數(shù)學(xué)廣角──植樹問題

1、數(shù)學(xué)廣角植樹問題課標(biāo)解讀 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）    一、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“總目標(biāo)”中提出了“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法”“學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用一些知識加以解決”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（201

2、1年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出“通過應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。    二、課標(biāo)解讀教材中設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元教學(xué)內(nèi)容的目的不是教會學(xué)生機(jī)械的公式和抽象的模型，而是讓學(xué)生體驗(yàn)探索建立模型的過程和數(shù)學(xué)思想方法。在本冊的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律

3、，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。（一）在觀察、猜測、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中體會解決基本的思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系貫穿著兩條主線：數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識是一條明線，直接呈現(xiàn)在教材上；而數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，隱藏在知識的背后?！皵?shù)學(xué)廣角”中的“植樹問題”，承載了基本的數(shù)學(xué)思想方法“化繁為簡”“數(shù)形結(jié)合”“一一對應(yīng)”和“數(shù)學(xué)建?！钡?，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實(shí)際問題。1在困頓中感悟“化歸”的思想人們在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時(shí)，往往將需要解

4、決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。在教學(xué)例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生對“100米一共要栽多少棵樹”進(jìn)行驗(yàn)證，在畫圖時(shí)引發(fā)困惑，數(shù)字太大，不可能全部畫下來，或是太麻煩、太浪費(fèi)時(shí)間了。在學(xué)生有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，就此向?qū)W生滲透復(fù)雜問題簡單化的思想，讓學(xué)生選擇短距離（20米），用畫圖的方式得出結(jié)果。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、交流等活動(dòng)，既培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思想能力，學(xué)會了一些解決問題的方法，又逐步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和精神。2在探究中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的

5、實(shí)質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過形象化的方法轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)形結(jié)合思想。本冊的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”把從直觀圖形支持下得到的模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對題意的理解。教師可以組織學(xué)生在課堂上“模擬植樹”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵樹，畫“”就表示種了一棵樹。關(guān)于在20米長的路可以栽多少棵樹的問題，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫一畫。學(xué)生根據(jù)圖示，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再從個(gè)別的、簡單的幾個(gè)例子出發(fā)，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)中常用的推理方法。這個(gè)過程中，學(xué)生借助

6、數(shù)形結(jié)合將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)合起來，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了基礎(chǔ)，也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法真正得以滲透。因此，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化。3在抽象中明晰“一一對應(yīng)”思想本冊“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)，通常有兩種教學(xué)思路：一種思路是通過教材主題圖中得三組實(shí)例歸納出規(guī)律，利用畫圖、小棒或圓片的排列來驗(yàn)證規(guī)律，進(jìn)而結(jié)合生活實(shí)際應(yīng)用規(guī)律。這種教學(xué)邏輯性強(qiáng)，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學(xué)效果看，學(xué)生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問題，更不能用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)“間隔

7、排列”的現(xiàn)象。另一種思路是在深入鉆研教材的基礎(chǔ)上，真正把握“間隔排列”的實(shí)質(zhì)：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對應(yīng)。對應(yīng)，是間隔排列的本質(zhì)。課堂教學(xué)中，通過“感知對應(yīng)現(xiàn)象激活對應(yīng)思想建構(gòu)對應(yīng)思想升華對應(yīng)思想”層層深入的教學(xué)行為，抓住蘊(yùn)含在教材中得一一對應(yīng)思想，有效統(tǒng)領(lǐng)種種紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，使學(xué)生真正感知了一一間隔排列的特點(diǎn)，掃清了思維上的障礙，層層推進(jìn)認(rèn)識的完善和引申。4在運(yùn)用中體驗(yàn)“模型思想”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”?！皵?shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實(shí)原型簡化的本質(zhì)的描述。模型思想的教學(xué)，不是作為像

