guī)劃地鐵口；小區(qū)東側(cè)為鄉(xiāng)村公路和國(guó)有鐵路；西側(cè)為國(guó)道；南側(cè)為街道，且距離小區(qū)南側(cè)500nl有發(fā)電廠煙囪。問(wèn)題5：汽車停軍位分布對(duì)于住戶出行非常重要，建立數(shù)學(xué)模型并說(shuō)明附錄4中7#樓汽車車位分布是否合理？考慮從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響，建立數(shù)學(xué)模型，針對(duì)。樓重新設(shè)計(jì)合理的汽車車位分

9、布方案。附錄4中每車位的方格中第一行是車位號(hào)，第二行是對(duì)應(yīng)的房間號(hào)。2 .模型假設(shè)1）假設(shè)不考慮降雨、下雪等影響日照的天氣，2）假設(shè)陽(yáng)光只從遮陽(yáng)樓樓頂上方照入，不計(jì)算陽(yáng)光從遮陽(yáng)樓左右側(cè)面照入。3）假設(shè)在消費(fèi)者C購(gòu)房之前已經(jīng)有一部分房間售出，在僅考慮采光影響的條件下給出方案。3 .變量說(shuō)明符號(hào)符號(hào)說(shuō)明0hPEdcoD,太陽(yáng)方位角太陽(yáng)高度角題設(shè)緯度34.18赤緯角時(shí)角光照天數(shù)4 .模型的準(zhǔn)備對(duì)于問(wèn)題一，二，三，分析題目要求都需要求解單日日照時(shí)間，所以我們根據(jù)地面氣象觀測(cè)規(guī)范引入如下概念與方法。對(duì)相關(guān)名詞進(jìn)行解釋。太陽(yáng)赤緯角：地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱黃道面，而地球的自轉(zhuǎn)軸稱極軸。極軸與黃道面不是垂

10、直相交，而是呈66.5角，并且這個(gè)角度在公轉(zhuǎn)中始終維持不變。正是由于這一原因形成了每“中午時(shí)刻太陽(yáng)高度的不同，以及隨之而來(lái)的四季的變遷。太陽(yáng)高度的變化可以從圖1中形象地看到。圖中日地中心的連線與赤道面間的夾角每天（實(shí)際上是每一瞬間）均處在變化之中,這個(gè)角度稱為太陽(yáng)赤緯角。它在春分和秋分時(shí)刻等于零，而在夏至和冬至?xí)r刻有極值，分別為正負(fù)23.45。平太陽(yáng)時(shí)：真正的太陽(yáng)在黃道上的運(yùn)動(dòng)不是勻速的,而是時(shí)快時(shí)慢，因此，真太陽(yáng)口的長(zhǎng)短也就各不相同。但人們的實(shí)際生活需要一種均勻不變的時(shí)間單位，這就需要尋找一個(gè)假想的太陽(yáng),它以均勻的速度在運(yùn)行。這個(gè)假想的太陽(yáng)就稱為平太陽(yáng)，其周H的持續(xù)時(shí)間稱平太陽(yáng)II,由此而來(lái)

11、的小時(shí)稱為平太陽(yáng)時(shí)。時(shí)角：時(shí)角屬于時(shí)角坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中，天赤道為基本圈，北天極為基本點(diǎn)，天赤道和子午圈在南點(diǎn)附近的交點(diǎn)Q為原點(diǎn)。過(guò)北天極和任意天體X作一大圓叫時(shí)圈。時(shí)圈與天赤道交于T,自原點(diǎn)Q順時(shí)針計(jì)量到T,弧QT就叫時(shí)角，它可以用角度單位，也可以用時(shí)、分、秒來(lái)表示參見(jiàn)圖（3）o圖5 .模型的建立與求解5.1 問(wèn)題1的模型建立與求解5.1.1 問(wèn)題1的模型建立由題設(shè)可知求位于東經(jīng)117.17-,北緯34.ISA小區(qū)14-2-802房間(客廳)在冬至口9:00-16:00期間的日照時(shí)間。日照分析計(jì)算中的基本原理是計(jì)算太陽(yáng)的位置即太陽(yáng)的高度角和方位角。由附件1可得如下示意圖，建立日照時(shí)間模型。

