初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)名師丟番圖

1、丟番圖丟番圖(Diophantus of Alexandria)公元250年前后活躍于亞歷山大.教學(xué).丟番圖生存的年代，是根據(jù)下面的記載來確定的.在他的著作多角數(shù)(De polygonis numeris)中，引用了許普西克勒斯 (Hypsicles of Alexandria ,約公元前175年)關(guān)于多角 數(shù)的定義，而賽翁(Theon of Alexandria)的書又引用丟番圖的著作.這樣界定的上、下限是公元前175年到公元390年.另外，M C.普賽勒斯(Psellus , 1018約1078)寫過一封 信，提到阿納托利厄斯(Anatolius ,約公元280年)將他所著的關(guān)于埃及計算方

2、法的小冊子 獻(xiàn)給丟番圖，因此兩人應(yīng)同時代或丟番圖稍早.據(jù)此斷定丟番圖的活躍時期是公元250年前后.丟番圖將他的杰作算術(shù)(Arithmetica) 獻(xiàn)給迪奧尼修斯(Dionysius).歷史上用這一 個名字的有好幾個，估計這一個是亞歷山大的迪奧尼修斯，他是當(dāng)?shù)氐闹鹘潭谌沃鹘?公 元247年)之前，曾在那里建立基督教學(xué)校(從公元231年起).丟番圖的算術(shù)可能就是為這些學(xué)校編寫的教科書.這種推想是合情合理的，年代也和前面所說的一致.關(guān)于丟番圖的生平，還有一則別開生面的記載.在一本希臘詩文選(The Greekanthology)中，收錄了丟番圖奇特的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地

3、記錄了所經(jīng)歷的道路.上帝給予的童年占六分之一， 又過十二分之一，兩頰長胡， 再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭. 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒， 享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓.二|悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，二| 又過四年，他也走完了人生的旅途.這相當(dāng)于方程x=84 ,由此知他享年 84歲.丟番圖的著作確實知道他有兩種著作，一是算術(shù)，大部分保存了下來；另一種是多角數(shù)，只有少部分留下來.還有兩種書，一是推論集(Porismata)它只是在算術(shù)中幾次提到，可能是若干數(shù)論問題的匯編，獨立成冊，也可能是附屬在算術(shù)中的失傳部分.此外，伊 安布利霍斯(lamblichus ,約公元250約330年

4、)所著尼科馬霍斯算術(shù)評注一書的 注釋者還提到丟番圖另外一本書分?jǐn)?shù)算法(Moriastica),它記載了分?jǐn)?shù)計算的法則，可惜已失傳.丟番圖的算術(shù)是一部劃時代的著作，它在歷史上影響之大可以和歐幾里得幾何原本(Elements) 一比高下.這書的序中說，全書共分13卷.可是現(xiàn)在見到的希臘文本只有6卷.長期以來，大家都認(rèn)為其余的7卷早在10世紀(jì)以前已經(jīng)失傳.5世紀(jì)時希帕提婭(Hypatia)注釋這部書，只注了 6卷，也許這正是其余部分被人忽視終致失傳的原因.近年來，發(fā)現(xiàn)4卷阿拉伯文本，改變了傳統(tǒng)的看法.1973年，G圖默（Toomer）獲悉在馬什哈德圣地（Mashhad Shrine）圖書館有一本阿拉

5、伯文手抄本，經(jīng)過研究，確認(rèn)為算術(shù) 的失傳部分（但還不全）.這是由古斯塔伊本盧加（Qust a ibn Ltqa,活躍于860年前后）譯成 阿拉伯文的.后來 J.塞夏諾（Sesiano）將它譯成英文并加以詳細(xì)注釋（見6）.經(jīng)過反復(fù)推敲，塞夏諾指出這 4卷在算術(shù)中原來的位置應(yīng)該是緊接著希臘文本卷1, 2, 3的卷4,5, 6, 7,而希臘文的其余部分應(yīng)是卷8, 9, 10.下面將按這新的順序編排來介紹它的內(nèi)容.原來的6卷希臘文本，最初是 J.雷格蒙塔努斯（Regiomontanus , 14361476）發(fā)現(xiàn) 的.1464年2月15日，他寫信給L.比安基（Bianchi）,提到他在威尼斯找到了丟番

6、圖的算術(shù)，從此西方學(xué)術(shù)界才知道有6卷希臘文手抄本流傳下來.最早的拉丁文譯本是 G克胥蘭德（Xylander ,1532 1576）的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex, et de numeris multangulis liber unus”（亞歷山大的丟番圖算術(shù)6卷，多角數(shù)1卷）.以后又有 C. G.巴歇（Bachet de M eziriac , 1581 1638）校訂注釋的希臘-拉丁文對照本 “Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex, et de numeri