8、具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行專門教學(xué)，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境建立模型解決問題拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程中逐漸領(lǐng)悟的。在本冊“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)中，教材以“猜想試誤合作探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律（建立模型）深化規(guī)律（再次建模）解釋運(yùn)用”為主線，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)，為后面解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生在經(jīng)歷了實(shí)物操作、圖示表達(dá)、抽象概括等程序，逐層提升，拾級而上，一步一步地從生活向數(shù)學(xué)的內(nèi)核逼近。在數(shù)學(xué)抽象時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行推理研究，從“20米、30米、35米、100米”，讓學(xué)生聯(lián)想到“點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1

9、”，從而建立起“點(diǎn)線”間關(guān)系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實(shí)際問題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學(xué)，也正體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的要求。（二）在觀察、猜測、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)

10、習(xí)是在“學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流”等數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行的。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生認(rèn)識和實(shí)踐的基礎(chǔ)。1經(jīng)歷觀察、操作過程，積累體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)    在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證，進(jìn)行動(dòng)手操作（如擺、畫、做等），讓學(xué)生逐漸地意會、體驗(yàn)、感悟。為了讓學(xué)生“動(dòng)”起來，在“動(dòng)”的過程中體驗(yàn)知識的形成過程，教材不斷地提出問題，抓住數(shù)量關(guān)系做重點(diǎn)分析。放手讓學(xué)生想一想、畫一畫、說一說，既滿足了學(xué)生的表現(xiàn)欲望，又培養(yǎng)了學(xué)生自主探究的能力，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生。學(xué)生對植樹棵

11、數(shù)和段數(shù)的關(guān)系有了初步的感性認(rèn)識后，讓學(xué)生再任意畫一畫、種一種，更豐富了學(xué)生的感性材料，為學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律打下了基礎(chǔ)。在這個(gè)過程中，學(xué)生慢慢積累分析和解決問題的一些經(jīng)驗(yàn)，然后將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后面的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。而這些經(jīng)驗(yàn)是我們老師沒法“教”給學(xué)生的，必須由學(xué)生經(jīng)歷大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步獲得，也就是我們以前常說的“做中學(xué)”之后所留下的，有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接感受、體驗(yàn)和個(gè)人感悟。2經(jīng)歷探究、思考過程，積累方法性經(jīng)驗(yàn)這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動(dòng)。本冊的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”教材編者意圖是讓學(xué)生初步認(rèn)識“化繁為簡”的思想，并通過各種活動(dòng)，借助直觀圖理解“間隔數(shù)與棵數(shù)”之間的數(shù)量

12、關(guān)系。如“100米太長了，怎么辦？”“如果小路長度不是20米了，樹的棵數(shù)又發(fā)生了什么變化呢？”“25米、30呢？”“不畫了，你發(fā)現(xiàn)了什么？”不斷提出新的要求，產(chǎn)生新的矛盾，使學(xué)生的思維處于碰撞之中，掌握解決問題的有效方法。3經(jīng)歷概括、反思過程，積累“數(shù)學(xué)地思考”的經(jīng)驗(yàn)概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，就無法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無法形成；沒有概括，就無法實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)，學(xué)生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。教師教學(xué)時(shí)可以在課堂中讓學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維

13、方式去探究，去發(fā)現(xiàn)，再反饋結(jié)果，根據(jù)不同的結(jié)果進(jìn)行交流、討論。通過學(xué)生的觀察、思考、交流，在獲得直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上感受“一一對應(yīng)”的思想方法是教學(xué)活動(dòng)重中之重。經(jīng)過學(xué)生的探討之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型（棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系），接著再用抽象出來的模型解決一般性的問題，最后再遷移、變通。數(shù)學(xué)廣角植樹問題重難點(diǎn)突破 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）一、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，探尋規(guī)律突破建議：本單元是讓學(xué)生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能

14、力。教師教學(xué)時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。二、初步體會植樹問題的數(shù)學(xué)思想方法突破建議：“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。本單元并非讓學(xué)生記熟規(guī)律、熟練解決與植樹問題相類似的實(shí)際問題，而是把解決植樹問題作為滲透數(shù)學(xué)思想和方法的一個(gè)學(xué)習(xí)支點(diǎn)。在教學(xué)中教師不妨讓學(xué)生先猜測，再動(dòng)手操作、實(shí)踐驗(yàn)證。怎樣檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果是否正確？初步向?qū)W生滲透用比較簡單的例子來驗(yàn)證較為復(fù)雜的問題，即化繁為簡的思想。例1教學(xué)中，假設(shè)路長只有20米，要栽幾棵樹呢？提