12、圖414棟居室照計(jì)算示意圖計(jì)算太陽(yáng)方位角COS(1%)COS(0)由此可得ADtAD，為AD的地面垂直投影AD=dcos。房間所在樓層到地面距離FD，為FD=HADtan(4)計(jì)算太陽(yáng)高度角(1.1)(12)(1.3)sin(l)=sinE-sin()-cos(69)(1-4)解出太陽(yáng)高度角的到一天中口照時(shí)間1=膽(1.5)155.1.2 問(wèn)題1的模型求解根據(jù)模型，帶入數(shù)據(jù)。H=98.6(m),冬至口太陽(yáng)直射緯度為2227當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)為東經(jīng)117.17,北緯34.18%運(yùn)用MATLAB求解得出太陽(yáng)高度角得值(附錄9),不符合定義，所以在冬至日時(shí)刻模型無(wú)解。查的資料，常見(jiàn)的居民小區(qū),在遮擋建筑物

13、東西方向比較長(zhǎng)的情況下，若樓間距不夠?qū)?勢(shì)必造成被遮擋建筑物中部低層居室采光不足,有的冬至日照不到1小時(shí)甚至無(wú)口照。而題圖所示遮擋建筑物高度為98.6m,樓間距為74.78m,這樣的樓間距系數(shù)遠(yuǎn)低于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，勢(shì)必使處于低層冬至日日照時(shí)間低于1小時(shí)，甚至無(wú)日照。所以在東經(jīng)117.17,北緯34.18A小區(qū)14-2-802房間(客廳)在冬至日9:00-16:00期間的日照時(shí)間為0。5.2問(wèn)題二模型建立與求解5.2.1問(wèn)題二模型建立要求解出A小區(qū)14-2-802房間（客廳）一年中的F1照累計(jì)時(shí)間，必然計(jì)算每天日照時(shí)間平均每“光照增加時(shí)間。由問(wèn)題1已經(jīng)建立了單H光照時(shí)間模型，通過(guò)計(jì)算日照時(shí)間臨界值，及

14、單口日照為零的日期。由口照時(shí)間臨界點(diǎn)計(jì)算到夏至口的口照時(shí)間累計(jì)增量，又太陽(yáng)直射點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是有規(guī)律可循的，因此可計(jì)算出年口照時(shí)間。分別求出單日光照時(shí)間六小時(shí)和零小時(shí)的赤緯角EdiEd?同時(shí)可求得夏至日時(shí)太陽(yáng)時(shí)角3cos(69)cos()F(H-FDJsin()-dcos)1tsnEdH-FDr-(H-FDr)siir(3)+dsiii()cos()冬至日為起點(diǎn)，計(jì)算一年中單日日照時(shí)間：.4xEdAEd=365從冬至Fl起單日光照時(shí)間為零小時(shí)的天數(shù)：Ed(-Ed)Ed夏至日光照時(shí)間得出:15-平均每口光照增加時(shí)間:T=Dg年光照總時(shí)間:133一年中單口光照時(shí)間超過(guò)六小時(shí)的天數(shù)：，Ed-Ed.Di=

15、2AEd(2.(1)(2.(2)(2.(3)(2.(4)(2.(5)(2.(6)(2.(7)5.2.2問(wèn)題二模型求解冬至口太陽(yáng)直射南回歸線（23.45S）,所以太陽(yáng)赤緯角Ed=-23.45，以冬至日為起點(diǎn)隨著太陽(yáng)直射點(diǎn)的移動(dòng)，在某個(gè)時(shí)口照時(shí)間由零變?yōu)榇笥诹愕臄?shù)，該時(shí)刻及為口照時(shí)間臨界點(diǎn)。在這一時(shí)刻3為零，將己知數(shù)據(jù)帶入（2.1）運(yùn)用MATLAB求解得此刻：Ed=-1058將此刻赤緯角代入（2.3）得從冬至日起單日光照時(shí)間為零小時(shí)50天，12月22II到2月10,所以光照時(shí)數(shù)大于零的天數(shù)為265。由太陽(yáng)的規(guī)律運(yùn)動(dòng)可得出平均每口光照增加時(shí)間。所以在東經(jīng)117.17,北緯34.18A小區(qū)14-2-8