7、s multangulis liberunus”（亞歷山大的丟番圖算術(shù)6卷，多角數(shù)1卷）.關(guān)于這個譯本，有一段饒有趣味的歷史.1637年左右，P. de費馬（Fermat , 1601 1665）讀到這譯本第2卷第8題：“將一個 平方數(shù)分為兩個平方數(shù)”時，在書頁的空白處寫出了著名的“費馬大定理”1670年費馬的兒子S. de費馬（Fermat）將他父親的全部批注插入正文，重新出版巴歇 的希-拉對照本近代，不包括新發(fā)現(xiàn)4卷的“丟番圖全集”，標(biāo)準(zhǔn)的版本是P.唐內(nèi)里（Tannery, 18431904,法國數(shù)學(xué)史家）編輯、校訂的希-拉對照本Diophanti Alexandrini opera om

8、nia cumGraecis mentariis ”（亞歷山大的丟番圖全集，包括希臘文注釋）.最流行的英譯本是 T. L.希思（Heath , 1861 1940）的“Diophantus of Alexan dria , A Study in the history of Greek algebra（亞歷山大的丟番圖，希臘代數(shù)學(xué)史研究）.此外，還有德、法、英、俄及現(xiàn)代希臘語等多種譯本.代數(shù)學(xué)的特征希臘時代“算術(shù)” （arithmetica） 一詞，主要指“數(shù)的理論”而言，大致相當(dāng)于現(xiàn)在的 “數(shù)論”.而數(shù)字的加、減、乘、除等運算則叫做“計算的技巧”（logistica）,和前者有明顯的區(qū)別.這

9、種分法從畢達(dá)哥拉斯時代開始，一直延續(xù)到近代，例如C. F.高斯（Gauss）的數(shù)論名著就叫做算術(shù)研究（Disquisitiones Arithmeticae , 1801）.丟番圖算術(shù)也是講數(shù)論的，它討論了一次、 二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程.現(xiàn)在對于具有整系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一 個分支.不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)而只要求是正有理數(shù).從另一個角度看，算術(shù)一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍.代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最 大特點是引入了未知數(shù)，并對未知數(shù)加以運算，根據(jù)問題的條件列出方程，然后解方程求出 未知數(shù).算術(shù)也有未知數(shù)，這未知數(shù)一般就是

10、問題的答案，一切運算只允許對已知數(shù)來施 行.在代數(shù)中既然要對未知數(shù)加以運算，就需要用某種符號來表示它.就引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)符號以及建立方程的思想（雖然未有現(xiàn)代方程的形式）這幾方面來看，丟番圖算術(shù) 完全可以算得上是代數(shù).當(dāng)時代數(shù)學(xué)沒有專門的名稱，algebra是9世紀(jì)花拉子米（al Khowarizmi）以后才出現(xiàn)的名稱，而且直到17世紀(jì)還沒被歐洲人普遍接受.丟番圖將這方面 的成果冠以算術(shù)之名是很自然的.他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”也是有一定道理的.希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命他才是可靠的.為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣，一切代數(shù)問題，甚

11、至簡單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中.直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來， 擺脫了幾 何的羈絆.例如，(a + b)2=a2+2ab + b2的關(guān)系在歐幾里得幾何原本中是一條重要的幾 何定理(卷n命題4),而在丟番圖算術(shù)中只是簡單代數(shù)運算法則的必然結(jié)果.下面通過一個例子來說明丟番圖解決問題的手法.卷n第 20題：求兩數(shù)，使得任一數(shù) 的平方加上另一數(shù)等于一個平方數(shù).(10 , p. 101.)這相當(dāng)于不定方程x2+y=m2 I y2+x=n2要求所有白未知數(shù) x, y, m n都是正有理數(shù).丟番圖只設(shè)一個未知數(shù)，也只使用一個未知數(shù)的符號，這是他的特點之一，今暫記作 x.其余的未知數(shù)根據(jù)問

12、題的具體條件用含x的一個簡單式子表示出來.本例的條件是x2加上另一個未知數(shù)等于一個平方數(shù)，故可設(shè)這個未知數(shù)是2x+1 ,因為x2+ 2x+1正好是一個完全平方.其次，還應(yīng)該滿足 (2x+1)2+x=平方數(shù).丟番圖設(shè)右端是(2x-2)2 ,顯然是想使展開后左右兩端相同的4x2項-2是怎樣來的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2 ,原文很簡單，沒有說明這樣設(shè)未知數(shù)的理由，更沒有給出一般的法則.他雖然知道問題有多個答案，但常常得到一個答案就已滿足.他認(rèn)為代數(shù)方法(可理解為一種倒推法，先假設(shè)未知數(shù)存在，列出方程然后求解)比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題.解題的過程中顯示出高度的巧思和獨

