近三年全國高考數(shù)學(xué)試題分析小結(jié)

1、全國高考數(shù)學(xué)“不等式”試題分析小結(jié)不等式在高考中屬主體內(nèi)容，它與代數(shù)內(nèi)容聯(lián)系密切，高考中所占比例約為試題來看，考查的內(nèi)容及其難度主要以有以下幾點(diǎn)：1015%.從近三年的高考一、不等式的性質(zhì)、基本不等式和絕對值不等式的考查，大多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，一般屬于容易題或中檔題.因此，關(guān)于這一部分的知識，考生在備考中要注意理解并深刻記憶基本公式.【例 1】 （2006年江蘇卷 ）設(shè) a、b、c 是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（ A ） | a b | | ac | | b c |（B） a 2 1a1a 2a12（ D） a 3a 1a 2a（ C） | a b |ab解答： 運(yùn)用排除法

2、， C 選項(xiàng) a b12 ，當(dāng) a-b<0 時(shí)不成立。a b【 點(diǎn)評 】本題主要考查 .不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論.運(yùn)用公式一定要注意公式成立的條件,如 果a b那么 a22ab 當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取號b.如果a,b 是 正 數(shù) ，那 么,R,2(" ")abab (當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取 " " 號 ).2【例 2】 （2007 年陜西卷 ）某生物生長過程中，在三個(gè)連續(xù)時(shí)段內(nèi)的增長量都相等，在各時(shí)段內(nèi)平均增長速度分別為 v1， v2,v3,該生物在所討論的整個(gè)時(shí)段內(nèi)的平均增長速度為111（ A ）v1

3、v2v 3v1v2v33（B ）3（ C）3 v vv（D ）3312111v1v2v3解 答 ： 設(shè) 三 個(gè) 連 續(xù) 時(shí) 間 段 的 時(shí) 長 分 別 為t 1,t2,t 3, 依 題 意 有v1t1=v2t2=v3t3=l , 總 的 增 長 量 為3l ， 則1113l3.t1+t2 +t3=lv2v3. 故該生物在所討論的整個(gè)時(shí)段內(nèi)平均增長速度為v1t1 t 2 t 3 111v1v2v3選 D.【點(diǎn)評 】有些考生對平均增長速度和各段內(nèi)的增長速度不理解，這就要求考生注意理解教材中的算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系，充分認(rèn)識高考試題來源于教材又高于教材的意義，并在高三備考階段，

4、特別是一輪復(fù)習(xí)階段注重對課本知識的復(fù)習(xí).二、單純考查不等式的解法、不等式的證明的試題很少，通常以不等式與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角等知識的綜合問題的形式出現(xiàn)，此類問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高 .【例 3】（ 2005年遼寧卷）在上定義運(yùn)算： xyx(1y) 若不等式 ( x a)( xa) 1 對任意實(shí)數(shù) x 成立，則（）1a1（） 0 a 2（）1a3（）3122a22解答 ： (xa)(xa)( xa)(1xa) ，不等式 ( xa)( xa) 1 對任意實(shí)數(shù)x 成立，則(x a)(1xa)1對任意實(shí)數(shù)x成 立，即 使 x2xa 2a10 對任意實(shí)數(shù)x成立

5、，所以1 4(a2a1)0 ，解得1a3，故選 C2 2【 點(diǎn)評 】熟悉一元二次不等式恒成立與對應(yīng)方程的判別式的關(guān)系2t x 1 , x2,【例 4】 （2006 年山東卷 ）設(shè) f(x)= log t ( x21), x 2, 則不等式 f(x)>2 的解集為(A) （ 1，2）（ 3， +）(B) （ 10 ， +）(C)（ 1，2）（ 10 ，+）(D) （ 1， 2）解答： 令 2ex 1 2（ x 2），解得 1 x 2.令 log 3 (x21) 2（ x 2）解得 x （10 ，+）選 C.【例 5】 （2007 年安徽卷）解不等式( 3x11)(sin x2) 0解答：

6、因?yàn)閷θ我?x R ， sin x20 ，所以原不等式等價(jià)于3x110 即 3x 1 1， 13x11 ， 03x 2，故解為 0 x23所以原不等式的解集為x 0x23【點(diǎn)評】 本題將絕對值和三角函數(shù)融合到解不等式中進(jìn)行考查，其根源是高次不等式的解法，解簡單的高次不等式時(shí)，將高次系數(shù)化為正，再進(jìn)行因式分解（往往分解為多個(gè)一次因式的乘積的形式），然后運(yùn)用“數(shù)軸標(biāo)根”三、不等式幾乎能與所有數(shù)學(xué)知識建立廣泛的聯(lián)系，復(fù)習(xí)時(shí)尤其是注意以導(dǎo)數(shù)或向量為背景的導(dǎo)數(shù)（或向量）、不等式、函數(shù)的綜合題和有關(guān)不等式的證明或性質(zhì)的代數(shù)邏輯推理題.【例 6】 （ 2006 年四川卷 ）已知函數(shù) f( x)=x22a l