16、02房間（客廳）一年中的口照累計(jì)時(shí)間為k=1129.9求解全年享受n照時(shí)間超過(guò)6小時(shí)的天數(shù)和口期，及3=6時(shí)，解出：Ed=14.33此刻為太陽(yáng)直射緯度為14.33N,由太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得此刻日期5月18日，乂因?yàn)榇司暥染€在南北回歸線之間，所以可得出下一次直射此緯度線的H期為7月30Ho將Ed代入（2.7）求解得出全年享受日照時(shí)間超過(guò)6小時(shí)的天數(shù)為D=74綜上A小區(qū)14-2-802房間（客廳），全年365天每一天可以享受日照的累計(jì)時(shí)間為1129.9小時(shí)，14-2-802房間（客廳）全年享受日照時(shí)間超過(guò)6小時(shí)的天數(shù)為74天，日期為5月18口到7月30口。見(jiàn)附錄5.3問(wèn)題三模型求解與求解由已建立模型

17、可得房間冬至日日照時(shí)長(zhǎng)模型為(3.1)Ha=H-FDCOSft;=H.sinEdH&,sin(-dcos(cosEd-cos(0sillEdsill(q)(3.2)根據(jù)中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計(jì)規(guī)范大城市住宅II照標(biāo)準(zhǔn)為大寒口大于等于2小時(shí)，冬至口大于等于1小時(shí)，老年人居住建筑不應(yīng)低于冬至口口照2小時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)；在原設(shè)計(jì)建筑外增加任何設(shè)施不應(yīng)使相鄰住宅原有n照標(biāo)準(zhǔn)降低；舊區(qū)改造的項(xiàng)目?jī)?nèi)新建住宅II照標(biāo)準(zhǔn)可酌情降低，但不應(yīng)低于大寒HH照1小時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)。所以我們根據(jù)冬至日日照時(shí)長(zhǎng)，將房屋劃分為等級(jí)優(yōu)等良等中等劣等時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）295-91-5W1將已知數(shù)據(jù)代入模型，運(yùn)用MATLAB求解得出各

18、個(gè)房屋冬至F1長(zhǎng)，整理數(shù)據(jù)，將房屋冬至日時(shí)長(zhǎng)劃分等級(jí)，得到表（2）詳見(jiàn)附錄50由表（1）己經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)詳見(jiàn)附錄3可得到表（3）優(yōu)等房間與已售出房間對(duì)比表詳見(jiàn)附錄6由此在僅考慮采光影響的條件下，剔除已售出房間給出消費(fèi)者C的最優(yōu)選房方案為如下表示意：表4選房方案樓號(hào)單元戶數(shù)剔除層數(shù)優(yōu)層11011-340231-342013,9,251-340216,251-3421011-34021-342011.141-34028,9,17,221-34310113,221-34027,81-342011.81-3402121-344101174-34024,26,274-342014-34025,281-

19、3451011-3002101-302011-300225,264-30610116.201-34021-342011-34026,13,14,151-3410132-340232-3420132-340232-34810132-340232-3420132-340232-34910119,251-340227-3420127-340227-341010128-340230-3420130-340230-341110161-3402o1-3420128-34022828-341210112,19,20,22,261-340291-3420128-340228-341310111-340232-

20、3420132-340232-341410131-340231-3420131-340231-341710129-340229-3420129-340229-341810128-340228-3420128-340228-34綜上表可得在僅考慮光照的條件下有多種方案可供消費(fèi)者C選擇。見(jiàn)附錄（9）5.4問(wèn)題4模型的建立與求解5.4.1問(wèn)題4層次分析模型的建立本問(wèn)題在光照、價(jià)格、交通、環(huán)境和噪音的影響，給出此時(shí)消費(fèi)者C最優(yōu)選房方案。此問(wèn)題將用層次分析法來(lái)解決。層次分析法的基本思想是，如果一個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)由若干個(gè)因素決定，則這些因素在目標(biāo)中的比重（或稱為貢獻(xiàn)）是首先要確定的.根據(jù)這些比重對(duì)不同的因素加