13、創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟.有的數(shù)學(xué)史家說，如果丟番圖的著作不 是用希臘文寫的，人們就不會想到這是希臘人的成果，因為看不出有古典希臘數(shù)學(xué)的風(fēng)格， 從思想方法到整個科目結(jié)構(gòu)都是全新的.如果沒有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數(shù).有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人.代數(shù)符號G. H. F.內(nèi)塞爾曼(Nesselmann , 1811 1881)根據(jù)符號使用的情況，將代數(shù)學(xué)分為三類(見12 , pp. 301306)： (1)文詞彳t數(shù)(rhetorische algebra),完全用文字來敘述而不 用符號；(2)簡字代數(shù)(synkopierte algebra) ; (3)符號代數(shù)(sy

14、mbolischealgebra) ,除了 個別地方，一切全用符號來表示.按照這個分類，丟番圖算術(shù)應(yīng)該屬于第二類.符號的 使用，在數(shù)學(xué)史上是一件大事.一套優(yōu)良的符號，絕不僅僅是起到加快速度、節(jié)省時間的作 用，它能夠準(zhǔn)確、深刻地表達(dá)某種概念、方法和邏輯關(guān)系.一個較復(fù)雜的式子，如果不用符號而日常語言來表述，會十分冗長而含混不清.符號的發(fā)明在數(shù)學(xué)史上是一次飛躍，也是代數(shù)的特征之一，其作用是不容低估的.丟番圖創(chuàng)設(shè)了一些符號，多半采自相應(yīng)文字的字頭， 而問題的敘述主要仍然是用文字，和現(xiàn)代的符號代數(shù)相去甚遠(yuǎn)，只可算是較原始的簡字代數(shù).號來表示它.由于丟番圖本人的原始手稿早已失傳，后人傳抄的手稿上這個符號又

15、不很統(tǒng)一，故很難確知他用的是什么符號.不過幾種手稿都記數(shù)法系統(tǒng)是用字母表數(shù)，如a, 3, 丫，8,分別表示1, 2, 3, 4；I, k ,入，小 分別表示 10, 20, 30, 40,；p, * j u,分別表示 100, 200, 300, 400, 等等，24個字母值得注意的是，在一份大約寫于2世紀(jì)的紙草書上，也出現(xiàn)和丟番圖未知數(shù)相類似的符號，上面所列的三個算題，解題方法也具有丟番圖的風(fēng)格.可以想象，丟番圖的工作不是孤立的，他受到強(qiáng)烈的外來影響.丟番圖所處理的問題大部分是多元的，但他只設(shè)一個未知數(shù)的符號， 相當(dāng)于現(xiàn)在的x.而和x2, x3,，x4相當(dāng)?shù)母鞔胃纾加袑ｉT的名稱和符號：名稱

16、符號符號是名稱的縮寫，注意A, Y, K是字母8, u, k的大寫.這些乘哥的倒數(shù)也有專名和符號，6次以上的哥不再創(chuàng)設(shè)符號.未知數(shù)的系數(shù)相乘的法則：“缺乏乘以缺乏得到存在；缺乏乘以存在得到缺乏，即 負(fù)乘負(fù)得正，負(fù)乘正得負(fù)，由于沒有加號，書寫時所有的負(fù)項都放在減號的后面，如 x3-5x2+8x-1寫成原意是“屬于部分”，相當(dāng)于“除以”或分?jǐn)?shù)線 /）,接著寫分母.例如卷 10（原希臘文本卷6）第19題，將（2x3 + 3x2 + x）/（x2+2x+1）寫成這已非常接近現(xiàn)代方程的形式.最后一個符號表示數(shù)字6,是希臘字母表以外的記號，讀作 digamma.丟番圖創(chuàng)用符號是一大進(jìn)步， 美中不足的是只用