15、示學(xué)生用畫線段圖或者示意圖的方式來輔助思考，從中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。這樣學(xué)生就很容易地發(fā)現(xiàn)直接用除法20÷5=4算出的結(jié)果和通過直觀圖看出的5棵樹有沖突，引發(fā)學(xué)生的思考。還要結(jié)合教材中“對嗎？檢驗(yàn)一下”“可以畫線段圖來驗(yàn)證”等線索，向?qū)W生滲透簡單的化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。三、應(yīng)用畫圖策略，有效地解決生活中的植樹問題突破建議：在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。因此，教師在教學(xué)中要重視畫線段圖的方法，并通過多媒體直觀演示輔助教學(xué)，突出“一一對應(yīng)”思想，把間隔點(diǎn)數(shù)和栽樹的棵數(shù)對應(yīng)起來。之后讓學(xué)生再

16、用“25 m”或者自己列舉的數(shù)據(jù)進(jìn)一步探究，教師可以出示統(tǒng)計(jì)表，學(xué)生將研究結(jié)果記錄下來，利用統(tǒng)計(jì)表發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的規(guī)律。四、用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決生活中的一些簡單實(shí)際問題突破建議：植樹問題的模型是現(xiàn)實(shí)世界中一類相近問題的拓展，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于生活。所以，在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為了讓學(xué)生理解這一建模的意義，在教學(xué)中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題中，以圖片、文字等形式讓學(xué)生了解生活中與植樹問題相似的現(xiàn)象，讓學(xué)生進(jìn)一步體會現(xiàn)實(shí)生活中的許多不同事件（如隊(duì)列問題、公交站問題、敲鐘問題等），這些問題都含有與植樹問題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)

17、建模的重要意義。從而引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決生活中的一些實(shí)際問題，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，充分感受到數(shù)學(xué)知識來源于生活，又回歸于生活。但是，也要注意不要對例題進(jìn)行過多的變式，提高問題的難度，造成教學(xué)要求過高。數(shù)學(xué)廣角植樹問題教材分析 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”包含三個(gè)例題，主要是滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些

18、簡單實(shí)際問題。解決植樹問題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都

19、不栽）。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。下面就教材

20、中安排的三個(gè)典型例題進(jìn)行分析。一、經(jīng)歷解決問題的過程教材第106頁例1通過學(xué)生熟悉的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程。教材用幾個(gè)小朋友的對話和圖片來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的過程。首先由一個(gè)男孩說出學(xué)生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個(gè)女孩問：“對嗎？檢驗(yàn)一下”，來引發(fā)學(xué)生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一

21、共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時(shí)確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個(gè)小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想一個(gè)特例不足以說明問題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡單的問題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析

22、、思考、解決問題的整個(gè)全過程展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過程并從中學(xué)習(xí)一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測，要判斷這個(gè)猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗(yàn)，并且可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。對于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁“做一做”第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗(yàn)，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹問題中隱含的規(guī)律。二、體會基本的數(shù)學(xué)思想本單元通過一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)

23、生進(jìn)一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立“一一對應(yīng)”的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。在“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學(xué)生通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過這兩幅圖，讓學(xué)生把“點(diǎn)”（樹）與“線”（間隔）一一對應(yīng)起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個(gè)“點(diǎn)”（樹），所以“栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。例2通過遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段

24、圖，“做一做”的第2題讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個(gè)單元教材通過線段圖的教學(xué)，突出“一一對應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹問題三種不同的情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”。無論哪種情形，都能用“一一對應(yīng)”的思想統(tǒng)領(lǐng)。教材通過選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題所帶來的便利。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。在練習(xí)中

25、，教材以“植樹問題”為背景幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教材第108頁例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設(shè)周長是40 m”，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究經(jīng)驗(yàn)直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看