21、以綜合,得到一個(gè)總的貢獻(xiàn)，總貢獻(xiàn)最大的方案就是最優(yōu)方案由題中條件知該小區(qū)售房?jī)r(jià)格方案:1-8層為基價(jià)，然后逐層增加層價(jià)，最頂層單價(jià)為次頂層的85%：1T4#樓除10、11、12號(hào)樓三處河景房的基價(jià)為4450元/m1其他樓的基價(jià)為4250元/m2,所有樓的層價(jià)均為10元/層。而小區(qū)北側(cè)有一條美麗的河流，河流北岸己經(jīng)計(jì)劃開(kāi)發(fā)高架橋，高架橋北300m處為規(guī)劃地鐵口；小區(qū)東側(cè)為鄉(xiāng)村公路和國(guó)有鐵路：西側(cè)為國(guó)道：南側(cè)為街道，旦距離小區(qū)南側(cè)500m有發(fā)電廠煙囪。對(duì)于此問(wèn)題，將小區(qū)分為東南西北4個(gè)小區(qū)來(lái)研究。東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)6#、7#、8#、14#、17#、18#2#、3#、4#、5#1#、9#10#、11#

22、、124、13ft上面的思維過(guò)程可以加工整理成以下幾個(gè)步驟：（1）將決策問(wèn)題分為三個(gè)層次：最上層為目標(biāo)層，即選擇購(gòu)房，最下層為方案層,有東區(qū)、南區(qū)、西區(qū)、北區(qū)四個(gè)供選擇，中間層為準(zhǔn)則層，有光照、價(jià)格、交通、環(huán)境、噪音五個(gè)準(zhǔn)則，各層元素間的聯(lián)系用相連的直線表示（2）通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。（3）將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。圖5最佳房屋的層次結(jié)構(gòu)模型圖(1)成對(duì)比較陣和全向量假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素G,C2Q對(duì)上層一個(gè)因素0的影響，購(gòu)房問(wèn)題中比較光照等五個(gè)準(zhǔn)則在選擇購(gòu)房這個(gè)目標(biāo)中的重要性。每次取兩個(gè)因素c

23、和C,以優(yōu)，表示a和C,對(duì)。的影響大小之比，全部比較結(jié)果可用成對(duì)比較矩陣表示。A=(aiJtn，aiJO,ag=-(4.1)1由公式(4.1)給出的弱的特點(diǎn)，A稱為正互反矩陣。顯然必有“k1。用G,G依次表示光照、價(jià)格、交通、環(huán)境、噪音5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，而需做對(duì)比的次數(shù)為2=學(xué).得到的成對(duì)比較矩陣為ailai281331431522122323a4a”_a51a52a53a54a55_該式中：配二表示光照q與價(jià)格a對(duì)于購(gòu)房這個(gè)目標(biāo)0的重要性之比為：a1s二表示光照q與交通a之比為：生式表示價(jià)格a與交通a之比為。為了使所考慮的因素一致化，設(shè)想把一塊單位質(zhì)量的大石頭。砸成n塊小石頭a,Q,如果精確稱出它們

24、的重量為她，,以，在作成對(duì)比較時(shí)令skiM/wj,Ct(fCf嗎叫”Jr.-r.A二%4給出比較尺度為:尺度”，含義1以與C,的影響相同3C與C,的影響稍強(qiáng)5C,與的影響強(qiáng)一a與&的影響明顯的強(qiáng)9a與&的影響絕對(duì)的強(qiáng)2,4,6,8&與a的影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間1,1/2,1/9&與a的影響之比為上面皿的互反數(shù)(43)假設(shè)某層有n個(gè)因素，采用19尺度進(jìn)行兩兩因素比較后，得到判斷矩陣A=(%)樹(shù)，求出其最大特征值4-對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量3,即A=且=1,3=(%)(44)為了最后決策的客觀與科學(xué)，我們要求判斷矩陣A滿足一致性的條件，同時(shí)允許一定程度的不一致，為此定義一致性指標(biāo)ci=L_;1