17、符號表示一個未知數(shù)，遇到多個未知數(shù)時仍用同一符號，這使得計算過程越來越晦澀.為了避免混淆，不得不運用高度的技巧，但 這常常使方法失去普遍性.89世紀(jì)以后，阿拉伯人吸取了許多希臘人的成果，然而卻沒有看到符號的優(yōu)點，花拉子米等人完全回到文詞代數(shù)上去，這是歷史上的倒退.算術(shù)的典型問題和解答（一）一、二、三次方程算術(shù)沒有系統(tǒng)地給出一、二次方程的解法.大概是一元一次方程太簡單，沒有必要單獨論述，實際它已包含在axn=b類型的方程之中.經(jīng)過移項、消去等手續(xù)，有些問題化為這類方程之后，立即得到解答.不管答案有幾個，丟番圖僅滿足于一 個答案.他完全排斥負(fù)數(shù)解答，例如卷9（原希臘文本卷5）第2題最后化為4=4x

18、+20,他認(rèn)為是荒謬的.無理數(shù)的解答也不取。如卷 7第31題，最后得3x+18=5x2,他說這方程是不 合理的，還反過來考慮怎樣改變系數(shù)，才使得答案“合理”（即為有理數(shù)）.對于答案x=0也是棄之而不顧.關(guān)于二次方程，丟番圖在序言中就說過要給出完整的解法，但在現(xiàn)存的各章中均未見到，很可能恰好寫在失傳的部分或別的什么地方.另一種意見認(rèn)為二次方程的解法早已為巴比倫人所知，可以作為閱讀本書的預(yù)備知識，不必另作介紹.（6 , p. 76.）不管怎樣，書中確實出現(xiàn)了若干二次方程或可歸結(jié)為二次方程的問題，希思就列舉了十幾個例子，其中包括二次不等式.這些例子足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式.當(dāng)然仍然

19、是限于正有理根.有的學(xué)者認(rèn)為他不知道二次方程可能有兩個根，這是很難令人相信的.不過他始終只取一個根，如果有兩個正根，他就取較大的一個.較簡單的例子如第1卷27題：兩數(shù)之和是20,積是96,求這兩數(shù).解法是：設(shè)兩數(shù)分另I是 10+x, 10-x ,于是(10+x)(10-x)=102-x2=96, x2=4. x=2,兩數(shù)是 12, 8.卷1第28題：兩數(shù)之和是 20,平方和是208,求這兩數(shù).同樣設(shè)兩數(shù)是 10+x, 10-x,貝U(10+x)2+(10-x)2=208, x=2,兩數(shù)是 12, 8.1較復(fù)雜的含一次項的例子如8卷31題，最后得到325x2=3x+18;應(yīng)有兩根x=6/25 ,

20、-3/13 ,只取正根，負(fù)根不提.更復(fù)雜一點的例子是卷 9第10題，導(dǎo)致不等式17x2+17 72x 19x2+19,相當(dāng)于不等式組正確的答案應(yīng)該是3 1 x 3 2, 2 2x 1 1,其中是方程17x2-72x + 17=0的兩個根.是方程19x2-72x+19=0的兩個根.遇到兩個正根的時候，丟番圖只取較大的，故只取a26, N26.(3-9x)2+(2 +11x)2=13 ,丟番圖沒有進(jìn)一步推廣，實際上，如設(shè)(3-mx)2+(2+nx)2=13數(shù)和是1,每一個加上6都是平方數(shù).如令 m=13 n=16,則得另一組其他著作丟番圖的多角數(shù)只殘存一部分，它證明的方式純粹是幾何的，倒很接近古典

21、希臘的 風(fēng)格，而和算術(shù)迥然不同.多角數(shù) （polygonal number） 是形數(shù)（figurate number） 的一 種.用點子表示數(shù)，可以構(gòu)成各種平面或立體圖形，這個數(shù)叫做形數(shù).如6個點構(gòu)成一個三角形，6就是三角數(shù).同樣，1, 5, 12, 22, 35,都是五角數(shù)，如 22個點構(gòu)成一個正五 角形，它的邊是4（每邊有4個點，用n表示這個數(shù)），角數(shù)是5（用a表示）.n, a與總的點 數(shù)P之間有公式聯(lián)系起來：多角數(shù)是一個古老的課題，源出于畢達(dá)哥拉斯，后經(jīng)菲利波斯 （Philippos ,公元前360 年前后）、斯皮尤西波斯（Speusippus ,公元前340年前后）等人研究.上述公式是許普西克 勒斯（公元前175年前后）給出的，丟番圖在多角數(shù)中加以引用并推廣，還建立了其他的公式.另一本著作推論集載有若干數(shù)論的引理及推論，可以看作算術(shù)的一部分或補(bǔ)充.來源及影響從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期沒有留下什么數(shù)學(xué)典籍，所以現(xiàn)在的了解是不夠的.巴比倫人在代