26、出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請小精靈進(jìn)一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，教材通過兩位學(xué)生的對話“我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對應(yīng)”“相當(dāng)于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。本單元注重讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等活動(dòng)，使學(xué)生既學(xué)會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，例1通過“對嗎？檢驗(yàn)一下”“100

27、 m太長了，可以先用簡單的數(shù)試試”“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律”等，滲透了“猜測探索歸納應(yīng)用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法。五年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角”教材介紹 人民教育出版社小數(shù)室一、教學(xué)內(nèi)容植樹問題。本單元內(nèi)容由原實(shí)驗(yàn)教材四年級下冊移來，例3調(diào)整為封閉曲線上的植樹問題。二、教學(xué)目標(biāo)1引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會植樹問題的模型思想。2通過畫線段圖初步培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題有效方法的能力。3讓學(xué)生嘗試用植樹問題的方法來解決實(shí)際生活中的簡單問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。三、編排特點(diǎn)1題材更為豐富與原實(shí)驗(yàn)教材相比，本次修訂后的“植樹問題”新增了一些生活中的“植樹問題”

28、。如例3探討在一條封閉曲線上植樹的問題。另外，教材在“做一做”和練習(xí)中增加了“每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹”“馬拉松比賽設(shè)置飲水點(diǎn)”“項(xiàng)鏈上的水晶”等實(shí)際問題，一方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，另一方面幫助學(xué)生多角度、有效地體會和運(yùn)用植樹問題的數(shù)學(xué)思想和方法。2突出線段圖的教學(xué)，幫助學(xué)生直觀理解植樹問題的數(shù)學(xué)模型在“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。例1先畫出形象的線段圖，然后抽象成線段圖表示兩端都栽的情況，例2通過遷移呈

29、現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，“做一做”的第2題，讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖，最后例3讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。教材通過突出線段圖的教學(xué)，幫助學(xué)生直觀理解不同情況下植樹棵樹、分割點(diǎn)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，由此理解和建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型。四、具體編排1例1：一條線段上植樹（兩端都栽）植樹問題教學(xué)的重點(diǎn)是解決點(diǎn)和間隔的關(guān)系，建立相應(yīng)的模型。但是當(dāng)數(shù)據(jù)比較大時(shí)，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以教材編排上體現(xiàn)了化繁為簡和建模的思想。例1是關(guān)于一條線段上的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況，讓學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解決問題

30、的有效方法，經(jīng)歷解決問題的過程。（1）滲透化繁為簡的思想，經(jīng)歷解決問題的過程通過學(xué)生的話“100 m太長了，可以先用簡單的數(shù)試試”滲透化繁為簡的解決問題的方法，接下來的編排滲透了“猜測探索歸納應(yīng)用”的解決問題的策略。（2）重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生借助線段圖建立數(shù)學(xué)模型的能力教材呈現(xiàn)學(xué)生用畫示意圖或線段圖的方法幫助思考，通過觀察兩端都栽樹的示意圖或線段圖，把分割點(diǎn)和栽樹的棵樹一一對應(yīng)起來，發(fā)現(xiàn)并初步總結(jié)栽樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。再讓學(xué)生在30 m、35 m上加以驗(yàn)證，從而建立起一條線段兩端都栽這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。從而找到解決問題的方法。2例2：一條線段上植樹（兩端都不栽）例2是關(guān)于一條線段的植樹問題

31、的另一種情況，即兩端都不栽樹的情況。教材繼續(xù)通過畫線段圖的方法幫助學(xué)生分析、理解，找出一般規(guī)律來解決問題，突出學(xué)生的遷移能力培養(yǎng)。有了例1的基礎(chǔ)，可以放手讓學(xué)生獨(dú)立思考。學(xué)生自然會想到借助線段圖來分析，教材呈現(xiàn)學(xué)生畫線段圖進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩端都不栽樹時(shí)，植樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1，然后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決例題的問題。一端栽另一端不栽的情況放在“做一做”第2題讓學(xué)生自己探究。通過畫線段圖，可以與例1、例2的對比來獲得對這一基本模型的理解，同時(shí)運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決要求的問題。3例3：封閉曲線上植樹（1） 突出畫圖的策略例3是在一條首尾封閉的曲線上植樹的問題。編排思路和例1相同，繼續(xù)滲透化繁為簡的思想和畫圖