25、和一致性比率cr=L,其中RI是n-1RIn階判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)當(dāng)CR0.1,認(rèn)為判斷矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)，于是選取上述歸一化特征向量T69二(囚,秋,4)作為n個(gè)因素的權(quán)重向5.4.1問(wèn)題4層次分析模型的求解下面以列表的形式給出購(gòu)房問(wèn)題層次模型中的各判斷矩陣及計(jì)算出的權(quán)重向量表(5)購(gòu)房光照價(jià)格噪音交通環(huán)境權(quán)向量a光照121/51/21/70.0770價(jià)格1/211/21/31/50.0752噪音521510.3575交通231/511/20.1408環(huán)境51210.3496L購(gòu)房(見(jiàn)表5)判斷矩陣一致性比率為:。0992表光照東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量E東區(qū)11/71/51/30.0570

26、南區(qū)r1250.5232西區(qū)51/2130.2976北區(qū)31/51/310.12222.光照（見(jiàn)表6）判斷矩陣一致性比率為:0.0254表價(jià)格東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量卜東區(qū)141/260.3740南區(qū)1/411/230.1529西區(qū)22140.4068北區(qū)1/61/31/410.06633.價(jià)格（見(jiàn)表5）判斷矩陣一致性比率為90899表(8)噪音東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量h東區(qū)11/71/51/70.0489南區(qū)一1210.3731西區(qū)51/211/20.2048北區(qū)一1210.373114.噪音（見(jiàn)表5）判斷矩陣一致性比率為:0.0059表（9）交通東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量bi東區(qū)11/711/20

27、.0809南區(qū)18一0.7041西區(qū)11/811/20.0778北區(qū)21/7210.13705.交通（見(jiàn)表5）判斷矩陣一致性比率為:0.0189表（10）環(huán)境東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量b東區(qū)111/51/70.0712南區(qū)111/31/70.0850西區(qū)53120.4387北區(qū)7一i1/210.40516.環(huán)境（見(jiàn)表5）判斷矩陣一致性比率為:0.C887以上計(jì)算結(jié)果均通過(guò)一致性檢驗(yàn)，于是可進(jìn)行層次總排序。記上述各權(quán)重向量為4=(%，%，%，%),(4.5)j=L,5則四個(gè)備選方案對(duì)于總目標(biāo)的權(quán)重計(jì)免公式為：里=Za)bg,(i=L2,3,4)(4.6)利用此公式計(jì)算得到各被選方案的權(quán)重依次為：東區(qū)

28、,南區(qū)，西區(qū)，北區(qū)二0.0863,0.3140,0.2910,0.3087)此外，通過(guò)計(jì)算知該層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)，我們可據(jù)此作出最后決策。綜上所得各方案的權(quán)重可知，買(mǎi)房所選區(qū)域的排序?yàn)椋耗蠀^(qū))北區(qū)西區(qū)東區(qū)在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上取2#、3#、4#、5#得到消費(fèi)者C選擇房屋最優(yōu)方案為如下表格所示：表(11)樓棟單元樓層戶數(shù)211-34011-340222-13,15-34011-7,10-21,23-3402311-12,14-21,23-34011-6,9-340222-7,9-34011-11,13-3402411-16,18-34011-3,5-25,28-340224-340114,6-2

29、7,29-3402511,3-30011-9,11-300221-30011-3,5-24,27-3002程序見(jiàn)附錄(9)5.5問(wèn)題5模型的建立與求解5.5.1問(wèn)題5模型的建立停車問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于交通問(wèn)題，它是小區(qū)環(huán)境建設(shè)的一個(gè)子環(huán)節(jié)，從國(guó)內(nèi)外停車規(guī)劃理論發(fā)展演變過(guò)程中可以得到這樣一個(gè)認(rèn)識(shí):停車規(guī)劃的目標(biāo)是為了促進(jìn)居住環(huán)境的建設(shè),隨著小汽車數(shù)量上的增長(zhǎng),在為居住小區(qū)增加必要停車位的同時(shí)，人文環(huán)境建設(shè)多一些重視將更具有現(xiàn)實(shí)意義.因而研究居住小區(qū)的停車問(wèn)題需要居住樓整體進(jìn)行考慮,得到小區(qū)停車問(wèn)題在諸問(wèn)題中明確的定位。對(duì)于居民從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響的問(wèn)題，建立排隊(duì)論模型