7、n x( x0) , f( x) 的導(dǎo)函數(shù)是f ( x) . 對任意兩個(gè)不相等的正數(shù) x、 x ，證明：x12（）當(dāng) a0 時(shí)， f (x1)f ( x2 )f ( x1x2 ) ；22（）當(dāng) a4時(shí)， f ( x1 )f ( x2 )x1x2 。解答： （）由 fxx22a ln xx得 f x12f x21 x12x2211a ln x1ln x22x1x221 x12x2 2x1x2aln x1 x22x1 x2x1x2x1x224a ln x1x2f22x1x22而 1 x1212x1x22x2 2x12x2 22x1x2242又 x1x22x12x222x1x24x1x2 x1x24

8、x1 x2x1 x2 x1x2x1x2 ln x1 x2ln x1x222 a 0 a ln x1 x2a ln x1x22由、得1 x122x22x1x2a ln x1 x2x1 x2x14aln x1x22x1 x22x2即f x1fx2fx1x222（）證法一：由fxx22a ln x ，得 f 'x2x2axx2x''2x12a2x22af x1f x22x12x2x1x22x1x2ax1 x2 2x12 x2 2x1 x2f'x1f'x2x1 x22 x1x2a22 x221x1x1 x2下面證明對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1, x2,有 22 x

9、1x2a1 恒成立x12 x22x1 x2即證 a x1x22 x1x2成立x1x2 x1x22x1x2x1 x24x1 x2x1 x2設(shè) tx1 x2 ,u xt 24t 0 ，則 u' x2t4tt2令 u'x0 得 t32 ，列表如下：t0,32323 2,u't_0ut極小值 33 4u t33 43 1084a x1x22 x1x2ax1x2對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1 , x2 ，恒有f 'x1f 'x2x1 x2證法二：由 fxx22aln x ，得 f 'x2x2axx2x f 'xf ' x22x2a2 x2a11

10、x 2x2x2x2112x1x222 x1x2ax 2 x2x x1212 x , x 是兩個(gè)不相等的正數(shù)12 22 x1x2a24a2434x1 2 x223x1 x2x1 x2x1 x2x1 x2x1 x2設(shè) t1， ut24t34t2t 0x1 x2則 u't4t3t2，列表：t0,22233,3u't_0ut極小值 3827 u3822 x1x2a11 即x12 x2 2x1 x227 f'x1 f'x2x1x222 x1x2ax2x12 x22x1x1x2即對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1 , x2 ，恒有f 'x1 f ' x2x1 x2【

11、點(diǎn)評 】 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，是一道綜合性的難題.【例 6】 （2007 年四川卷 ）設(shè)函數(shù)f ( x) 11xN , 且n 1, x N .nn1 1x( )當(dāng) x=6 時(shí) ,求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);n( )對任意的實(shí)數(shù)x,證明 f (2x)f (2) f (x)( f( x)是f ( x)的導(dǎo)函數(shù) );2n1( )是否存在 aN ,使得 an11)n 恒成立 ?若存在 ,試證明你的結(jié)論并求出a 的值 ;若不存 (ak 1k在 ,請說明理由 .4 項(xiàng)，這項(xiàng)是 C6315 13解答： （）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

12、大的項(xiàng)是第20nn312 n1 12（）證法一：因f 2xf21nn2 n2nn21112 11112 111nnnnn1n11n12 1ln 12 1ln 12 f 'xn2nn證法二：2 n2因 f2xf 21111nn12 n12211nn1n12 11nn1n1而 2 f ' x2 1ln 1nn故只需對11和 ln 11進(jìn)行比較。nn令 g xxln x x 1 ，有 g 'x 1 1 x 1由 x1xxx0 ，得 x1因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí)， g'x0 ， gx 單調(diào)遞減；當(dāng) 1x時(shí)， g 'x 0 ， gx 單調(diào)遞增，所以在 x1處 gx有極小值

13、1故當(dāng) x1 時(shí)， gxg 11 ，從而有 xln x1，亦即 xln x1ln x故有 11ln11恒成立。nn所以 f2xf22 f 'x，原不等式成立。（）對 mN ，且 m1m2kCmm 1m有 11Cm0Cm11Cm2 1Cmk1mmmmmm m 112m m 1m k 11km m 1 2 1m1112!mk!mm!m211111121k 111m 12!mk!m1mm!11mmm211112!3!k!m!211112132kk1m m1211111111223k1km1m313m1k1m又因 Cmk0 k 2,3,4, m ，故 213mm1mn1k 2 13 ，從而有 2n13n成立，mk 1knk即存在 a21，使得 2n1恒成立。3nk1k【點(diǎn)評 】本題考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等內(nèi)容. 考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識. 不等式本身體現(xiàn)