32、的策略。借助圖示探索規(guī)律，建立模型。（2）注重模型的對比與溝通通過小精靈的問題“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系已有的知識找出這種植樹問題的規(guī)律，即栽樹的棵樹正好等于間隔數(shù)，也就相當(dāng)于一條線段上植樹的一端栽另一端不栽的情況，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。五、教學(xué)建議1經(jīng)歷建模的過程，感悟思想方法“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。具體到本單元，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)從實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。比如例1的教學(xué)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納

33、、推理的過程，滲透簡單的化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2突出畫圖（線段圖）的策略幾何直觀是課標(biāo)的核心概念之一，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。本單元通過畫示意圖或線段圖來解決植樹問題，可以更直觀理解、更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型，找出解決問題的方法。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易將兩端都栽、一端栽另一端不栽、兩端都不栽三種情況弄混。事實(shí)上，學(xué)生不用記每種模型的結(jié)論，遇到問題，只要畫個(gè)線段圖，問題就迎刃而解了，從而體會到畫圖策略的價(jià)值。多邊形的面積課標(biāo)要求 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出了“探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)

34、系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征”“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”“初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“會獨(dú)立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題”“會用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”。多邊形的面積課標(biāo)解讀 湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬小學(xué)楊帆（初稿）湖北省武漢市

35、東湖開發(fā)區(qū)教研室李文華（修改）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）一、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出了“探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征”“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”“初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“會獨(dú)立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出

36、了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題”“會用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”。二、課標(biāo)解讀“多邊形的面積”是圖形與幾何領(lǐng)域“測量”中的重要內(nèi)容。通過本單元的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，會計(jì)算組合圖形的面積，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，滲透平移、旋轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展合情“推理能力”，促進(jìn)學(xué)生“空間觀念”的進(jìn)一步發(fā)展、感受“幾何直觀”和“符號意識”的作用，滲透估測意識、策略，了解解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用意識”和“創(chuàng)新意識”。下面就圍繞“空間觀念”“應(yīng)用意識”及“創(chuàng)新意識”等課標(biāo)內(nèi)容，結(jié)合“多邊形的面積”

37、單元教學(xué)，進(jìn)行簡要解析。（一）依托轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展“空間觀念”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。本單元“多邊形的面積”計(jì)算，是以長方形面積計(jì)算為基礎(chǔ)，以圖形間的內(nèi)在聯(lián)系為線索，借助將未知轉(zhuǎn)化為已知的基本方法開展學(xué)習(xí)，各圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)都采用了“轉(zhuǎn)化”的方法，即設(shè)法將所研究的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會計(jì)算面積的圖形：如將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形、三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角形等。在“組合圖形的面積”教學(xué)中，同樣

38、突出了轉(zhuǎn)化思想，只不過是用分解的方法將組合圖形轉(zhuǎn)化為簡單圖形。在一系列的操作過程中，學(xué)生進(jìn)一步體會所學(xué)各種圖形的特征、圖形之間的關(guān)系、圖形之間的位置關(guān)系，還體驗(yàn)了圖形的平移、旋轉(zhuǎn)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，促使空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展。    （二）凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透“應(yīng)用意識”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中對“應(yīng)用意識”這一核心概念的表述是：應(yīng)用意識有兩個(gè)方面的含義，一方面，有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。在

39、整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。對照義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的要求，我們要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使他們體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。例如在單元開始探究平行四邊形的面積時(shí)，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生想到面積和面積單位的關(guān)系，想到用面積單位來測量面積（本質(zhì)），即用數(shù)方格的方法來計(jì)算面積（表面），滲透度量單位的應(yīng)用意識；又如在教學(xué)“不規(guī)則圖形的面積的估計(jì)”時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生從葉子的形狀和大小提出問題，然后從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題（不規(guī)則圖形的面積），引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法（用面積單位估計(jì)面積，或看成某個(gè)簡單圖形用公式計(jì)算面積）予以解決，這也是應(yīng)用意識的