30、來(lái)解決。排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它是20世紀(jì)初由丹麥數(shù)學(xué)家ERLANG應(yīng)用數(shù)學(xué)方法在研究電話話務(wù)理論過(guò)程中而發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。它涉及的是建立一些數(shù)學(xué)模型，藉以對(duì)隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)預(yù)測(cè)其行為?，F(xiàn)實(shí)世界中排隊(duì)的現(xiàn)象比比皆是，如到商店購(gòu)貨、輪船進(jìn)港、病人就診、機(jī)器等待修理等等。排隊(duì)的內(nèi)容雖然不同，但有共同的特征。研究排隊(duì)問(wèn)題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行效率估計(jì)服務(wù)質(zhì)量確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理，設(shè)計(jì)改進(jìn)措施等。所以，必須確定用來(lái)判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是：（1）隊(duì)長(zhǎng)：指排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記為L(zhǎng)s：排隊(duì)長(zhǎng)，指

31、在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為L(zhǎng)q。系統(tǒng)中的顧客數(shù)二等待服務(wù)的顧客數(shù)+正被服務(wù)的顧客數(shù)，所以Lq（或Ls）越大，說(shuō)明服務(wù)效率越低。（2）逗留時(shí)間：指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中的停留時(shí)間，即顧客從進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)到服務(wù)完畢的整個(gè)時(shí)間。其期望值記為Ws。等待時(shí)間，指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中等待服務(wù)的時(shí)間，其期望值記為Wq。逗留時(shí)間二等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間（3）忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長(zhǎng)度。它關(guān)系到服務(wù)的匚作長(zhǎng)度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)匚作的時(shí)間長(zhǎng)度。它關(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度、忙期的長(zhǎng)度和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)的顧客數(shù),這些是衡量服務(wù)效率的指標(biāo)

32、。本題將居民的停車問(wèn)題由排隊(duì)論模型來(lái)解決，并設(shè)計(jì)出符合要求的居民車位分布方案。5.5.1問(wèn)題5的求解由附件3中押樓給出的居民車位分布圖用排隊(duì)論模型可以得出：在此車位分布中，低樓層居民離千位的距離遠(yuǎn)，而高樓層居民離車位的距離近。在上班高峰期人流時(shí)期,人們很容易在同一個(gè)時(shí)間段內(nèi)聚集很多車主在停車場(chǎng)，此時(shí)車輛得不到有效的疏通。在下班高峰期人流量時(shí)期，居民容易在樓道電梯處造成擁擠，從而引發(fā)安全事故。故題設(shè)給出的車位分布是不合理的。對(duì)此，在運(yùn)用排隊(duì)論和居民從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響的問(wèn)題的綜合上給出新的車位分布方案（見(jiàn)附錄8）。此問(wèn)題是在7#樓給出居民車位分布方案。第一行是車

33、位號(hào)，第二行是對(duì)應(yīng)的房間號(hào)，為了書(shū)寫(xiě)的方便性，在附錄8中將例如房間號(hào):712002寫(xiě)為l-2002o6 .模型的推廣與改進(jìn)方向1 .1模型的推廣模型I：I照時(shí)間模型。通過(guò)對(duì)太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的靈活運(yùn)用，在實(shí)際生活中具有很大的利用價(jià)值。在農(nóng)業(yè)上，可設(shè)立合理的播種收割時(shí)間，使得農(nóng)作物有更好的收成。模型H：層次分析模型。從房屋的最優(yōu)選擇中，可推廣到企業(yè)優(yōu)秀員工選拔等一系列評(píng)價(jià)選優(yōu)的問(wèn)題。對(duì)于數(shù)據(jù)量繁多且復(fù)雜的選擇評(píng)價(jià)中，如某暢銷產(chǎn)品區(qū)域市場(chǎng)細(xì)分調(diào)查中，可利用該模型建立完善評(píng)價(jià)體系，有利與正確決策的制定。6 .2模型的改進(jìn)模型I：Fl照時(shí)間模型。由于只考慮太陽(yáng)直射的情況所建立的日照時(shí)間模型，存在無(wú)法全面反映

