北大數(shù)學(xué)考研精講12

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第九章 *二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴(lài)于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱(chēng)為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz d

2、d若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱(chēng)函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量則稱(chēng)此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.AxBy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx當(dāng)函數(shù)可微時(shí) :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (

3、x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對(duì) x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)

4、 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.0lim00yx,0lim00yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點(diǎn)可微. 0lim00yx,0lim00yx

5、注意到, 故有)(o目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxu推廣推廣: 類(lèi)似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱(chēng)為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. yxze解解:xz22e2) 1 , 2(,e) 1 , 2(yzxzyxzde2ded22) 1 , 2(例例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分. zyyxue2sin解解: udxd1yyd)c

6、os(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yx zyze目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可知當(dāng)*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 近似計(jì)算近似計(jì)算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時(shí),yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于誤差分析或近似計(jì)算) (可用于近似計(jì)算) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 半徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrV V,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .2003cm例例

7、3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 rhr 2hr 21,05. 0hr)(2003cm高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 求此圓柱體hr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.4.計(jì)算的近似值. 02. 204. 1解解: 設(shè)yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差界,

8、2. 誤差估計(jì)誤差估計(jì)利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對(duì)誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(特別注意特別注意時(shí)，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(時(shí)xyz yxyx類(lèi)似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx 乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01.

9、05 .12Cba求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對(duì)誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對(duì)誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得bbSCCS目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 6.在直流電路中, 測(cè)得電壓 U = 24 V ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( )所以 R 的相對(duì)誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對(duì)誤差約為 RR0.8 0.3;定律計(jì)算

10、電阻為 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 .相對(duì)誤差為 測(cè)得電流 I = 6A, 相對(duì)誤差為 0.5 ,= 0.032 ( )= 0.8 求用歐姆目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(為例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 微分應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對(duì)誤差相對(duì)誤差),(yxfyyxxzy

11、xfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P75 題5 ；P129 題 1 函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量 .2. 選擇題D目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyx

12、x02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03. 0也可寫(xiě)作:當(dāng) x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 時(shí) z = 0.02 , d z = 0.03 3. P129 題 7目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對(duì)稱(chēng)性 , 可得41)0 , 0

13、 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 輪換對(duì)稱(chēng)性輪換對(duì)稱(chēng)性 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz作業(yè)作業(yè) P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ; *9 ; *11 5. 已知第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn) (0,0) 可微 .備用題備用題在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連 證明函數(shù)xy所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時(shí)當(dāng)yx,)0 , 0(),(時(shí)趨于沿射線(xiàn)當(dāng)點(diǎn)xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(diǎn)(0