40、體現(xiàn)。對照義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的要求，我們還要讓學(xué)生認(rèn)識到在現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與多邊形的面積計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)來源于生活，教材提供了學(xué)生熟知的情境：花壇（平行四邊形）、紅領(lǐng)巾（三角形）、車窗玻璃和大壩橫截面（梯形）、隊(duì)旗、房子、風(fēng)箏、七巧板（組合圖形）、樹葉（不規(guī)則圖形）等，讓學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決，從而在生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)。在培養(yǎng)應(yīng)用意識、解決實(shí)際問題的過程中，還要注意滲透估算思想、培養(yǎng)估算意識。教師要引導(dǎo)學(xué)生合情合理地找到估算面積的方案（或思路），一是覆蓋方格紙（面積單位）數(shù)方格來估計(jì)面

41、積，二是轉(zhuǎn)化成某個(gè)近似圖形用公式計(jì)算面積。同時(shí)，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獲得一定的估算策略和方法，例如：可以數(shù)出圖形內(nèi)包含的完整小正方形數(shù)，估計(jì)這個(gè)圖形的面積；在上面的基礎(chǔ)上，再加上圖形邊緣接觸到的所有小正方形數(shù)，估計(jì)這個(gè)圖形的面積；對于學(xué)有余力的學(xué)生，還可以引導(dǎo)他們將所有的小正方形等分成更小的正方形，探索更接近實(shí)際面積的估計(jì)值。（三）鼓勵(lì)自主探索，體現(xiàn)“創(chuàng)新意識”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的

42、培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。在“多邊形的面積”單元的教學(xué)中，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)面積計(jì)算公式和計(jì)算面積，可以有多種途徑和方法，教師不要把學(xué)生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，要尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題，獨(dú)立思考，大膽創(chuàng)新，從不同角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化。如梯形的面積可以分成兩個(gè)三角形、也可以分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形、還可以用兩個(gè)一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形等，從而發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新意識”；在探索組合圖形面積的計(jì)算時(shí)，也要引導(dǎo)學(xué)生自主探究圖形不同的組合方式，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考，發(fā)散思維，逐漸實(shí)現(xiàn)從“單一分割”到“多元分割”，

43、從別出心裁的“添補(bǔ)”再到更高層次的“割補(bǔ)”，并在多種方法中根據(jù)實(shí)際條件選擇最優(yōu)方法，鼓勵(lì)學(xué)生靈活思考、勇于創(chuàng)新。多邊形的面積教材分析 湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬小學(xué)楊帆（初稿）湖北省武漢市東湖開發(fā)區(qū)教研室李文華（修改）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）本單元的教學(xué)內(nèi)容主要有：平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、不規(guī)則圖形面積的估計(jì)。平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算是在學(xué)生掌握了這些圖形的特征以及長方形、正方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓面積和立體圖形表面積的基礎(chǔ)。到這一單元結(jié)束，多邊形面積的計(jì)算已經(jīng)基本結(jié)束。組合圖形的面積安排在平行四邊形、三角形和

44、梯形面積計(jì)算之后學(xué)習(xí)，學(xué)生在進(jìn)行組合圖形面積計(jì)算的過程中，要把一個(gè)組合圖形分解成已學(xué)過的平面圖形并進(jìn)行計(jì)算，可以鞏固學(xué)生對各種平面圖形特征的認(rèn)識和面積公式的運(yùn)用，有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。不規(guī)則圖形面積的估計(jì)是此次最新教材新增的內(nèi)容，教材從現(xiàn)實(shí)生活中（一片樹葉）抽象出數(shù)學(xué)問題（不規(guī)則圖形的面積）之后，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法（用面積單位估計(jì)面積，或看成某個(gè)簡單圖形用公式計(jì)算面積）予以解決，這是應(yīng)用意識的含義之一；同時(shí)滲透估算思想，培養(yǎng)估算意識；在教學(xué)中，還要注意體現(xiàn)解決問題的一般步驟（閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思），形成解決問題的良好習(xí)慣。以下是針對各部分內(nèi)容的具體分析。一、平行四邊形、三角形