34、實(shí)際日照時(shí)間的情況?？稍黾酉嚓P(guān)參數(shù)：太陽(yáng)入射角度，太陽(yáng)光照的折減系數(shù)等，來(lái)增加結(jié)果的可靠性。模型II:層次分析模型。在問(wèn)題四中，最優(yōu)選房方案的南區(qū)高層有空氣污染，而南區(qū)與北區(qū)的權(quán)重相差較小，是因?yàn)樵撃Ｐ偷闹饔^判斷性太強(qiáng)，因此將對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn)，建議購(gòu)房者不選擇南區(qū)樓房的高層房屋。7 .模型的優(yōu)缺點(diǎn)1 .優(yōu)點(diǎn)（1）對(duì)于模型I,利用春分，夏至，秋風(fēng)，冬至作為臨界點(diǎn)，分別來(lái)求得問(wèn)題一,二，三所需的答案，簡(jiǎn)化了問(wèn)題，便于計(jì)算求解，在實(shí)際中可操作性強(qiáng)。（2）對(duì)于模型II,將具有層次結(jié)構(gòu)的購(gòu)房問(wèn)題，采取逐層分解，變?yōu)槎鄠€(gè)單準(zhǔn)則評(píng)價(jià)問(wèn)題，在多個(gè)單準(zhǔn)則評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合，且具有較為完整的檢驗(yàn)體系。2 .缺點(diǎn)

35、（1）對(duì)于模型I,假設(shè)陽(yáng)光的照射方向?yàn)橹鄙浞较颍雎粤颂?yáng)在照射過(guò)程中，斜向照入房間對(duì)于房間所接受的光照時(shí)間的影響。（2）對(duì)于模型II,在計(jì)算過(guò)程中定量數(shù)據(jù)較少，定性成分居多，且定性數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的主觀判斷性，所算出的數(shù)據(jù)不易令人信服，而當(dāng)指標(biāo)過(guò)多時(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量大，所需要計(jì)算的權(quán)重難以確定。同時(shí)該模型在所求出的方案并不是十分理想的情況下，無(wú)法為決策提供新方案。9 .參考文獻(xiàn)吳安軍.居室日照時(shí)間的計(jì)算及應(yīng)用國(guó).氣象第象卷第12期,2004:72-732王炳忠.太陽(yáng)輻射計(jì)算講座第一講太陽(yáng)能中天文參數(shù)的計(jì)算J.太陽(yáng)能；1999（02）8-103王炳忠.太陽(yáng)輻射計(jì)算講座問(wèn)題解答J.太陽(yáng)能.2000（02）

36、;20-224陳俊.沈小欣.層次分析法在城市購(gòu)房決黃中的應(yīng)用及其軟件實(shí)現(xiàn)M.遼寧師專學(xué)報(bào)第14卷第4期2012;77-795韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版）M.北京：高等教育出版社，2009.10 .附錄附錄1圖附錄2平面圖1：100表1已經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)售出序號(hào)樓號(hào)單元號(hào)樓層房間售出序號(hào)樓號(hào)單元號(hào)樓層房間182130251142130221311015212901312250153729024142180254131702513260255412702682150256122250277120157|1211201852250258911402911213025912160210121

37、602606214021161160161132802121322001621022802138111016361602147230264912501157113026542101165120166811001171422102671422101181412026812119011982270269425022014221017010127012171270171611601226115027214280123317027322170224328017441260225121220175121260126112280276221401278210017782130228122220278121

38、9022982402791112023081170180222202313113018171402329221018251100233228028371120134113028491250235101130285321013692180186131240237414028792902386213028831802399119018981140140812401901422101412290291|1116014232120292101701431225029372280144612001944117014572701958190146312201964228024710290297522602

