勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁穩(wěn)定性研究

1、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁穩(wěn)定性研究李濤高衛(wèi)民洪善桃（同濟(jì)大學(xué)，汽車工程系，上海200092）摘要：本文采用了簡(jiǎn)化模型和連續(xù)體梁模型分析了勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁的穩(wěn)定性，指出了勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁動(dòng)力柔化的原因在于梁的大范圍平動(dòng)。提出了勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁的內(nèi)轉(zhuǎn)半徑和外轉(zhuǎn)半徑的概念。指出勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁的內(nèi)轉(zhuǎn)半徑和外轉(zhuǎn)半徑比值存在一定關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)為一階穩(wěn)定。柔性多體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)代航天器、機(jī)器人、車輛、機(jī)械和兵工等工程領(lǐng)域的發(fā)展緊密聯(lián)系的。自1988年以來(lái)，關(guān)于大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)引起連續(xù)體梁的動(dòng)力剛化現(xiàn)象的研究已經(jīng)有多年的歷史。但近年來(lái)研究表明，大范圍運(yùn)動(dòng)的連續(xù)體梁存在著動(dòng)力柔化現(xiàn)象，這尤其以大范圍勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)懸臂梁為突出

2、。本文推導(dǎo)了同時(shí)進(jìn)行大范圍平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的簡(jiǎn)化柔性梁以及連續(xù)體梁的控制方程。以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)懸臂梁為例，說(shuō)明了動(dòng)力柔化產(chǎn)生的原因是大范圍平動(dòng)造成的，并提出了內(nèi)懸臂梁勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)轉(zhuǎn)半徑和外轉(zhuǎn)半徑的概念。1、簡(jiǎn)化柔性梁模型采用恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化模型可以方便地揭示所研究問(wèn)題的本質(zhì)。在凱恩當(dāng)年研究柔體大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)變形運(yùn)動(dòng)影響的時(shí)候，凱恩就曾經(jīng)向研究者建議了一種說(shuō)明傳統(tǒng)建模方式缺陷的簡(jiǎn)化模型（圖4.1）,并被學(xué)者采用發(fā)表在文獻(xiàn)中74,對(duì)該簡(jiǎn)化模型建模的修正非常清晰地揭示了大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力對(duì)非線性結(jié)構(gòu)作用的影響。其它研究者在研究過(guò)程中也采用過(guò)類似的簡(jiǎn)化模型。圖4.1模型為單集中質(zhì)量4自由度模型，其中單集中質(zhì)量位于節(jié)點(diǎn)2處

3、，四個(gè)自由度分別為節(jié)點(diǎn)0的兩個(gè)平動(dòng)自由度x0、y0。桿01在絕對(duì)坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)角3,桿12相對(duì)于桿01的轉(zhuǎn)角9。圖1凱恩簡(jiǎn)化柔性梁模型在、y0為已知，仇=c也為已知，變形8為小量的情況下，得到的控制方程為:m2l22.J2l2八生吧一型吧_建建一&cosl2V。12sinal2(3)顯然，大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)和大范圍平動(dòng)對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響是耦合的，且大范圍平動(dòng)對(duì)于簡(jiǎn)化柔性梁振動(dòng)特性的影響可能是剛化，也可能是柔化。以內(nèi)懸臂柔性梁為例，將對(duì)應(yīng)于內(nèi)懸臂梁的邊界條件和初始條件為：不能簡(jiǎn)單地疊加，而=rcosMy。=rsin1Jt代入控制方程，可以得到:6+0li-rr2-1l2x0sin1tmy0cos14D=

4、-十I2K不m2l2通過(guò)分析方程（4）,可以得到以下結(jié)論:在將r稱為內(nèi)轉(zhuǎn)半徑，l1-r稱為外轉(zhuǎn)半徑的前提下，外回轉(zhuǎn)半徑大于。時(shí)，系統(tǒng)橫向振動(dòng)處于剛化狀態(tài)，反之，系統(tǒng)處于柔化狀態(tài)。當(dāng)匚12*2,系統(tǒng)沒(méi)有周期解，處l2于發(fā)散狀態(tài)。通過(guò)前面的分析可以得出以下結(jié)論，大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)對(duì)簡(jiǎn)化柔性梁橫向振動(dòng)的影響是非線性耦合的，不能疊加。大范圍平動(dòng)會(huì)導(dǎo)致柔性梁出現(xiàn)動(dòng)力柔化現(xiàn)象，簡(jiǎn)化內(nèi)懸臂柔性梁進(jìn)行勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，由于柔性梁進(jìn)行大范圍平動(dòng)，當(dāng)外轉(zhuǎn)半徑小于。時(shí)，系統(tǒng)處在柔化狀態(tài)，外轉(zhuǎn)半徑大于。時(shí)系統(tǒng)處在剛化狀態(tài)。因此，簡(jiǎn)化柔性內(nèi)懸臂梁的動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)和該梁的內(nèi)轉(zhuǎn)半徑以及外轉(zhuǎn)半徑有關(guān)。2、連續(xù)體梁模型同時(shí)作大范圍平

5、動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的連續(xù)體梁模型如圖2所示，設(shè)梁的總長(zhǎng)為l。距離梁端為X處的微元在局部坐標(biāo)系中的位移為w,設(shè)梁端在絕對(duì)坐標(biāo)系中的的位移為小，丫。，轉(zhuǎn)角為%。圖2連續(xù)體梁模型則系統(tǒng)的控制方程變?yōu)?EIw）+PAW=(W*1：AX2-l2二；：Ax0cosoy0sinoX2(5)上述方程化為擬線性偏微分方程：令X,v=w，a=x,p=y,T=JlLrtllll.：Al4可以得到無(wú)量綱化的控制方程：v（4）+v日：v=FN，-1仁2-1解+6coso+Ssino注一1力懸臂梁的邊界條件為：v0,=0v0,=0v1,=0v1,=0將方程（6）和（7）的解表示為如下形式：v,二e帶入控制方程（6）可以得到巾（4）

6、+般2-哂=（，）其中g(shù)=-12-1-（2+6cosu0,:sin%-1用中乘以方程的兩邊并從0到1積分可以得到(6)(8)(9)111cc1cc1c11c40_巾50+ad1+/a2d200fo*2dt=4990JoT2gdZ根據(jù)邊界條件（7）:_1_11_1_片十端.2dua%已（10）顯然當(dāng)，a=8=0時(shí)，一111一1一,2J&：=-*01一2d，-Tio,0d-od根據(jù)Schwarz不等式可以得到：-13”（1，2d+je2d0則九0系統(tǒng)具有周期解，系統(tǒng)為無(wú)條件穩(wěn)定，這對(duì)應(yīng)大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)下的動(dòng)力剛化現(xiàn)象。如果令式（6）中ct=rcosE、P=rsinH、80=807+元，R其中r=7,則對(duì)應(yīng)于內(nèi)懸臂梁旋轉(zhuǎn)的條件：F1c0g，仁2-1）+r（J麻一時(shí)，系統(tǒng)存在臨界轉(zhuǎn)速，0o=,當(dāng)轉(zhuǎn)速局于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)將不能93.59r-0.4進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)而發(fā)散。1 1,r的物理意義如圖3,R為系統(tǒng)的內(nèi)轉(zhuǎn)半徑，r時(shí)，即系統(tǒng)的