45、、梯形面積計(jì)算因?yàn)槠叫兴倪呅?、三角形和梯形面積計(jì)算聯(lián)系比較緊密，本單元教材把這些內(nèi)容編排在一起，突出了以下特點(diǎn)：（一）加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系根據(jù)圖形面積計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系安排教學(xué)順序，以促進(jìn)知識的遷移和學(xué)習(xí)能力的提高，安排順序如下：（二）加強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程各類圖形面積公式的推導(dǎo)均采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，先將圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形，再通過合作學(xué)習(xí)的方式，探索轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新圖形的面積計(jì)算公式這樣一個(gè)過程。按照學(xué)習(xí)的先后順序，三種圖形面積計(jì)算的探索要求逐步提高、逐層遞進(jìn)。1平行四邊形面積計(jì)算平行四邊形面積的計(jì)算，先借助小精靈提示的“用數(shù)方格的方法試一試”

46、，旨在滲透度量單位的應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生想到面積和面積單位的關(guān)系，用面積單位來測量面積（本質(zhì)），即用數(shù)方格的方法來計(jì)算面積（表面）；教材緊接著設(shè)計(jì)了一個(gè)表格，引導(dǎo)學(xué)生記錄平行四邊形的底、高、面積和長方形的長、寬、面積數(shù)據(jù)，然后對所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和分析，從中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為探究平行四邊形面積計(jì)算公式做了思維和方法的鋪墊。教材對于平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程主要分四個(gè)層次呈現(xiàn)：第一個(gè)層次，用學(xué)生的對話初步展現(xiàn)了思考、轉(zhuǎn)化的過程；第二個(gè)層次，用一組示意圖讓剛才操作的過程更直觀明了；第三個(gè)層次，通過一組問題讓學(xué)生抽象出平行四邊形和長方形之間的關(guān)系，發(fā)展了學(xué)生的思維，這一組問題是教材新增

47、加的，非常明確、具體，從底、高、面積三個(gè)角度給學(xué)生指明了思考的方向，為順利總結(jié)公式奠定基礎(chǔ)；第四個(gè)層次，讓學(xué)生獨(dú)立總結(jié)平行四邊形的面積公式和用字母表示公式，其中在用字母表示公式時(shí)，教材新增了一幅直觀圖，體現(xiàn)用字母和分別表示平行四邊形的底和高，溝通了字母與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，更利于學(xué)生直觀掌握面積公式。例1是源于情境的實(shí)際問題，既可以指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用計(jì)算公式解決實(shí)際問題，又可以驗(yàn)證計(jì)算公式的正確性（與數(shù)方格所得的面積相等）。對于例1的解答過程，新教材特別注意規(guī)范書寫格式，即先用字母表示計(jì)算公式，再將數(shù)據(jù)代入公式求值，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。2三角形面積計(jì)算有了平行四邊形面積計(jì)算的推導(dǎo)基礎(chǔ)，三角

48、形的面積計(jì)算就直接要求學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。主題圖呈現(xiàn)了學(xué)生兩次小組活動(dòng)的思維過程：第一次活動(dòng)以小女孩手中的紅領(lǐng)巾引出“怎樣算出紅領(lǐng)巾的面積呢？”這一問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，由于學(xué)生剛研究過平行四邊形的面積，所以自然而然就能想到“轉(zhuǎn)化”的方法，將三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形；主題圖中的第二次活動(dòng)就呈現(xiàn)了學(xué)生們用三角形進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”的操作過程。兩次活動(dòng)之后，教材出示問題“觀察拼成的平行四邊形和原來的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？”這個(gè)問題較之前推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)更抽象些，主要是考慮到學(xué)生在推導(dǎo)平行四邊形面積時(shí)已經(jīng)具備一定的比較經(jīng)驗(yàn)，他們借助具體的圖形可以發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系，從而自己總結(jié)出三角形的面積公式，培養(yǎng)學(xué)生的