39、4812801981326024922101991311025014111011001212001房間標(biāo)號(hào)規(guī)則：每棟樓分2個(gè)單元，東側(cè)為1單元，西側(cè)為2單元；每個(gè)單元兩戶，東戶尾號(hào)01,西戶尾號(hào)為02：房間標(biāo)號(hào)為：樓號(hào)單元號(hào)樓層號(hào)戶號(hào)：例如1012002,表示的是10號(hào)樓，20層，1單元西戶。附錄47#136圖(3)7#棟地下車庫(kù)停車位分布表（2）房屋日照時(shí)間等級(jí)表樓號(hào)單元戶數(shù)優(yōu)層良層中層差層11011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)2011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)21011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)2011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)31011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)2011

40、-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)41014-341-3無(wú)無(wú)024-341-3無(wú)無(wú)2014-341-3無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)51011-301-301-301-30021-301-301-301-302011-301-301-301-30024-301-3無(wú)無(wú)61011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)2011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)110132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-2220132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-22810132-3424-3121-231-200232-3424-3121-231-2020

41、132-3424-3121-231-200232-3424-3121-231-2091011-34無(wú)無(wú)無(wú)0227-3415-2611-141-1020127-3415-2611-141-100227-3415-2611-141-101010128-3410-274-91-30230-3417-2913-161-1220130-3417-2913-161-120230-3417-2913-161-12111011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)20128-3420-274-91-30128-3420-274-91-3121011-34無(wú)無(wú)無(wú)021-34無(wú)無(wú)無(wú)20128-347-271-6無(wú)0228

42、-347-271-6無(wú)131011-34無(wú)無(wú)無(wú)0232-3425-3123-241-2220132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-221410131-3421-3018-201-170231-3421-3018-201-1720131-3421-3018-201-170231-3421-3018-201-171710129-3423-2821-221-200229-3423-2821-221-2020129-3423-2821-221-200229-3423-2821-221-201810128-3419-2716-181-150228-3419-271

43、6-181-1520128-3419-2716-181-150228-3419-2716-181-15附錄6表（3）優(yōu)等房間與已售出房間對(duì)比表表(3)樓號(hào)單元戶數(shù)優(yōu)層售出樓號(hào)11011-34021-3432011-348,9,25021-3416,2521011-34021-342011-341,14021-348,9,17,2231011-3413,22021-347,82011-341,8021-341241014-3417024-344,26,272014-341021-345,2851011-302021-30102011-30024-3025,2661011-3416,20021-3

44、42011-34021-346,13,14,15i10132-342,12,270232-344,1320132-347,280232-343,9810132-349,10,11,14,17,240232-3420132-34100232-344,13,15,2791011-3419,250227-3414,2520127-3418,210227-3491010128-340230-341320130-340230-349,28111011-346021-34220128-340228-3413,28121011-3412,19,20,22,26021-34920128-340228-3422

45、,25131011-3410232-341,7,2420132-34200232-346,81410131-34110231-34220131-34210231-34211710129-340229-3420129-340229-341810128-340228-3420128-340228-34附錄8附錄9程序問(wèn)題一：%a代表太陽(yáng)高度角的正弦值,hl代表樓的高度,h2代表8層樓陽(yáng)臺(tái)頂部到地面的直線距離symsxyzahlh2Hx=sind(-23.45);y=sind(34.18);z=cosd(34.18);hl=98.6;h2=98.6*8/34;H=hl-h2;a=(H*x)/(H*y

46、-74.78*z)問(wèn)題二：%a代表太陽(yáng)時(shí)角的余弦值,b代表赤緯的正切值,c代表太陽(yáng)時(shí)角的余弦值,Ed代表赤緯symsxyzabcEdx=sind(34.18);y=tand(23.45);z=cosd(34.18);a=cosd(0);b=a*z*(75.4*x-74.78*z)/(75.4-75.4*x*x+74.78*x*z);%太陽(yáng)時(shí)角為0時(shí)，赤緯的值Ed二atand(b)a=cosd(45);b=a*z*(75.4*x-74.78*z)/(75.4-75.4*x*x+74.78*x*z);%太陽(yáng)時(shí)角為45時(shí)，赤緯的值Ed二atand(b)c=y*(75.4-75.4*x*x+74.78*x